Các dạng toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 3

a được:
11c + d = 16
=>  c=1 và d=5
Đáp số: a=2; b=0; c=1; d=5
(Thử lại:  2015+201+20+2 = 2238)
BỐN PHÉP TÍNH TRÊN SỐ TỰ NHIÊN
*.Phép cộng
          *. Khi thêm vào (bớt ra) ở một, hai hay nhiều số hạng bao nhiêu đơn vị thì tổng sẽ tăng (giảm) bấy nhiêu đơn vị.
          *. Một tổng có hai số hạng, nếu ta thêm vào (bớt ra) ở số hạng này bao nhiêu dơn vị và bớt ra (thêm vào) ở số hạng kia bao nhiêu đơn vị thì tổng cũng không đổi.
          *. Phép cộng có nhiều số hạng bằng nhau, chính là phép nhân có thừa số thứ nhất là số hạng đó và thừa số thứ hai bằng số các số hạng. (a+a+a=a x3)
          *. Tính chất giao hoán:     a+b = b+a
          *. Tính chất kết hợp:       (a+b)+c=a+(b+c)
           *.Một số điều cần lưu ý:
          a/. Tổng của  các số chẵn là số chẵn.
          b/. Tổng của 2 số lẻ là số chẵn.
          c/. Tổng của nhiều số lẻ mà có số số hạng là số chẵn (số lẻ) là một số chẵn (số lẻ).
          d/. Tổng của 1 số chẵn và 1 số lẻ là một số lẻ.
          e/. Tổng một số chẵn các số lẻ là một số chẵn.
          f/.  Tổng một số lẻ các số lẻ là một số lẻ.
          g/. Một số cộng với 0 bằng chính số đó.    (a+0 = 0+a = a)
 *.Phép Trừ
        *. Khi ta thêm vào (bớt ra)ở số bị trừ bao nhiêu đơn vị và giữ y số trừ thì hiệu sẽ tăng thêm (giảm đi) bấy nhiêu đơn vị.
       *. Khi ta thêm vào (bớt ra) ở số  trừ bao nhiêu đơn vị và giữ y số bị trừ thì hiệu sẽ giảm đi (tăng thêm) bấy nhiêu đơn vị.
       *. Khi ta cùng thêm vào (bớt ra) ở số bị trừ  và số trừ cùng một số đơn vị thì hiệu cũng không thay đổi.
*.Một số điều cần lưu ý:
          a/. Hiệu của 2 số chẵn là số chẵn.
          b/. Hiệu của 2 số lẻ là số chẵn.
          c/.Hiệu của một số chẵn và một số lẻ (số lẻ và số chẵn) là một số lẻ.
          d/.     a – a = 0   ;    a – 0 = a
 *.Phép Nhân
          *. Tích gấp thừa số thứ nhất một số lần bằng thừa số thứ hai (ngược lại).
          *. Trong một tích có nhiều thừa số, nếu có một thừa số bằng không (0) thì tích đó bằng không (0).
          *. Bất cứ số nào nhân với không (0) cũng bằng không (0).
          *. Số nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó.
          *. Tính chất giao hoán:                       a x b = b x a
          *. Tính chất kết hợp:                 (a x b) x c = a x (b x c)
          *. Nhân một số với một tổng:    a x (b + c) = a x b + a x c
          *. Nhân một số với một hiệu:     a x (b – c) = a x b – a x c
Tổng quát
a x (b+c-d) =a x b + a x c - a x d
           *.Một số điều cần lưu ý:
            a/. Tích của các số lẻ là một số lẻ.
            b/. Trong một tích nhiều thừa số nếu có ít nhất 1 thừa số là số chẵn thì tích là một số chẵn. (Tích của các số chẵn là một số chẵn.)
            c/. Trong một tích nhiều thừa số,  ít nhất một thừa số có hàng đơn vị là 5 và có ít nhất một thừa số chẵn thì tích có hàng đơn vị là 0.
            d/. Trong một tích nhiều thừa số,  ít nhất một thừa số có hàng đơn vị là 5 và các thừa số khác là số lẻ thì tích có hàng đơn vị là 5
            e/. Tích các thừa số tận cùng là chữ số 1 thì tận cùng là chữ số 1.
            f/. Tích các thừa số tận cùng là chữ số 6 thì tận cùng là chữ số 6.
