Các dạng bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 5 - Năm học 2015-2016 - Trường Tiểu học Hợp Thanh B

h diện tích hình tam giác ABC.
AB = 2/3AC = 10/15AC
BC = 4/5AC = 12/15AC
Như vậy nếu AC có 15 phần bằng nhau thì AB có 10 phần và BC có 12 phần.
Tổng số phần bằng nhau là:
10 + 12 + 15 = 37 (phần)
Giá trị 1 phần là:
37 : 37 = 1 (dm)
Độ dài cạnh AB là:
1 x 10 = 10 (dm)
Độ dài cạnh BC là :
1 x 12 = 12 (dm)
Diện tích hình tam giác ABC là :
10 x 12 : 2 = 60 (dm2)
Đáp số : 60dm2.
Bài 93: 
Một mảnh vườn HCN có chiều rộng bằng 1/4 chiều dài. Nếu bớt chiều dài đi 5 m để thêm vào chiều rộng thì lúc đó chiều rộng bằng 4/11 chiều dài.Tính diện thích mảnh vườn?
Ta thấy: 1/4 = 3/12
Khi bớt đi chiều dài và thêm chiều rộng thì nửa chu vi vẫn không đổi và hiệu chúng sẽ giảm đi:
5 x 2 = 10 (m)
10m ứng với số phần bằng nhau là:
(12-3) – (11-4) = 2 (phần)
Giá trị 1 phần là:
10 : 2 = 5 (m)
Chiều rộng hình chữ nhật là :
5 x 3 = 15 (m)
Chiều dài hình chữ nhật là :
5 x 12 = 60 (m)
Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là :
60 x 15 = 900 (m2)
Đáp số : 900m2.
Bài 94:
Cho hình thang ABCD có đáy AB = 15 cm,DC=45 cm .Hai đường chéo cắt nhau tại E biết diện tích tam giác EBC là 30 cm2.Tính diện tích hình thang ABCD?
AB/DC = 15/45 = 1/3
SABD = 1/3SBDC (AB/DC=1/3 , chiều cao bằng nhau bằng chiều cao hình thang).
Mà 2 tam giác này có cạnh BD chung nên 2 đường cao kẻ từ A và từ C xuống BD tỉ lệ với 2 diện tích. 
Cao từ A = 1/3 cao từ C (xuống BD).
Tương tự suy ra: 
SABE = 1/3 SEBC = 30 : 3 = 10 (cm2)
SABC = SABE + SEBC = 10 + 30 = 40 (cm2)
Tương tự:
SADC = 3SABC = 40 x 3 = 120 (cm2)
SABCD = SABC + SADC = 40 + 120 = 160 (cm2)
Đáp số: SABCD = 160cm2.
Bài 95:
Cho hình thanh ABCD có đáy bé bằng 2/3 đáy lớn .Hai đường chéo AC và DB cắt hau tại M .Biết diện tích tam giác AMB bằng 40 cm2 .
a. So sánh diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác ADC 
b. Tính diện tích hình thang ABCD?
a).Do AB=2/3CD nên SABC=2/3SADC. 
Hai chiều cao tương ứng 2 cạnh đáy bằng nhau bằng chiều cao hình thang.
b).Mà hai tam giác này có AC chung nên đường cao kẻ từ B bằng 2/3 đường cao kẻ từ D xuống AC.
Hai đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác ABM và ADM. hai tam giác này lại có cạnh đáy AM chung nên:
SAMD = 3/2SAMB = 40 x 3/2 = 60 (cm2)
SABD = SAMD + SAMB = 60 + 40 = 100 (cm2)
Tương tự ta có SCDB = 3/2SADB = 100 x 3/2 = 150 (cm2)
SABCD = SABD + SCDB = 100 + 150 = 250 (cm2)
Bài 96:
Cho một hình vuông , biết nếu tăng cạnh hình vuông lên 5 cm thì diện tích tăng 185cm2 . Tính diện tích hình vuông đã cho
Diện tích hình vuông màu vàng.
