Casio Chuyên đề đa thức

 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
 Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25. 
Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? 
H.Dẫn:
Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho:
+ Bậc H(x) nhỏ hơn bậc của P(x)
+ Bậc của H(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ hơn 5, nghĩa là:
Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e
Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:
 Þ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1
Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2 
Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 là nghiệm của Q(x), mà bậc của Q(x) bằng 5 có hệ số của x5 bằng 1 nên:
 Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) 
Þ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2. 
Từ đó tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = 
Ví dụ 8.2 Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
 Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11. 
Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
- Giải tương tự bài 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3). Từ đó tính được: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = 
Ví dụ 8.3 Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. 
Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10. 
Tính 
H.Dẫn:
- Giải tương tự bài 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + . Từ đó tính được: 
Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn:
 f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ?
H.Dẫn:
- Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0 Þ a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:
 Þ bằng MTBT ta giải được: 
Þ g(x) = f(x) - x2 - 2
Vì f(x) bậc 4 nên g(x) cũng có bậc là 4 và g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)Þ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)+ x2 + 2.
Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) = 
Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.
Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức)
 H.Dẫn:
- Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nên: 
 lấy 3 phương trình cuối lần lượt trừ cho phương trình đầu và giải hệ gồm 3 phương trình ẩn a, b, c trên MTBT cho ta kết quả: Þ Þ 
Ví dụ8.5:
Chođa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2),(x - 3) đều được dư là 6 và f(-1) =-18 .Tính f(2005) = ?
H.Dẫn:
- Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18
- Giải tương tự như bài 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x 
Từ đó tính được f(2005) = 
Ví dụ 8.6 Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức.
Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007
Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45.
Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là 9, 21, 33, 45
Giải:
Tính giá trị của P(x) tại x = 1, 2, 3, 4 ta được kết quả là : 
Lấy hai vế của phương trình (1) lần lượt nhân với 2, 3, 4 rồi trừ lần lượt vế đối vế với phương trình (2), phương trình (3), phương trình (4), ta được hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn :
Tính trên máy được a = -93,5 ; b = -870 ; c = -2972,5 và d = 4211
Ta có P(x)=x5 – 93,5x4 + 870x3 -2972,5x2+ 4211x – 2007
Q(1,15) = 66,15927281 » 66,16
Q(1,25) = 86,21777344 » 86,22	
Q(1,35) = 94,91819906 » 94,92	
 Q(1,45) = 94,66489969 » 94,66
Ví dụ 8.7: 
Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f . 
Biết P(1) = 1 , P(2) = 4 , P(3) = 9 , P(4) = 16 , P(5) = 25 . 
Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9)
Giải: 
Ta có P(1) = 1 = 12; P(2) = 4 = 22 ; P(3) = 9 = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52
Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2.
Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0.
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x).
Vì hệ số của x5 bằng 1 nên Q(x) có dạng:
Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5).
Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62
Hay P(6) = 5! + 62 = 156.
Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72
Hay P(7) = 6! + 72 = 769
BÀI TẬP
Dạng 1. Tính giá trị của đa
Bài tập 1.1Cho P(x) = x5-14x4+85x3-224x2+274x-110
Lập quy trình bấm phím tính giá trị của biểu thức tại x=a
Tính P tại x=5,9; 20,11; 22,12; 14,2; 27,2; 26,3; 30,4.
Bài tập1.2(Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức: 
a. Tính khi x = 1,35627
b. Tính khi x = 2,18567
Bài tập1.3 Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1
 Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P()
H.Dẫn:
- Lập công thức P(x)
- Tính giá trị của đa thức tại các điểm: dùng chức năng 
- Kết quả: P(1,25) = ; P(4,327) = 
 P(-5,1289) = ; P() =
Bài tập:1.4Tính giá trị của các biểu thức sau:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 tại x = 0,53241
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 tại x = -2,1345
H.Dẫn:
- Áp dụng hằng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1). Ta có:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 = 
Từ đó tính P(0,53241) = 
Tương tự: 
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 +...+ x8) = 
Từ đó tính Q(-2,1345) = 
Bài tập1.5:Cho đa thức 
a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
Giải:
a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0
b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x) nên 
Vì giữa 9 só nguyên liên tiếp luôn tìm được các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với mọi x nguyên thì tích: chia hết cho 2.5.7.9 (tích của các số nguyên tố cùng nhau). Chứng tỏ P(x) là số nguyên với mọi x nguyên.