*.Phép Chia
@.DẤU HIỆU CHIA HẾT:
          *. Chia hết cho 2: Chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
          *. Chia hết cho 5: Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
          *. Chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho 3.
          *. Chia hết cho 9: Tổng các chữ số chia hết cho 9.
          *. Chia hết cho 4: Hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4.
          *. Chia hết cho 8: Ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8.
          *. Chia hết cho 6: Vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3.
@ CHIA HẾT:
          *. Trong phép chia, nếu ta gấp (giảm đi) số bị chia lên bao nhiêu lần và giữ y số chia (mà vẫn chia hết) thì thương cũng tăng lên (giảm đi) bấy nhiêu lần.
          *. Trong phép chia, nếu ta gấp (giảm đi) số chia lên bao nhiêu lần và giữ y số bị chia (mà vẫn chia hết) thì thương sẽ giảm đi (tăng lên) bấy nhiêu lần.
          *. Nếu cùng tăng (giảm) ở số bị chia và số chia một số lần như nhau thì thương vẫn không đổi. 
          *. 0 chia cho bất cứ số nào khác không (0) cũng bằng 0.  (0 : a = 0 ; a khác 0)
          *. Số nào chia cho 1 cũng bằng chính số đó.
          *. Số bị chia bằng số chia thì thương bằng 1.           (a : a = 1)
@.CHIA CÓ DƯ:
          *. Số dư nhỏ hơn số chia.
          *. Số dư lớn nhất nhỏ hơn số chia 1 đơn vị.
         *. Trong phép chia có số dư lớn nhất, nếu ta thêm vào số bị chia 1 đơn vị thì sẽ trở thành phép chia hết, thương tăng thêm 1 đơn vị.
          *. Nếu cùng tăng (giảm) ở số bị chia và số chia một số lần như nhau (mà vẫn chia hết) thì thương vẫn không đổi nhưng số dư sẽ tăng thêm (giảm đi) bấy nhiêu lần. 
          *. Số bị chia bằng thương nhân với số chia cộng với số dư.          
                    a : b = k (dư   d)                     (a = k x b + d)
          *. Số bị chia trừ đi số dư thì chia hết cho số chia, thương không đổi.
            Liên quan đến phép chia có dư:
          *. Số dư ở phép chia cho 3 (nếu có) sẽ bằng số dư của phép chia tổng các chữ số của số đó cho 3. (Tương tự ở phép chia cho 9.)
          *. Số dư ở phép chia cho 5 (nếu có) sẽ bằng số dư của phép chia chữ số hàng đơn vị của số đó cho 5.
           *.Một số điều cần lưu ý:
            + Không thể chia cho 0.
            Trong phép chia hết.
          + Thương 2 số lẻ là số lẻ           (lẻ : lẻ = lẻ)
          + Thương của một số chẵn với một số lẻ là số chẵn.         (chẵn : lẻ = chẳn)
          + Số lẻ không chia hết cho số chẵn.
TRỒNG CÂY
 Trồng cây 2 đầu:         Số cây  =  số khoảng + 1
             *.Trồng cây 1 đầu:         Số cây  =  số  khoảng.
             *.Không trồng cây ở 2 đầu:       Số cây  = số khoảng – 1
             *.Trồng cây khép kín:               Số cây  = số khoảng.
BÀI TẬP
            Bài 1  (Bài giải)
          12-.Một miếng đất hình chữ nhật có trồng bạch đàn xung quanh được tất cả là 64 cây. Biết hai cây liền nhau cách nhau 2m, chiều dài hơn chiều rộng 8m.
          Tính diện tích miếng đất bằng m2?  bằng a?
            Bài 2 (Bài giải)
          13-.Trên một cây cầu dài 15 m, người ta trồng những cây trụ làm lan can ở 2 bên cầu. Biết cây này cách cây kia 1,5m và làm ở cả 2 đầu cầu.
          Hỏi người ta cần bao nhiêu cây trụ để làm lan can?
            Bài 3 (Bài giải)
          14-.Một hầm cá hình chữ nhật có chiều dài 16m, chiều rộng bằng ¼  chiều dài. Người dùng trụ đá để làm hàng rào kẻm gai xung quanh hầm, biết trụ này cách trụ kia 2m. Giá mỗi trụ đá là 12000 đồng.