5 x 5 = 25 (cm2)
Tổng diện tích 2 hình chữ nhật màu trắng.
185 – 25 = 160 (cm2)
Cạnh hình vuông ban đầu.
(160 : 5) : 2 = 16 (cm)
Diện tích hình vuông đã cho.
16 x 16 = 256 (cm2)
Đáp số: 256cm2.
Bài 97:
Cho tam giac ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm. Tren canh AB lay diem D sao cho AD = 10 cm, tren canh AC lay diem E sao cho AE = 15cm.Noi D voi E . Tinh dien tich tam giac ABC biet dien tich tam giac ADE bang 45 cm2
BD = 15 – 10 = 5 (cm) => BD/AD = 5/10 = 1/2
EC = 20 – 15 = 5 (cm) => EC/AE = 5/15 = 1/3
SEBD = 1/2SEAD = 45 : 2 = 22,5 (cm2)
BD = 1/2AD, chung đường cao kẻ từ E.
SABE = 45 + 22,5 = 67,5 (cm2)
Tương tự.
SBEC = 1/3SABE = 67,5 : 3 = 22,5 (cm2)
SABC = 67,5 + 22,5 = 90 (cm2)
Bài 98:
Cho hình tam giác ABC có AB=12cm, AC=15cm. Kéo dài AB về phía B, AC về phía C. Lần lượt lấy điểm M, N sao cho AM=AN=20cm. Nối M với N, biết diện tích hình tam giác ABC bằng 45cm2. Tính diện tích tam giác AMN. 
MB = 20 – 12 = 8 (cm)
NC = 20 – 15 = 5 (cm)
CN/AC = 5/15 = 1/3
MB/AB = 8/12 = 2/3
SBCN = 1/3 SABC = 45 : 3 = 15 (cm2)
(CN=1/3AC , chung đường cao kẻ từ B).
SABN = 45 + 15 = 60 (cm2)
Tương tự :
SMBN = 2/3SABN = 60 x 2/3 = 40 (cm2)
SAMN = SABN + SMBN = 60 + 40 = 100 (cm2)
Đáp số : 100cm2.
Bài 99:
Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ AB,đ áy lớn CD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I . Biết diện tích tam giác ABI bằng 2,5cm2 và diện tích tam giác IDC bằng 4,9cm2. Tính diện tích hình thang ABCD.
Hai tam giác AIB và CIB có chung đường cao kẻ từ B nên SAIB/SCIB = IA/IC
Tương tự ta có: SAID/SCID = IA/IC
Suy ra: SAIB/SCIB = SAID/SCID = 2,5/SCIB = SAID/4,9
Hay: SCIB x SAID = 2,5 x 4,9 = 12,25 (cm2)
Mà SCIB = SAID
Do SADC=SBDC và 2 tam giác này có phần chung IDC.
Suy ra: SCIB = SAID = 3,5 (cm2) 
(Vì 3,5 x 3,5 = 12,25).
Diện tích hình thang ABCD là:
2,5 + 4,9 + 3,5 + 3,5 = 14,4 (cm2)
Đáp số: 14,4cm2.
Bài 100:
Cho hình tam giác ABC, lấy D là trung điểm cạnh BC. Nối A với D lấy I trung điểm đoạn AD. Nối B với I kéo dài cắt AC tại K. Tính BK / IK
Ta có: 
SABD = SACD (BD=DC, chung đường cao kẻ từ A)
Tương tự ta có:
SABI = SBDI = SCID = SCIA = 1/4 SABC
=> SABI = 1/2SBIC
Hai tam giác này có chung cạnh BI nên đường cao kẻ từ C gấp 2 lần đường cao kẻ từ A. Hai đường cao này cũng là hai đường cao của 2 tam giác CIK và AIK.
=> SAIK = 1/2SCIK
=> SAIK = 1/3SCIA 
Hay 
SAIK = 1/3SABI (SABI = 3SAIK).