Bài tập1.6:Cho và 
Với giá trị nào của a, b, c thì P(x) = Q(x) đúng với mọi x thuộc tập xác định . 
Tính giá trị của P(x) khi x = .
 Tính n để chia hết cho x + 3
 Bài tập1.7:Cho đa thức P(x) = x4 +5x3 - 3x2 + x - 1. Tính giá trị của P(1,35627). 
Giải:
 P(1,35627) = 10,69558718
Bài tập1.8:Cho đa thức P(x) = x8 + 4x7 + 6x6 + 4x5 + x4
1. T ính giá trị của P(x) và (làm tròn đến 0,0001) khi cho x nhận các giá trị : 
-, , 1, -.
Bài tập1.9:Cho đa thức f(x) = x5 + x3 + x + 2008
1. Tính giá trị của f(x) khi cho x nhận các giá trị: 2 ; -1 ; 3; -; .
2. Chứng minh rằng: f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Giải:
2. f(x) = x5 + x3 + x + 2008
Đặt A = x5 + x3 + x
Ta CM: A là một số nguyên với mọi x nguyên dương từ đó f(x) là một số nguyên.
Thật vậy: A = x5 + x3 + = x5 + x3 + x - 
 =x5 + x3 + x - x -x
 - + x
Ta CM x5 - x Chia hết cho 5; x3 - x chia hết cho 3.
thật vậy: x5 - x = x(x4 - 1)= x(x2 - 1)(x2 + 1)
=x(x2 - 1)(x2 - 4 + 5)
= x(x2 - 1)(x2 - 4) + 5x(x2 - 1)
=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) + 5(x-1)x(x+1)
(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5. 
nên nguyên5(x-1)x(x+1) chi hết cho 5
x3 - x = x(x2-1) = (x-1)x(x+1) chia hết cho 3 nên nguyên
Vậy bài toán CM xong.
Dạng 2. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x)
cho nhị thức ax + b
Bài tập: 2.1(Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư trong phép chia 
Bài tập2.2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) 
Cho . Tìm phần dư r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 và x-3. Tìm BCNN(r1,r2)?
Bài tập2.3:Tìm dư trong phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho (2x - 5)
Giải:
Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r Þ 
Tính trên máy ta được: r = = 
Bài tập2.4:Tính số dư r trong phép chia 
Bài tập2.5:: Tìm số dư trong các phép chia sau:
x3 – 9x2 – 35x + 7 cho x – 12.
x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617.
Bài tập2.6:Cho f(x) = 2x6-4x5+7x4-11x3-8x2+5x-2007. Gọi r1 và r2 lần lượt là số dư của phép chia f(x) cho x-1,12357 và x+0,94578. 
Tính B=0,(2006)r1-3,(2007)r2.
Dạng 3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m
chia hết cho nhị thức ax + b
Bài tập3.1: a)Viết phương trình ấn phím để:
Tìm m để đa thức chiahết cho 
b) Với giá trị nào của m thì đa thức chia hết cho 6x + 9
Bài tập3.2:Tìm m để đa thức 
 chia hết cho 
Bài tập3.3:Cho đa thức 
Tìm số dư r trong phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) khi m = 2005 
Tìm giá trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5 
 Tìm giá trị m2 để đa thức P(x) có nghiệm x = 3 
Bài tập3.4:Cho đa thức P(x) = x4 + x3 + x2 + x + m.
a) Tìm m để P(x) chia hết cho Q(x) = x + 10.
Kết quả
m = -9090 (2,5đ) 
b) Tìm các nghiệm của đa thức P(x) với giá trị vừa tìm được của m. 
Kết quả
x1 = -10, x2 » 9,49672 (2,5đ)
Bài tập3.5:Cho ®a thøc P(x) = x4 - 4x3 - 19x2 + 106x + m.
a)T×m m ®Ó ®a thøc P(x) chia hÕt cho x + 5.
b) Víi m t×m ®­îc ë c©u a), h·y t×m sè d­ r khi chia ®a thøc P(x) cho x – 3.