          Hỏi người ta tốn bao nhiêu tiền mua trụ đá để làm hàng rào?
       Đố vui: (Bài giải)
         Làm cách nào để trồng 10 cây chuối thành 5 hàng, mỗi hàng có 4 cây? 
DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
                 *. TỔNG                          = (Số đầu + số cuối) x Số số hạng : 2
                   *. SỐ CUỐI                     = Số đầu + Đơn vị khoảng cách   x  (số số hạng - 1)
                  *. SỐ ĐẦU                       = Số cuối - Đơn vị khoảng cách  x  (số số hạng - 1)
                   *. SỐ SỐ HẠNG             = (Số cuối – Số đầu)  : Đơn vị khoảng cách + 1
                   *. TRUNG BÌNH CỘNG  =   Trung bình cộng của số đầu và số cuối.
(Dãy số tăng dần)
           Chú ý:
          Nói đến dãy số cách đều, ta nên quan tâm đến tổng các cặp số bằng nhau.
         *.Phân tích dãy số cách đều:  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
         -Có số số hạng là chẵn thì có đủ số cặp: 1+10 ; 2+9; 3+8 ; 4+7 ; 5+6
                                   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
         -Có số số hạng là lẻ thì số ở giữa bằng ½ tổng mỗi cặp (số đầu + số cuối):
                        1+11 ; 2+10 ; 3+9 ; 4+8 ; 5+7         Số    6 = (1+11):2
           *.Cần xác định được hai số liên tiếp cách đều bao nhiên đơn vị, số hạng đầu, số hạng cuối, bao nhiêu số hạng.
           *.Tuỳ theo dãy số tăng hay giảm để vận dụng các công thức một cách hợp lí.
           Ví dụ:           1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25
                   Dãy số cách đều nhau 3 đơn vị, có 9 số hạng, số hạng đầu là 1, số hạng cuối là 25.
                        TỔNG               =     (1 + 25) x 9 : 2 = 117
                        SỐ CUỐI          =    1 + 3 x (9 - 1)    =   25
                        SỐ ĐẦU            =   25 - 3 x (9 - 1)   =    1
                         SỐ SỐ HẠNG =    (25 - 1) : 3 + 1   =   9
                     TB CỘNG =  (1+4+7+10+13+16+19+22+25) : 9  = (1 + 25) : 2 =13   hay bằng số ở giữa  13   
TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT CỦA PHÉP TÍNH
LẬP SỐ
CÁC SỐ TỰ NHIÊN
          Các bài tập về lập số các số tự nhiên thường ta căn cứ vào cấu tạo số tự nhiên để lập các số theo yêu cầu của đề bài. Nên chú ý lập số theo một thứ tự nhất định, như: từ nhỏ đến lớn hoặc ngược lại từ lớn đến nhỏ như thế sẽ ít bị sai sót hơn.
CÁCH 1: Liệt kê
          Ví dụ 1:
          Cho 3 chữ số 1; 2; 3. Lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số?
          Bài giải:
          Các số tự nhiên có 3 chữ số được viết từ 3 chữ số: 1; 2; 3 là:
111; 112; 113; 121; 122; 123; 131; 132; 133
211; 212; 213; 221; 222; 223; 231; 232; 233
311; 312; 313; 321; 322; 323; 331; 332; 333
          Có tất cả 27 số.
          Ví dụ 2:
          Cho 3 chữ số 1; 2; 3. Lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau?    
          Bài giải:
          Các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được viết từ 3 chữ số: 1; 2; 3 là:
123; 132; 213; 231; 312; 321. Có tất cả 6 số.
          Ví dụ 3:
          Cho 4 chữ số 0; 1; 2; 3. Lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau?          
          Bài giải:
          Các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số: 0; 1; 2; 3 là:
102; 103; 120; 123; 130; 132
201; 203; 210; 213; 230; 231
301; 302; 310; 312; 320; 321
          Có tất cả 18 số.
CÁCH 2:
          Qua 3 ví dụ trên, ta thấy ở bài tập nêu ra có số lượng chữ số cho trước gồm những chữ số cụ thể và yêu cầu của số cần lập là như thế nào? Ta có cách tìm số lượng các số được lập mà không cần phải liệt kê, như sau:
          Ví dụ 1:
          Cho 3 chữ số 1; 2; 3. Lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số?