Hai tam giác này có chúng đường cao kẻ từ A nên suy ra:
BI = 3 x IK
Hay 
BK = 4 x IK => BK/IK = 4
Bài 101:
M
N
Cho tam giác ABC.Trên AB lấy điểm M sao cho AM =2/3 AB. Trên AC lấy điểm N sao cho AN=3/4 AC.Nối M với N ta được hình tứ giác BMNC có diện tích là 120cm2.Tính diện tích tam giác ABC
Ta thấy:
SBNC = 1/4SABC => SABN = 3/4SABC
SNBM = 1/3SABN = 1/3 x 3/4SABC = 1/4SABC
Suy ra :
SBMNC = SBNC + SNBM = 1/4SABC + 1/4SABC = 1/2SABC
Diện tích hình tam giác ABC là :
120 : 2 = 240 (cm2)
Đáp số : 240cm2.
Bài 102:
Một cái thùng hình hộp chữ nhật có diện tích đáy là 35dm2. Hiện thùng chứa 175 lít nước. Tính chiều cao của thùng, biết chiều cao mực nước bằng 0,4 lần chiều cao của thùng.
Lượng nước nếu chứa đầy thùng là:
175 : 0,4 = 437,5 (lít)
437,5 lít = 437,5dm3
Chiều cao của thùng đó là:
437,5 : 35 = 12,5 (dm)
Đáp số : 12,5dm.
Bài 103:
Có hai bể cá dạng hình hộp chữ nhật .Bể lớn không chứa nước dài 1,6m; rộng 0,6m ; cao 1m.Bể nhỏ chứa đầy nước dài 1m;rộng 0,6m; cao 0,8m.Hỏi nếu đổ hết nước từ bể nhỏ sang bể lớn thì mực nước ở bể lớn cao bao nhiêu cm ?
Thể tích bể lớn: 
1,6 x 0,6 x 1 = 0,96 (m3)
Thể tích bể nhỏ: 
1 x 0,6 x 0,8 = 0,48 (m3)
Tỉ số % của TT bẻ nhỏ so với bể lớn là.
0,48 : 0,96 = 50%
Mức nước ở bể lớn cao: 
1 x 50% = 0,5 (m)
0,5m = 50cm
Đáp số: 50cm
Bài 104:
Cho tam giác ABC có AB = AC=20 cm.Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho MB =8cm.Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 5cm. Nối M với N. Tính diện tích hình tam giác AMN biết diện tích tam giác ABC là 100cm2.
SBMC = 8/20SABC = 100 x 8/20 = 40 (cm2)
Hai tam giác này có chung đường cao kẻ từ C và MB = 8/20AB.
SAMC = SABC – SBMC = 100 – 40 = 60 (cm2)
Tương tự:
SAMN = 5/20SAMC = 60 x 5/20 = 15 (cm2)
Đáp số: 15cm2.
Bài 105:
Hai cái thùng hình tròn có tỉ số bán kính là 1,5. Tổng khối lượng của 2 đáy thùng là 1,3kg. Tính khối lượng mỗi đáy thùng. Biết chúng được cắt ra từ cùng một lá tôn?
Tỉ số bán kính là 1,5 = 3/2
Tỉ số diện tich sẽ là:
3r x 3r x 3,14 / 2r x 2r x 3,14 = 9/4
Tổng số phần bằng nhau :
4 + 9 = 13 (phần)
Giá trị 1 phần là :
1,3 : 13 = 0,1 (kg)
Khối lượng dáy thùng nhỏ là :
0,1 x 4 = 0,4 (kg)
Khối lượng đáy thùng lớn là :
1,3 – 0,4 = 0,9 (kg)
Bài 106:
Một thửa đất hình tam giác vuông có cạnh đáy là cạnh kề với góc vuông và dài 20m, chiều cao là 24m. Nay người ta lấy bớt một phần diện tích của thửa đất để làm đường đi. Đường đi cắt dọc theo cạnh đáy vuông góc với chiều cao của thửa đất. Do đó, đáy thửa đất chỉ còn là 15m. Tính diện tích còn lại của thửa đất.