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số của
thỏa mãn một điều kiện nào đó:
Bài tập4.1:
Cho biết đa thức P(x) = x4 + mx3 – 55x2 + nx – 156 chia hết cho x – 2 và chia 
 hết cho x – 3. Hãy tìm giá trị của m, n rồi tính tất cả các nghiệm của đa thức
Bài tập4.2:Đa thức P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có giá trị bằng 5, 4, 3, 1, -2 lần lượt tại 
 x = 1, 2, 3, 4, 5. Tính giá trị của a, b, c, d, e và tính gần đúng các nghiệm của đa thức đó
Bài tập4.3:Xác định các hệ số a , b ,c của đa thức để sao cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1 , chia cho (x – 3) có số dư là 2 và chia cho (x - 14) có số dư là 3. ( Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân )
Giải:
Lập luận đưa đến hệ 2 điểm; tìm được a,b,c đúng mỗi ý cho 1 điểm
Đáp số: : a = 3,69 ; b = -110,62 ; c = 968,28
Bài tập4.4Cho hai đa thức sau:
	f(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + a
	g(x) = -3x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + b
a)Tìm điều kiện của a và b để hai đa thức f(x) và g(x) có nghiệm chung
 x = 0,25 ?
b) Cho đa thức:Q(x) =5x5 - x4 - 6x3 + 27x2 - 54x + 32
Sử dụng các phím nhớ. Lập quy trình tìm số dư trong phép chia đa thức Q(x) cho 2x + 3?
c)Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6
d)Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625
+ Tính P(2)
+ Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3
Bài tập4.5:Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức 
Q(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx – 2007 tại các giá trị của
 x = 1,15; 1,25; 1,35; 1,45
Bài tập4.6:Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c.
 Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9.
a) Tìm số dư khi chia P(x) cho x – 4 ?
b) Tìm số dư khi chia P(x) cho 2x + 3 ?’
Bài tập4.7:Biết đa thức Q(x) = x4 + mx3 - 44x2 + nx - 186 chia hết cho x + 2 và nhận x = 3 là nghiệm. Hãy tính giá trị của m và n rồi tìm tất cả các nghiệm còn lại của Q(x). 
Giải
Tõ gi¶ thiÕt => Q(-2) = Q(3) = 0 => t×m m, n
Tõ gi¶ thiÕt => Q(x) cã 2 nghiÖm nguyªn
=> Q(x) = (x+2)(x-3)(x2+7x-31) 
Dïng m¸y gi¶i ph/tr bËc 2 => 2 nghiÖm cßn l¹i.
m = 6; n = -11
x2 = -2
x3 » 3,076473219 
x4 » -10,076473219 
Bài tập4.8:Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức.
Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007
Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45.
Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là 
9, 21, 33, 45(Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân)
Bài tập4.8:Biết rằng số dư trong phép chia đa thức
 x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 – ax + 7 cho (x + 5) bằng 2007. Tìm a.
Dạng 5: Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức
Bài tập5.1: Khi chia đa thức 2x4 +8x3 -7x2 +8x -12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc là 3 . Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x) ? 
Bài tập5.2:Cho P(x) = .
a)Tìm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5.
b)Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân.
Bài tập5.3:Tìm số dư trong phép chia đa thức
 x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652. 
Tìm hệ số của x2 trong đ thức thương của phép chia trên.
Dạng 6. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Dạng 7. Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức
Dạng8. tính giá trị của đa thức khi biết một số giá trị khác của đa thức
Bài tập8.1: Cho đa thức 
và cho biết P(1) = 1 , P(2) = 7 , P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49 . 
Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) và P(11) ? 
Bài tập8.2:Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005
Biết rằng khi x lần lượt nhận giá trị 1, 2, 3, 4 thì giá trị tương ứng của đa thức P(x) lần lượt là 8, 11, 14, 17. Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11, 12, 13, 14, 15.
Bài tập8.3:Cho P(x) = x3 + ax2 + bx + c; P(1)=1; P(2)=4; P(3)=9. viết quy trình để tính P(9) và P(10) ?
Bài tập8.4:Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. 
Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9.
a) Tìm số dư khi chia P(x) cho x - 4 ?
b) Tìm số dư khi chia P(x) cho 2x + 3 ?
Bài tập8.5:Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007
Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45.
Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là 9, 21, 33, 45 (Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân)
Bài tập8.6:Cho 
 P(1) = 1; P(2) = 2; . . . . .; P(17) = 17. Tính P(18) (H(x) = x )
Bài tập8.7: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
 Biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9, P(4) = 11. (H(x) = 2x +3)
Tìm a, b, c, d
Tính .