          Ở bài tập này đề bài cho ta 3 chữ số là 1; 2; 3. Yêu cầu ta lập các số có 3 chữ số mà số có 3 chữ số gồm có: hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị.
          Bài giải:
Với 3 chữ số: 1; 2; 3.
-Hàng trăm có 3 lựa chọn.
-Hàng chục có 3 lựa chọn.
-Hàng đơn vị có 3 lựa chọn.
Số lượng số có 3 chữ số lập được là:  3 x 3 x 3 = 27 (số)
          Ví dụ 2:
          Cho 3 chữ số 1; 2; 3. Lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau?    
          Ở bài này khác với bài 1 là lập số có 3 chữ số khác nhau nên nếu đã chọn hàng trăm rồi thì không được chọn ở hàng chục và hàng đơn vị.
          Bài giải:
Với 3 chữ số: 1; 2; 3.
-Hàng trăm có 3 lựa chọn.
-Hàng chục có 2 lựa chọn.
-Hàng đơn vị có 1 lựa chọn.
Số lượng số có 3 chữ số lập được là:  3 x 2 x 1 = 6 (số)
          Ví dụ 3:
          Cho 4 chữ số 0; 1; 2; 3. Lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau?          
           Ở bài này, các số cho trước có chữ số 0. Chữ số 0 không được đặt ở hàng cao nhất với số tự nhiên (số có 3 chữ số không thể là 023).
          Bài giải:
Với 4 chữ số: 0; 1; 2; 3.
-Hàng trăm có 3 lựa chọn. (không được chọn chữ số 0).
-Hàng chục có 3 lựa chọn.
-Hàng đơn vị có 2 lựa chọn.
Số lượng số có 3 chữ số lập được là:  3 x 3 x 2 = 18 (số)
CÁCH 3: Sơ đồ HÌNH CÂY
          Lập sơ đồ HÌNH CÂY chính là cụ thể của cách 2 giúp học sinh hiểu và liệt kê ra các số một cách tương đối chính xác hơn, dễ kiểm tra và tránh được những sai sót khi lập số.
          Ví dụ 1:
          Cho 3 chữ số 1; 2; 3. Lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số?
          Ở bài này ta lập sơ đồ như sau:
          Nhìn qua sơ đồ ta thấy có 3 cách lựa chọn ở hàng trăm (1;2;3), mỗi cách lựa chọn hàng trăm có 3 cách lựa chọn ở hàng chục (1;2;3), mỗi cách lựa chọn hàng chục có 3 cách lựa chọn ở hàng đơn vị (1;2;3).
          Như vậy có tất cả:  3 x 3 x 3 = 27 (số)
          Ví dụ 2:
          Cho 3 chữ số 1; 2; 3. Lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau?    
          Ta có sơ đồ:
          Có tất cả  6 số.
          Ví dụ 3:
          Cho 4 chữ số 0; 1; 2; 3. Lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau?          
          Ta có sơ đồ:
          Với 3 cách trên đây người ta thường sử dụng ở cách 2 nhiều hơn để tìm ra số cần lập có số lượng khá lớn. Còn ở cách 1 và cách 3 để giới thiệu cách liệt kê với một số lượng số cần lập không lớn có mức độ tương đối chính xác giúp các em học sinh bước đầu làm quen với việc lập số.
HIỆU TRONG BÀI TOÁN TỔNG - HIỆU. 
Ở lớp 4 học sinh được làm quen với dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó. Tuy nhiên trong một số bài toán người ta chỉ cho biết tổng của hai số và giữa chúng có n số tự nhiên. Vậy với những bài toán này học sinh sẽ tìm hiệu của hai số đó như thế nào ? Chúng ta hãy cùng tìm hiểu qua một vài ví dụ sau nhé !
        Dạng 1:  Tìm hai số lẻ (hoặc hai số chẵn) liên tiếp khi biết tổng của hai số đó.
       Ví dụ: Tìm hai số chẵn liên tiếp biết tổng của chúng là 2010 ?
       Phân tích: Vì hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên hiệu của hai số đó là 2.
Bài giải:
Theo bài ra ta có: Hiệu hai số cần tìm là 2
Số bé là: (2010 – 2) : 2 = 1004
Số lớn là: 2014 – 994 = 1006
Đáp số:  Số bé: 1004
                 Số lớn: 1006
        Kết luận: Hiệu của hai số chẵn (hoặc hai số lẻ) liên tiếp là 2.