Diện tích thửa đất là:
20 x 24 : 2 = 240 (m2)
Hai tam ANB và ACB có chung cạnh đáy AB nên diện tích chúng tỉ lệ với đường cao.
Diện tích tam giác ABN là:
240 : 20 x 15 = 180 (m2)
Diện tích tam giác NBC là:
240 – 180 = 60 (m2)
Chiều cao kẻ từ N là: (MB)
60 x 2 : 20 = 6 (m)
Chiều cao còn lại của thửa đất là : (AM)
24 – 6 = 18 (m)
Diện tích còn lại của thửa đất là :
15 x 18 : 2 = 135 (m2)
Đáp số : 135m2.
Bài 107:
Cho hình thang ABCD . Đáy lớn CD gấp đôi đáy bé AB.Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G.Biết diện tích hình tam giác ABG là 37,5 cm2.Tính diện tích hình thang ABCD.
Hai tam giác ABD và CBD có AB = 1/2CD và 2 đường cao tương ứng bằng nhau bằng đường cao hình thang ABCD.
Suy ra: SABD = 1/2 SCBD
Mà hai tam giác này lại có cạnh BD chung nên đường cao kẻ từ A bằng 1/2 đường cao kẻ từ C xuống BD.
Mặt khác hai đường cao này cũng là hai đường cao của 2 tam giác ABG và CBG. hai tam giác này lại có cạnh chung là BG.
Suy ra: SABG = 1/2SCBG
Diện tích tam giác CBG là:
37,5 x 2 = 75 (cm2).
Diện tích tam giác ABC là:
37,5 + 75 = 112,5 (cm2)
Tương tự ta có SABC = 1/2SADC
Diện tích tam giác ADC là :
112,5 x 2 = 225 (cm2)
SABCD = SABC + SADC
SABCD = 112,5 + 225 = 337,5 (cm2)
Đáp số : 337,5cm2.
Bài 108:
Cho hình tam giác ABC có diện tích 66cm2. D là trung điểm của cạnh AB, E là điểm nằm trên cạnh AC sao cho AE = 2EC. Tính diện tích tam giác ADE.
AE = 2EC => EC = 1/3AC
SBEC = 1/3SABC = 66 : 3 = 22 (cm2)
Vì hai tam giác này có EC=1/3AC và chung đường cao kẻ từ B.
Diện tích tam giác ABE là:
66 – 22 = 44 (cm2)
D là trung điểm của AB nên SADE = 1/2SABE
Diện tích tam giác ADE là:
44 : 2 = 22 (cm2)
Đáp số: 22cm2.
Bài 109:
Cho tam giác ABC. Lấy M là trung điểm cạnh AB; N là trung điểm cạnh AC. Nối M với N ta được tứ giác BMNC có diện tích bằng 225cm2 . Tính diện tích tam giác ABC.
SBNC = 1/2SABC
SMNB = 1/2SABN = 1/4SABC
SBMNC = SMNB + SBNC = 3/4SABC = 225cm2
SABC = 225 : 3 x 4 = 300cm2
Bài 110:
Cho tam giác ABC vuông ở A và có chu vi 120cm. Biết độ dài cạnh AC bằng 75% độ dài cạnh AB. Độ dài cạnh BC bằng 5/7 tổng độ dài của hai cạnh AC và AB. Hãy tính chiều cao AH ứng với cạnh BC của hình tam giác ABC.
75% = 3/4
AC có 3 phần thì AB có 4 phần, AB+AC có 3=4=7 (phần)
CB có 5 phần.
Tổng số phần bằng nhau:
3 + 4 + 5 = 12 (phần)
Giá trị 1 phần:
120 : 12 = 10 (cm)
Độ dài cạnh AC là:
10 x 3 = 30 (cm)
Độ dài cạnh AB là :
10 x 4 = 40 (cm)
Độ dài cạnh BC là :
10 x 5 = 50 (cm)
Diện tích tam giác ABC là :
40 x 30 : 2 = 600 (cm2)
Chiều cao AH ứng với cạnh BC là :
600 x 2 : 50 = 24 (cm)
Đáp số : 24cm
Bài 111: 
Cho tam giác ABC có diện tích bằng 360cm2. Lấy D là một điểm bất kì trên BC. Nối A với D. Lấy K là trung điểm của AD. Nối K với B và C.Tính diện tích tam giác BCK.