 Giải:
a, C1: P(x) = (x – 1)(x – 2)(x - 3)(x – 4) + 2x + 3
 Suy ra a, b, c, d
 C2: Giải hệ phương trình , suy ra a, b, c, d
b, Nhập P(x) = x4 - 10x3 + 35x2 - 48x + 27 vào máy
 Dùng lệnh Calc nhập 15 Shift Sto A ; Calc nhập (-)12 shift Sto B; Nhập ( Alpha A + Alpha B ) : 20 + 15 =
a. a = - 10, b = 35 
 c = - 48, d = 27
b. 3400.8000
Bài tập8.8: Cho đa thức 
 biết P(1) = 4 , P(-2) = 7 , P(3) = 24 , P(-4) = 29 
Tính giá trị của a , b , c , d và P(40) , P(2008) ? 
Bài tập8.9: Cho 
biết P(1) = 0,5 , P(2) = 2 , P(3) = 4,5 , P(4) = 8 . (H(x) =1/2 x2)
 Tính giá trị của a , b , c , d và P(8) , P(2007) ? 
Bài tập7.10: Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q . 
Biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 , Q(4) = 11 . (H(x) = 2x +3)
Tính các giá trị của Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13) 
Hướng dẫn 
Q(1) = 5 = 2.1 + 3; Q(2) = 7 = 2.2 + 3; Q(3) = 9 = 2.3 + 3 ; 
Q(4) = 11 = 2.4 + 3
Xét đa thức Q1(x) = Q(x) – (2x + 3) (H(x) = 2x +3)
Bài tập8.12: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e . 
Biết P(1) = 3 , P(2) = 9 , P(3) = 19 , P(4) = 33 , P(5) = 51 . (H(x) = 2x2 +1)
Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) , P(11) . 
Bài tập8.13: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c.
 Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9. Hãy viết quy trình để tính P(9) và P(10) ? (H(x) = x2)
Bài tập8.14: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
 Có P(1) = 0,5 ; P(2) = 2 ; P(3) = 4,5 ; P(4) = 8. Tính P(2002), P(2003) (H(x) =1/2 x2)
Bài tập8.15: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
 Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50.
 Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8)
Bài tập8.16: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
 Biết P(1) = 0; P(2) = 4 ; P(3) = 18 ; P(4) = 48. Tính P(2007) (H(x) =x3-x2)
Bài tập8.17: Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c .
 Biết : f = ; f = ; f = . 
Tính giá trị đúng và gần đúng của f .
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a,b,c)
Bài tập8.18:- Bài tập8.16: Cho đa thức 
biết P(1) = 0 , P(2) = 4 , P(3) = 18 , P(4) = 48 . Tính P(2007) ? (H(x) =x3-x2)
Bài tập8.19: Cho đa thức . 
Biết rằng . (H(x) = 5x +1)
Hãy tính đúng giá trị của ( trình bày vắn tắt lời giải)
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho chia hết cho 24. ( trình bày vắn tắt lời giải)
Giải
 tại có 5 nghiệm là 1; 2; 3; 4; 5 hay . Thay x = 5; 6; 7; 8; 9 ta được 
Bài tập8.20: Cho đa thức P(x) có bậc 4 thoả mãn:
P(1) = -1, P(2) = 2, P(3) = 7, P(4) = 14, P(5) = 24. 
Tính P(26), P(27), P(28), P(29), P(30).
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=1/24;,b = -5/12;c =59/24; d= -25/12; e=-1)
Kết quả
P(26) = 13.324, P(27) = 15.677, P(28) = 18.332,
P(29) = 21.314, P(30) = 24.649 (5đ)
Bài tập8.21: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c
 Biết rằng: P(1945) = 1945 ; P(1954) = 1954 ; P(1975) = 1975. (H(x) = x )
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=-5874;,b = 11501055,19;c =-7506045115)
a) Tính P(2005). 
b) Đặt Q(x) = P(x) + m. Tìm giá trị của m để đa thức Q(x) chia hết cho (x - 2005,05) (chính xác đến 5 chữ số thập phân).