        Dạng 2:  Tìm hai số khi biết tổng của hai số và giữa chúng có n số tự nhiên liên tiếp.
       Ví dụ: Tìm hai số biết tổng của chúng là 2014 và giữa chúng có 25 số tự nhiên liên tiếp ?
       Phân tích: Vì giữa hai số cần tìm có 25 số tự nhiên liên tiếp nên giữa chúng sẽ có 26 khoảng cách là 1.
Bài giải:
Hiệu hai số là: 25 + 1 = 26
Số bé là: (2014 – 26) : 2 = 994
Số lớn là: 2014 – 994 = 1020
Đáp số:  Số bé: 994
                  Số lớn: 1020
         Kết luận: Hiệu của hai số khi biết tổng và giữa chúng có n số tự nhiên liên tiếp là: n + 1
         Dạng 3:  Tìm hai số biết tổng của hai số (tổng là 1 số lẻ) và giữa chúng có n số lẻ (hoặc n số chẵn) liên tiếp.
        Ví dụ: Hai số có tổng là 2013. Tìm hai số đó biết giữa chúng có 21 số chẵn liên tiếp ?
        Phân tích: Vì tổng của hai số đã cho là một số lẻ nên 2 số cần tìm sẽ là một số chẵn và một số lẻ. Mặt khác giữa chúng có 21 số chẵn liên tiếp nên sẽ có 21 khoảng cách là 2 và 1 khoảng cách là 1.
Bài giải:
Hiệu hai số là: 21 x 2 + 1 = 43
Số bé là: (2013 – 43) : 2 = 985
Số lớn là: 2013 – 985 = 1028
Đáp số:  Số bé: 985
                  Số lớn: 1028
          Kết luận: Hiệu của hai số khi biết tổng của hai số là một số lẻ và giữa chúng có n số lẻ (hoặc n số chẵn) liên tiếp là: n x 2 + 1
         Dạng 4:  Tìm hai số khi biết tổng của hai số (tổng là 1 số chẵn) và giữa chúng có n số chẵn liên tiếp.
         Trường hợp 1: Hai số cần tìm đều  là  số chẵn.
        Ví dụ: Tìm hai số chẵn biết tổng của chúng là 4020 và giữa chúng có 79 số chẵn liên tiếp ?
        Phân tích: Vì hai số cần tìm đều là số chẵn và giữa chúng có 79 số chẵn liên tiếp nên sẽ có 80 khoảng cách là 2.
Bài giải:
Hiệu hai số là: (79 + 1) x 2 =  160
Số bé là: (4020 – 160) : 2 = 1930
Số lớn là: 4020 – 1930 = 2090
Đáp số:  Số bé: 1930
                 Số lớn: 2090
          Kết luận: Hiệu của hai số chẵn khi biết tổng của hai số và giữa chúng có n số chẵn liên tiếp là: (n + 1) x 2
         Trường hợp 2: Hai số cần tìm là hai số lẻ.
         Ví dụ: Tổng hai số lẻ là 4000 và giữa chúng có 51 số chẵn liên tiếp. Tìm hai số đó ?
        Phân tích: Vì hai số cần tìm là hai số lẻ và giữa chúng có 51 số chẵn liên tiếp nên sẽ có 50 khoảng cách là 2 và 2 khoảng cách là 1. Ta hướng dẫn học sinh tìm hiệu như sau: 50 x 2 + 1 + 1 = 50 x 2 + 2 = (50 + 1) x 2 = 51 x 2.
Bài giải:
Hiệu hai số là: 51 x 2 =  102
Số bé là: (4000 – 102) : 2 = 1949
Số lớn là: 4000 – 1949 = 2051
Đáp số:  Số bé: 1949
                                                               Số lớn: 2051
          Kết luận: Hiệu của hai số lẻ khi biết tổng của hai số và giữa chúng có  n số chẵn liên tiếp là: n x 2
         Dạng 5:  Tìm hai số khi biết tổng của hai số (tổng là 1 số chẵn) và giữa chúng có n số lẻ liên tiếp.
        Trường hợp 1: Hai số cần tìm đều là  số chẵn.
        Ví dụ: Tìm hai số chẵn biết tổng của chúng là 1080 và giữa chúng có 18 số lẻ liên tiếp ?