SABC = SABD + SADC (1)
Do AK = KD nên ta được:
SBAK = SBDK = 1/2SABD (2)
SCAK = SCDK = 1/2SADC (3)
Từ (1) , (2) và (3) cho ta:
SBCK = SBDK + SCDK = 1/2SABC
SBCK = 360 : 2 = 180 (cm2)
Bài 112:
Một vườn trường hình chữ nhật có chu vi gấp 8 lần chiều rộng của nó. Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài 2m thì diện tích tăng thêm 144 m (vuông). Tính diện tích vườn trường trước khi mở rộng?
Nửa chu vi thì gấp chiều rộng:
8 : 2 = 4 (lần)
Chiều dài gấp chiều rộng:
4 – 1 = 3 (lần)
Nếu chiều dài hình chữ nhật màu vàng thêm 2m sẽ gấp 2 lần chiều rộng ban đầu.
2 lần chiều rộng ban đầu là:
144 : 2 + 2 = 74 (m)
Chiều rộng ban đầu là:
74 : 2 = 37 (m)
Chiều dài ban đầu là :
37 x 3 = 111 (m)
Diện tích ban đầu là :
111 x 37 = 4107 (m2)
Đáp số : 4107m2.
Bài 113:
Cho tam giác ABC , trên AC lấy điểm E sao cho CE=2/3 CA , trên BC lấy điểm D sao cho CD =1/3 CB.AD và BE cắt nhau tại O
1. So sanh BO và OE
2.Tính diện tích tam giác AOE .Biết diện tích tam giác BOD bằng 800 cm2
1). 
S_ABE = 1/3S_ABC (AE = 1/3AC).
S_BEC = 2/3S_ABC ; S_BED = 2/3S_BEC
=> S_BED = 2/3 x 2/3S_ABC = 4/9S_ABC.
Tỉ số S_ABE/S_DBE = (1/3)/(4/9) = 3/4
Hai tam giác này có BE chung nên đường cao kẻ từ A xuống BE có 3 phần thì đường cao kẻ từ D có 4 phần.
=> S_AOE/S_DOE = 3/4
S_ADC = 1/3S_ABC ; S_ADE = 1/3S_ADC => S_ADE = 1/9S_ABC
=> S_AOE = 1/9 : (3+4) x 3 = 1/21S_ABC (1)
S_ABO = S_ABE – S_AOE = (1/3 – 1/21)S_ABC = 6/21S_ABC (4)
=> Từ (1) và (2) cho ta S_AOE = 1/6S_ABO.
Hai tam giác này có chung đường cao kẻ từ A nên OE = 1/6BO
2).
Tương tự ta có S_DOE = 1/6S_DOB
=> S_DOE = 800 : 6 = 400/3 (cm2)
Mà S_AOE = 3/4S_DOE
=> S_AOE = 400/3 x 3/4 = 100 (cm2)
Bài 114:
Cho tam giác ABC , trên AC lấy điểm N sao cho AN = 1/4 AC , trên BC lấy điểm M sao cho BM = MC  . Kéo dài AB và cắt nhau ở P . 
a, Tính diện tích tam giác ABC , biết diện tích tam giac APN bằng 100 xăng - ti - mét vuông
b, So sánh PN và NM
Viết tắt là diện tích.
BKC = 1/2ABC ; BMK = 1/2BKC
=> BMK = AMK = 1/4ABC
Tứ giác AKMB là hình thang.
=> PMK = AMK = 1/4ABC
Mà NMK = 1/2AMK = 1/8ABC
Nên : PNK = PMK – NMK 
 = 1/4ABC – 1/8ABC = 1/8ABC
=> PAN = PNK = 1/8ABC = 100cm2.