Bài tập8.22: Cho 
 Biết Tính 
(H(x) = 2x +3)
Bài tập8.23: Đa thức 
có giá trị là 3; 0; 3; 12; 27; 48 khi x lần lượt nhận giác trị là 1; 2; 3; 4; 5; 6
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;f=)
Xác định các hệ số a, b, c, d, e, f của P(x)
Tính giá trị của P(x) với x = 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20 
Bài tập8.24: Cho ña thöùc 
 bieát P(1) = 1 , P(2) = 7 , P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49 . (H(x) = 2x2 -1)
Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) vaø P(11) ? 
Bài tập8.25: Cho ña thöùc 
vaø cho bieát P(-1) = -2 , P(2) = 4 , P(3) = 10 , P(-4) = 10 , P(5) = 28 .
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;)
Tính P(38) vaø P(40) ? 
Bài tập8.26: Cho ña thöùc 
 bieát P(1) = 0,5 , P(2) = 2 , P(3) = 4,5 , P(4) = 8 . (H(x) =1/2 x2)
 Tính giaù trò cuûa a , b , c , d vaø P(8) , P(2007) ? 
Bài tập8.27: Cho ña thöùc 
bieát P(1) = 4 , P(-2) = 7 , P(3) = 24 , P(-4) = 29 . 
Tính giaù trò cuûa a , b , c , d vaø P(40) , P(2008) ? 
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)
Bài tập8.28: Cho 
coù P(0) = 12,P(1) = 12, P(2) = 0, P(4) = 60 
a)Xaùc ñònh caùc heä soá a, b, c, d cuûa P()
b)Tính P(66) 
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)
Bài tập tổng hợp
Bài tập1: : (Thi khu vực 2001, lớp 8) 
Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m.
a. Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3.
b. Với m vừa tìm được ở câu a hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x-2 và phân tích P(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
c. Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2.
d. Với n vừa tìm được phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
Bài tập2: : (Thi khu vực 2002, lớp 9) 
a. Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f. 
Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15.
 Tính P(6), P(7), P(8), P(9).
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;e=)
Bài tập3: Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q. 
Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11. (H(x) = 2x +3)
Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13). 
Bài tập4: (Thi khu vực 2002, lớp 9) 
Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n.
a. Tìm giá trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2.
b. Với giá trị m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một nghiệm duy nhất.
Bài tập5: : (Thi khu vực, 2003, lớp 9)
a. Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m.
	1. Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003
	2. Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5
	3. P(x) có nghiệm x = 2. Tìm m?
b. Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51. Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11). (H(x) = 2x2 +1)
Bài tập6: (Sở SG Cần Thơ 2002) 
Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c. 
Biết . 
Tính giá trị đúng và gần đúng của ?
Bài tập7: (Thi vào lớp 10 chuyên toán cấp III của Bộ GD, 1975)
1. Phân tích biểu thức sau ra ba thừa số: a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32.
2. Từ kết quả câu trên suy ra rằng biểu thức n4 – 6n3 + 272 – 54n + 32 luôn là số chẵn với mọi số nguyên n.
Bài tập11: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1984)
Có chính xác đúng 4 số nguyên dương n để là một số nguyên.
 Hãy tính số lớn nhất.
Bài tập12: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1988)
Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + 1 cho x – 1 được số dư là 5. Chia P(x) cho x – 2 được số dư là -4. 
Hãy tìm cặp (M,N) biết rằng Q(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + N chia hết cho (x-1)(x-2)
Bài tập13: (Thi khảo sát vòng tỉnh trường THCS Đồng Nai –Cát Tiên, 2004)
Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m.
a. Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm là 0,3648
b. Với m vừa tìm được, tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức (x -23,55) 
c. Với m vừa tìm được hãy điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
x
-2,53
4,72149
P(x)
Bài tập14: (Phòng GD huyện Bảo Lâm - Lâm Đồng, 2004)
1.Tính với x= -7,1254
2.Cho x=2,1835 và y= -7,0216. Tính 
3.Tìm số dư r của phép chia :
4.Cho . Tìm m để P(x) chia hết cho đa thức x+2
Bài tập15: : (Sở GD Lâm Đồng, 2005)
a. Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) 
biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7
Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f 
biết P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107. 
Tính P(12)?
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;f=)
Bài tập16: (Sở GD Phú Thọ, 2004)
Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33.
 Biết P(N) = N + 51. Tính N?
Bài tập17: : (Thi khu vực 2004)
Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d.
 Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. Tính:
a. Các hệ số b, c, d của đa thức P(x).
b. Tì