        Phân tích: Vì hai số cần tìm là hai số chẵn và giữa chúng có 18 số lẻ liên tiếp nên sẽ có 17 khoảng cách là 2 và 2 khoảng cách là 1. Ta hướng dẫn học sinh tìm hiệu như sau: 17 x 2 + 1 + 1 = 17 x 2 + 2 =  (17 + 1) x 2 = 18 x 2.
Bài giải:
Hiệu hai số là: 18 x 2 =  36
Số bé là: (1080 – 36) : 2 = 522
Số lớn là: 1080 – 522 = 558
Đáp số:  Số bé: 522
                Số lớn: 558
          Kết luận: Hiệu của hai số chẵn khi biết tổng của hai số và giữa chúng có  n số lẻ liên tiếp là: n x 2
          Trường hợp 2: Hai số cần tìm là hai số lẻ.           
         Ví dụ: Tìm hai số lẻ biết tổng của chúng là 2014 và giữa chúng có 31 số lẻ liên tiếp ?
       Phân tích: Vì hai số cần tìm đều là số lẻ và giữa chúng có 31 số lẻ liên tiếp nên sẽ có 32 khoảng cách là 2.
Bài giải:
Hiệu hai số là: (31 + 1) x 2 =  64
Số bé là: (2014 – 64) : 2 = 975
Số lớn là: 2014 – 975 = 1039
Đáp số: Số bé: 975
                                                                Số lớn: 1039
          Kết luận: Hiệu của hai số lẻ khi biết tổng của hai số và giữa chúng có  n số lẻ  liên tiếp là: (n + 1) x 2
         Một số bài luyện tâp:
        Bài 1: Tìm hai số lẻ liên tiếp biết tổng của chúng là 1606 ?      
        Bài 2: Hai số có tổng là 4801. Tìm hai số đó biết giữa chúng có 100 số tự nhiên liên tiếp ?
        Bài 3: Tìm hai số biết giữa chúng có 15 số lẻ liên tiếp và tổng của chúng là 2011 ?
        Bài 4: Cho hai số có tổng là 1982. Tìm hai số biết giữa chúng có 25 số lẻ liên tiếp ?
MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC. 
Như chúng ta đã biết ở Tiểu học có một số dạng bài tính nhanh mà nếu ta tính theo những cách thông thường thì khó có thể tìm ra được kết quả. Ở mỗi dạng bài tính nhanh có những cách tính đặc trưng riêng. Sau đây tôi xin được giới thiệu một số dạng bạng bài tính nhanh với những cách tính đặc trưng của từng dạng qua một vài ví dụ cụ thể sau:
NHÓM 1:
Bài 1: Tính nhanh
S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..................... + 1/128 + 1/256
Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau bằng 1/2 số hạng liên trước nên ta có thể giải theo các cách sau:
Cách 1:
S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + .....................1/128 + 1/256
= 1 + (1 – 1/2) + (1/2 – 1/4) + (1/4 – 1/8) + ....................... (1/128 – 1/256)
= 2 – 1/256 = 511/256
Vậy S = 511/256
Cách 2:
S x 2 = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + .................................... + 1/128
S x 2 – S = 2 – 1/ 256 = 511/256
Vậy S = 511/256
Bài 2: Tính nhanh
S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ..................... + 1/2187
Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau bằng 1/3 số hạng liên trước nên ta có thể giải theo cách 2 như bài 1:
S x 3 = 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ..................... + 1/729
S x 3 – S = 3 – 1/2187 = 6560/2187
Vậy S =  6560/2187 : 2 = 6560/4374
Bài 3: Tính nhanh
A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192
Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau gấp 2 lần số hạng liền trước. Ta có thể giải bài toán trên theo các cách sau:
Cách 1:
A x 2 = 2 + 4 + 8 + ....................... + 16384
A x 2 – A = 16384 – 1 = 16383
Vậy A = 16383
Cách 2: Ta thấy: Tổng 3 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 = 3 + 4
Tổng 4 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 + 8 = 7 + 8
Tổng 5 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 15 + 16
Theo quy luật đó ta sẽ tính được kết quả của tổng trên là:
A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192 = 8191 + 8192 = 16383
Vậy A = 16383
Cách 3: Nhận xét:
2 = 1 + 1
4 = (1 + 2) + 1
8 = (1 + 2 + 4) + 1
....................