=> ABC = 100 x 8 = 800 (cm2)
b).APN = ANM = 1/8ABC
Hai tam giác này có chung đường cao kẻ từ A nên
PN = NM
Bài 115:
Cho hai hình vuông ABCD và EGHD (như hình vẽ). Hãy so sánh hai đoạn thẳng BK và DE
Nối DK, HC, GC. Dễ thấy KCHD là hình thang.
Ta có:
SDCK = SHCK ( Chung đáy CK và chiều cao đều bằng cạnh hình vuông ABCD)
=> SDEK = SHCE (Hai tam giác có diện tích bằng nhau cùng trừ đi một phần diện tích chung ECK)  
SHCE = SGCE ( Chung đáy CE và chiều cao đều bằng cạnh hình vuông EGHD) 
=> SDEK = SGCE (vì cùng bằng SHCE)
Hai tam giác này có đáy DE bằng đáy EG (cạnh hình vuông EGHD) nên chiều cao KC=CE.
Suy ra: DE = BK (Hai đoạn thẳng bằng nhau cùng trừ đi hai đoạn bằng nhau khác).
Bài 116: 
Cho hình vuông ABCD cạnh 12cm. E là điểm chính giữa của cạnh AD. Gọi M là giao điểm của hai đoạn thẳng AC và BE. Tính diện tích hình tam giác MAE
SABCD = 12 x 12 = 144 (cm2)
SACE = SABE = 6 x 12 : 2 = 36 (cm2) (ED = 1/2AD)
SABC = 144 : 2 = 72 (cm2)
Ta thấy 2 tam giác ABC và AEC có chung cạnh đáy AC nen hai đường cao của chúng tỉ lệ với hai diện tích bằng 36/72 = 1/2
Mặt khác, hai tam giác ABM và AEM có chung cạnh đáy AM nên hai diện tích tỉ lệ với hai đường cao bằng 1/2.
SAME = 36 : (1+2) = 12 (cm2)
Bài 117: 
Cho tam giác ABC có diện tích bằng 48cm2, cạnh đáy BC bằng 12cm.
a,Tính chiều cao của tam giác đó.
b, Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM=MC, N là điểm trên cạnh AC sao cho NC=2xNA. Kéo dài MN cắt BA tại K. Hãy so sánh hai đoạn thẳng AK và AB.
a/.Chiều cao của tam giác ABC là:
48 x 2 : 12 = 8 (cm)
b/.Ta có:
SKMC = SKMB
Có BM = MC, chung đường cao kẻ từ K.
SNMC = SNMB (tương tự)
=> SKNC = SKNB (1)
SKNC = SKNA x 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra SKNA = SBNA
Hai tam giác này lại có đường cao chung kẻ từ A nên hai cạnh đáy AK = AB
Bài 118:
Cho tam giác MNP, diện tích MNP= 480(cm2), hình thang ONPQ, O nằm trên MN và Q nằm trên PM, biết OQ = ½ NP. Gọi I là giao điểm của QN và PO.
a/ Chứng tở rằng MO = NO và MQ = QP
b/ diện tích OIQ =?
c/ MI cắt OQ tại K. So sánh KM và KI
a)Xét 2 tam giác OQP và NQP có OQ = 1/2NP và 2 đường cao tương ứng bằng nhau. Nên S_OQP = 1/2S_NQP. Mặt khác hai tam giác này có cạnh đáy chung QP. Suy ra hai đường cao OH = 1/2NF
Xét 2 tam giác MOP và MNP có MP chung và hai đường cao OH = 1/2NF. Nên S_MOP = 1/2S_MNP. Mặt khác hai tam giác này lại có chung đường cao kẻ từ P với 2 cạnh đáy tương ứng là MO và MN. Suy ra MO = 1/2MN hay MO = NO
Tương tự: MQ = QP
b)S_MOP = 1/2S_MNP = 480 : 2 = 240 (cm2) (do MO = 1/2MN)
Tương tự: S_OQP = 1/2 S_MOP = 240 : 2 = 120 (cm2)
Tương tự: S_OQN = 1/2SPQN => Hai đường cso tương ứng OB = 1/2PA.
Mà hai đường cao này cũng là hai đường cao của hai tam giác OQI và PQI có chung cạnh đáy IQ nên S_OQI = 1/2SPQI.
Diện tích OQI là: 120 : (1+2) = 40 (cm2)
c)Chứng minh trên ta có S_MOQ = S_POQ = 1/2S_MOP = 120 (cm2)
=> S_OQI/S_MOQ = 40/120 = 1/3
Hai tam giác này lại có OQ chung nên hai đường cao chúng cũng có tỉ lệ là 1/3.
Hai đường cao này cũng là hai đường cao của hai tam giác MKQ và IKQ.
Mặt khác hai tam giác MKQ và IKQ lại có chung đường cao kẻ từ Q.
=> IK = 1/3MK
Bài 119:
Cho tam giác ABC có diện tích là 150 cm2. Các điểm K; M; N lần lượt nằm trên các cạnh BA; AC; BC sao cho BK = 1/4 AK; AM = 1/4 MC; NC = 1/4 NB. Nối BM; KC; AN cắt nhau lần lượt tại O; P; Q. Tính diện tích tam giác OPQ.
S_ACN = S_KCB = 1/5S_ABC = 150 : 5 = 30 (cm2)
S_KNB = 4/5S_KCB = 4/5 x 30 = 24 (cm2)
S_ANK = S_ANB – S_KNB = 4/5 x 150 – 24 = 96 (cm2)
S_KNC = S_KCB – S_KNB = 30 – 24 = 6 (cm2)
S_ANC / S_ANK = 30/96 = 10/32
Hai tam giác này có AN chung nên 2 đường cao kẻ từ C và từ K xuống AN có tỉ lệ 10/32.
Hai đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác QNC và QNK. Hai tam giác này lại có cạnh chung QN nên diện tích của chúng cũng có tỉ lệ 10/32.
Diện tích của tam giác QNC = 6 : (10 + 32) x 10 = 60/42 (cm2)
Tương tự ta cũng có S_AMP = S_KOB = S_QNC = 60/42cm2
Tổng diện tích 3 tam giác này là: 60/42 x 3 = 60/14 (cm2)
S_OPQ = S_ABC – (S_ANC + S_CKB + S_BMA) + (S_AMP + S_KOB + S_QNC) 
S_OPQ = 150 – (30 x 3) + 60/14 = 60 + 60/14 = 900/14 (cm2) 
Bài 120:
Cho tam giác ABC, trên AB lấy điểm M sao cho AM = BM. Trên AC lấy điểm N sao cho AN = 2NC. Kéo dài đoạn thẳng MN và BC chúng cắt nhau tại D. 
 	Chứng tỏ rằng BC = CD.
Ta có:
S_DMA = S_DMB (MA=MB, đường cao chung kẻ từ D) (1)
S_NMA = S_NMB (2)
Từ (1) và (2) suy ra S_DNA = S_DNB
Mà S_DNA = 2 S_DNC (AN=2NC, chung đường cao kẻ từ D).
Suy ra S_NBC = S_NDC
Hai tam giác này có chung đường cao kẻ từ N nên BC = CD
Bài 121:
Cho hình thang abcd có đáy bằng AB bằng 1/3 CD .ACvà BD cắt nhau tại O . Tính diện tích hình tam giác AOB . Biết diện tích hình thang  ABCD là 96 cm2
Xét tam giác ABC và ADC có AB = 1/3CD và hai đường cao bằng nhau bằng đường cao hình thang. Nên S_ABC = 1/3S_ADC
Diện tích tam giác ABC là:
96 : (1 + 3) = 24 (cm2)
Hai tam giác này lại có cạnh AC chung nên đường cao kẻ từ B xuống AC bằng 1/3 đường cao kẻ từ D xuống BC. 
Hai đường cao này cũng là hai đường cao của hai tam giác ABO và ADO. Hai tam giác này lại có AO chung nên S_ABO = 1/3S_ADO.
Ta lại có S_ABD = S_ABC = 24cm2
Diện tích tam giác AOB là:
24 : (1+3) = 6 (cm2)
Bài 122:
Nhà trường mở rộng vườn trường hình vuông về cả 4 phía, mỗi phía thêm 3 mét nên diện tích tăng thêm 336 mét vuông. Tính chu vi vườn trường sau khi mở rộng?
Tổng diện tích 4 hình vuông màu vàng.
3 x 3 x 4 = 36 (m2)
Diện tích 1 hình chữ nhật màu trắng.
(336 – 36) : 4 = 75 (m2)
Cạnh vườn trường lúc ban đầu.
75 : 3 = 25 (m)
Cạnh vườn trường sau khi mở rộng.
25 + 3 + 3 = 31 (m)
Chu vi vườn trường sau khi mở rộng.
31 x 4 = 124 (m)
Bài 123:
Qua đỉnh của 1 hình thang hãy kẻ 1 đường thẳng chia đôi diện tích của nó
Xem hình thang ABCD, ta chọn đỉnh B để kẻ đoạn thẳng chia đôi diện tích của hình thang này.
Nối BD ta có 3 trường hợp:
	-BD chia đôi diện tích ABCD
	-SABD > SBDC
	-SABD < SBDC.
*.Chọn điển hình 1 trường hợp là SABD < SBDC
Từ A kể đường song song với BD cắt CD nối dài tại N.
Ta có SABD = SBND (AB=ND, hai đường cao tương ứng bằng chiều cao hình bình hành ABDN)
=> SBCN = SABCD (1)
(SBCD+SBDN = SBCD+SABD)
Chọn K là trung điểm của NC nối BK ta được diện tích 2 hình tam giác bằng nhau SBCK = SBKN.
Hay SBCK = 1/2SBCN
Từ (1) suy ra SBCK = 1/2SABCD
BK chia đôi diện tích hình thang ABCD
Bài 124:
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 220 mét. Nếu tăng chiều dài lên 5 mét, giảm chiều rộng 5 mét thì diện tích mảnh đất giảm 225 mét vuông. Tính chiều dài, chiều rộng?
Hình vẽ cho thấy diện tích giảm đi bằng diện tích hình chữ nhật màu xanh.
Chiều dài hơn chiều rộng là: 225 : 5 – 5 = 40 (m)
Tổng chiều dài và chiều rộng (nửa chu vi) là: 220 : 2 = 110 (m)
Chiều dài là: (110 + 40) : 2 = 75 (m)
Chiều rộng là: 110 – 75 = 35 (m)
Bài 124:
Cho tam giác ABC và các điểm M; N; P sao cho BM = 3AB; CN = 3CB; AP = 3AC . Hỏi diện tích tam giác MNP gấp bao nhiêu lần diện tích tam giác ABC
Ta có: S_ABC = 1/3S_CBM
Mà S_MCB = 1/2S_MBN
=> S_ABC = 1/3 x 1/2S_MBN = 1/6S_MBN
Hay S_MBN = 6 S_ABC
Tương tự:
S_MAP = 6 S_ABC
S_NCP = 6 S_ABC
Và S_MNP = S_MBN + S_MAP + S_NCP + S_ABC
=> S_MNP = 6 S_ABC + 6 S_ABC + 6 S_ABC + S_ABC
Vậy: S_MNP = 19 S_ABC
Bài 125:
Cho hai hình vuông có tổng hai chu vi là 280m, hiệu hai diện tích là 1400m2. Tìm cạnh của hai hình vuông đó
Xem 2 hình vuông ABCD và MPND như hình vé.
Tổng 2 cạnh hình vuông (AB+MP):
280 : 4 = 70 (m)
Diện tích hình thang ABPM:
1400 : 2 = 700 (m2)
Chiều cao AM của hình thang ABPM cũng là hiệu 2 cạnh hình vuông:
700 x 2 : 70 = 20 (m)
Cạnh hình vuông lớn là:
(70 + 20) : 2 = 45 (m)
Cạnh hình vuông nhỏ :
70 – 45 = 25 (m)
Bài 126:
Cho hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều