Các dạng bài Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6

+ 1/15 + 1/16 + 1/17 < 1/11 + 1/11 + 1/11 + 1/11 +1/11 + 1/11 + 1/11 = 7/11   (2) 
Từ (1) và (2) => : 
A < 6/5 + 7/11 = 101/55 < 110/55 = 2 
Cỏch 2 : Ta cú : 
1/5 + 1/6 + 1/7 < 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5   (3) 
1/8 + 1/9 + 1/10 + ... + 1/17 < 10.1/8 = 5/4   (4) 
Từ (3), (4) => : A < 3/5 + 5/4 = 37/20 < 2 
Cỏch 3 :1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1   (5) 
1/10 + 1/11 + ... + 1/17 < 8.1/8 = 1   (6) 
Từ (5), (6) => : A < 1 + 1 = 2 
Cỏch 4 : 1/6 + 1/7 + ...+ 1/11 < 6.1/6 = 1   (7) 
1/12 + 1/13 + ... + 1/17 < 6.1/12 = 1/2   (8) 
Từ (7), (8) => : A < 1/5 + 1 + 1/2 = 17/10 < 2 
Cỏch 5 : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1   (9) 
1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14< 5.1/10 = 1/2   (10) 
1/15 + 1/16 + 1/17 < 3.1/15 = 1/5   (11) 
Từ (9), (10), (11) => : A < 1 + 1/2 + 1/5 = 17/10 < 2. 
ĐỀ SỐ HỌC 6 NÂNG CAO
1. Viết cỏc tập hợp sau bằng cỏch liệt kờ cỏc phần tử của nú:
	a) Tập hợp A cỏc số tự nhiờn cú hai chữ số trong đú chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 3.
	b) Tập hợp B cỏc số tự nhiờn cú ba chữ số mà tổng cỏc chữ số bằng 5.
2. * Ghi số nhỏ nhất cú:	a) chớn chữ số
	b) n chữ số (nẻ N*)
	c) mười chữ số khỏc nhau
 ** Ghi số lớn nhất cú:	a) chớn chữ số
	b) n chữ số (nẻ N*)
	c) mười chữ số khỏc nhau
3. Người ta viết liờn tiếp cỏc số tự nhiờn thành dóy số sau:
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ...Hỏi:
	a) Chữ số hàng đơn vị của số 52 đứng ở hàng thứ mấy?
	b) Chữ số đứng ở hàng thứ 873 là chữ số gỡ? Chữ số đú của số tự nhiờn nào?
4. Điền kớ hiệu thớch hợp vào ụ vuụng:
	a) 2 c {1; 2; 6}	e) ặ c {a}
	b) 3 c {1; 2; 6}	f) 0 c {0}
	c) {1} c {1; 2; 6}	g) {3; 4} c N
	d) {2;1; 6} c {1; 2; 6}	h) 0 c N*
5. Trong đợt thi đua "Bụng hoa điểm 10" mừng ngày Nhà giỏo Việt Nam - Lớp 6/1 cú 45 bạn đạt từ 1 điểm 10 trở lờn, 38 bạn đạt từ 2 điểm 10 trở lờn, 15 bạn đạt từ 3 điểm 10 trở lờn, 9 bạn đạt 4 điểm 10, khụng cú ai đạt trờn 4 điểm 10. Hỏi trong đợt thi đua đú, lớp 6/1 cú tất cả bao nhiờu điểm 10?
6. Trong đợt dự thi "Hội khoẻ Phự Đổng", kết quả điều tra ở một lớp cho thấy; cú 25 học sinh thớch búng đỏ, 22 học sinh thớch điền kinh, 24 học sinh thớch cầu lụng, 14 học sinh thớch búng đỏ và điền kinh, 16 học sinh thớch búng đỏ và cầu lụng, 15 học sinh thớch cầu lụng và điền kinh, 9 học sinh thớch cả 3 mụn, cũn lại là 6 học sinh thớch cờ vua. Hỏi lớp đú cú bao nhiờu học sinh?
7. Muốn viết tất cả cỏc số tự nhiờn từ 1 đến 1000 phải dựng bao nhiờu chữ số 5?
8. Điền cỏc chữ số thớch hợp vào ụ trống để tổng ba chữ số liền nhau bằng 23:
6
8
9. Tỡm số cú hai chữ số sao cho số đú lớn hơn 6 lần tổng cỏc chữ số của nú là 2 đơn vị.
10. Tỡm số bị chia và số chia nhỏ nhất để thương của phộp chia là 15 và số dư là 36.
11. Em hóy đặt cỏc dấu (+) và dấu (-) vào giữa cỏc chữ số của số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (cú thể ghộp chỳng lại với nhau) để kết quả của phộp tớnh bằng 200.
12. Tỡm số tự nhiờn cú hai chữ số, biết rằng tổng cỏc chữ số của nú là 11 và nếu đổi chỗ hai chữ số đú cho nhau ta được số mới hơn số cũ 63 đơn vị.
13. Một phộp chia cú tổng của số bị chia và số chia là 97. Biết rằng thương là 4 và số dư là 7. Tỡm số bị chia và số chia.
14. So sỏnh: 21000 và 5400
15. Tỡm n ẻ N, biết:
	a) 2n . 8 = 512	b) (2n + 1)3 = 729
16. Tớnh giỏ trị của biểu thức:
	a) 39 : 37 + 5 . 22	b) 23 . 32 - 516 : 514
c)
47. 34 . 96
 613
d)
216 + 28
213 + 25
17. Tỡm x, y ẻ N, biết rằng: 2x + 242 = 3y 
18. Tỡm x ẻ N, biết:
	a) 1440 : [41 - (2x - 5)] = 24 . 3
	b) 5.[225 - (x - 10)] -125 = 0
19. Tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau:
	a) [545 - (45 + 4.25)] : 50 - 2000 : 250 + 215 : 213
	b) [504 - (25.8 + 70)] : 9 - 15 + 190
	c) 5 . {26 - [3.(5 + 2.5) + 15] : 15}
	d) [1104 - (25.8 + 40)] : 9 + 316 : 312
20. Tỡm x biết:
	a) (x - 15) : 5 + 22 = 24
	b) 42 - (2x + 32) + 12 : 2 = 6
	c) 134 - 2{156 - 6.[54 - 2.(9 + 6)]}. x = 86
21. Xột xem:
	a) 20022003 + 20032004 cú chia hết cho 2 khụng?
	b) 34n - 6 cú chia hết cho 5 khụng? (n ẻ N*)
	c) 20012002 - 1 cú chia hết cho 10 khụng?
22. Tỡm x, y để số chia hết cho cả 2 và 3, và chia cho 5 dư 2.
23. Viết số tự nhiờn nhỏ nhất cú năm chữ số, tận cựng bằng 6 và chia hết cho 9.
D
A
NANG CAO
Bài 1 
Cho số M = (1/16)2002. Tớnh tổng của 2002 chữ số đầu tiờn sau dấu phẩy của số M khi viết dưới dạng số thập phõn. 
Bài giải : 
Vỡ 1/16 < 1/10 nờn M = (1/16)2002 < (1/10)2002 = (0,1)2002 = 0, 00...01 ( 2001 chữ số 0). 
Do đú M phải cú ớt nhất là 2002 chữ số 0 ngay sau dấu phẩy. Từ đú ta cú tổng của 2002 chữ số đầu tiờn sau dấu phẩy khi viết M dưới dạng số thập phõn là 0. 
Nhận xột : 
+ Nhiều bạn nờu ra mấy trường hợp : 
1/16 = 0,0625 ; (1/16)2 = 0,00390625 ; (1/16)3 = 0,000244140625 
Và từ đú => (1/16)2002. cú 2002 chữ số 0 ngay sau dấu phẩy khi viết M ở dạng số thập phõn. Từ mấy trường hợp riờng mà => trường hợp chung thỡ điều đú chỉ là dự đoỏn (cần phi chứng minh). Trong toỏn học, người ta gọi phộp suy diễn đú là phộp qui nạp khụng hoàn toàn. 
+ Bạn Hoàng Minh Hiếu, 7C, THCS Lờ Quý Đụn, Bỉm Sơn, Thanh Húa đỏnh giỏ : 
M = (1/16)2002 = (1/2)8008 = (1/2)8.(1/2)8000 
< ((1/2)10)8000 < (1/1024)800 < (1/1000)800 = (1/10)2400 
= 0,00...01 (2399 chữ số 0). 
Từ đú cú thể thấy tổng của 2400 chữ số đầu tiờn ngay sau dấu phẩy của M viết dưới dạng số thập phõn cũng bằng 0. 
+ Bạn Phạm Huy Hoàng, 9B, trường THPTNK Trần Phỳ, Hi Phũng nhận xột : “Nếu M = (1/16)k với k N thỡ M = (1/16)k = (0,625/10 )k . Từ đú tổng của k chữ số đầu tiờn ngay sau dấu phẩy ở dạng viết thập phõn của M sẽ bằng 0. 
Bài 4: Em hóy thay mật chữ cỏi bởi mật chữ số để phộp tớnh dưới đõy đỳng (chữ cỏI khỏc nhau thỡ thay chữ số khỏc nhau) 
TIME + TIME = MONEY
Đẳng thức trờn cũn cú ý nghĩa gỡ nữa khụng? 
BàI giải: Từ MONEY = TIME + TIME ≤ 9999 + 9999 = 19998. 
=> M = 1, do đú E = 2 và Y = 4. 
Lại vỡ : MONEY ≥ 10000 nờn TIME ≥ 5000 => T ≥ 5 . 
1) Nếu I = 0 thỡ N = 0 (loại vỡ I ≠ N ). 
2) Nếu I = 3 thỡ N = 6. 
a) Với T = 5 thỡ cú O = 0 ,vậy nghiệm bài toỏn là TIME = 5312 và MONEY = 10624 (1). 
b) Với T = 7 cú O = 4 (loại vỡ O = Y). 
c) Với T = 8 cú O = 6 (loại vỡ O = N). 
d) Với T = 9 thỡ cú O = 8 ta cú nghiệm thứ hai của bài toỏn : 
TIME = 9312 , MONEY = 18624 (2). 
3) Nếu I = 5, thỡ N = 0. 
a) Với T = 6, cú O = 3, nghiệm thứ ba của bài toỏn là TIME = 6512 và MONEY = 13024 (3). 
b) Với T = 7 => O = 5 (loại vỡ O = I), cũn với T = 9 thỡ O = 9 ( loại) 
c) Với T = 8 cú O = 7, nghiệm thứ tư của bài ra là : TIME = 8512 và MONEY = 17024 (4). 
4) Nếu I = 6 thỡ N = 2 (loại vỡ N = E) 
5) Nếu I = 7 thỡ n = 4 (loại vỡ N = Y) 
6) Nếu I = 8 thỡ N = 6, ta thấy cỏc khả năng T = 5 và t = 9 khụng thoả món điều kiện bài toỏn. Với T = 7 thỡ O = 5, ta cú nghiệm thư năm của bài toỏn là : 
TIME = 7812 và MONEY = 15624 (5). 
7) Nếu I = 9 thỡ N = 8, dễ thấy trường hợp T = 5 bị loại. 
Với T = 6 thỡ O = 3, cũn với T = 7 cú O = 5. Nghiệm thứ sỏu và thứ bẩy của bài toỏn là : 
TIME = 6912 và MONEY = 13824 (6) 
TIME = 7912 và MONEY = 15824 (7) Vậy bỏi toỏn cú bẩy nghiệm như đó khẳng định ở trờn. 
Đẳng thức TIME + TIME = MONEY cũn cú ý nghĩa là : Chỳng ta phải qớy trọng thời gianvỡ rằng " Thời gian là vàng bạc" 
TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
Chỳng ta cựng bắt đầu từ bài toỏn tớnh tổng rất quen thuộc sau : 
Bài toỏn A : 
Tớnh tổng : 
Lời giải : 
Vỡ 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; ... ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta cú bài toỏn khú hơn chỳt xớu. 
Bài 1 : Tớnh tổng : 
Và tất nhiờn ta cũng nghĩ đến bài toỏn ngược. 
Bài 2 : Tỡm x thuộc N biết : 
Hơn nữa ta cú : 
ta cú bài toỏn 
Bài 3 : Chứng minh rằng : 
Do vậy, cho ta bài toỏn “tưởng như khú” 
Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng : 
khụng phải là số nguyờn. 
Chỳng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ... ; a44 là cỏc số tự nhiờn lớn hơn 1 và khỏc nhau thỡ 
Giỳp ta đến với bài toỏn Hay và Khú sau : 
Bài 5 : Tỡm cỏc số tự nhiờn khỏc nhau a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a43 ; a44 sao cho 
Ta cũn cú cỏc bài toỏn “gần gũi” với bài toỏn 5 như sau : 
Bài 6 : Cho 44 số tự nhiờn a1 ; a2 ; ... ; a44 thỏa món 
Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau. 
Bài 7 : Tỡm cỏc số tự nhiờn a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a44 ; a45 thỏa món a1 < a2 a3 < ... < a44 < a45 và 
Cỏc bạn cũn phỏt hiện được điều gỡ thỳ vị nữa rồi chăng ?
Bài 1 : Chứng minh rằng : 
1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17 < 2 
Lời giải : Cú khỏ nhiều cỏch chứng minh nhờ “đỏnh giỏ” vế trỏi bởi cỏc kiểu khỏc nhau. Ta gọi vế trỏi của bất đẳng thức là A. 
Cỏch 1 : Ta cú :
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 < 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 6/5  (1) 
1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 < 1/11 + 1/11 + 1/11 + 1/11 +1/11 + 1/11 + 1/11 = 7/11   (2) 
Từ (1) và (2) => : 
A < 6/5 + 7/11 = 101/55 < 110/55 = 2 
Cỏch 2 : Ta cú : 
1/5 + 1/6 + 1/7 < 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5   (3) 
1/8 + 1/9 + 1/10 + ... + 1/17 < 10.1/8 = 5/4   (4) 
Từ (3), (4) => : A < 3/5 + 5/4 = 37/20 < 2 
Cỏch 3 :1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1   (5) 
1/10 + 1/11 + ... + 1/17 < 8.1/8 = 1   (6) 
Từ (5), (6) => : A < 1 + 1 = 2 
Cỏch 4 : 1/6 + 1/7 + ...+ 1/11 < 6.1/6 = 1   (7) 
1/12 + 1/13 + ... + 1/17 < 6.1/12 = 1/2   (8) 
Từ (7), (8) => : A < 1/5 + 1 + 1/2 = 17/10 < 2 
Cỏch 5 : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1   (9) 
1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14< 5.1/10 = 1/2   (10) 
1/15 + 1/16 + 1/17 < 3.1/15 = 1/5   (11) 
Từ (9), (10), (11) => : A < 1 + 1/2 + 1/5 = 17/10 < 2. 
Bài 2 : Tỡm tổng cỏc chữ số của 999999999982. 
Lời giải : Ta cú : 
A = 999999999982
= (99999999998 + 2)(99999999998 - 2) + 4
= 100 000 000 000 x 99999999996 + 4 
= 99999999996000000000004 
Từ đú ta cú tổng cỏc chữ số của A là 
9 x 10 + 6 + 4 = 100. 
Nhận xột : 
1) Cỏc bạn cú một số cỏch khỏc để tớnh A. 
Chẳng hạn : 
A = (1011 - 2)2 = 1022 - 4.1011 + 4. Tuy nhiờn một số bạn chỉ tớnh 982 ; 9982 ; 99982 rồi => A mà khụng hề chứng minh. 
Bài 2(1) : Cho A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 + ... 
a) Biết A cú 40 số hạng. Tớnh giỏ trị của A. 
b) Biết A cú n số hạng. Tớnh giỏ trị của A theo n. 
Lời giải : 
a) Ta cú A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 + ... 
= (1 -7) + (13 - 19) + (25 - 31) + ... 
= (-6) + (-6) + (-6) + ... 
Vỡ A cú 40 số hạng nờn sẽ cú 20 cặp số cú giỏ trị bằng -6. 
Do đú A = (-6) . 20 = -120. 
b) Ta xột 2 trường hợp : 
Trường hợp 1 : Với n chẵn. Tương tự cõu a, vỡ A cú n số hạng nờn sẽ cú cặp số n/2 cặp số. 
Do đú A = (-6).n/2 = - 3n. 
Trường hợp 2 : Với n lẻ, khi đú n - 1 chẵn. 
Ta cú A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 + ... 
= 1 + (- 7 + 13) + (- 19 + 25) + ... 
= 1 + 6 + 6 + ... 
Vỡ A cú (n - 1)/2 cặp số cú giỏ trị bằng 6 nờn 
A = 1 + 6 .(n - 1)/2 = 1 + 3(n - 1) = 3n - 2 
Vậy A = -3n (với n chẵn) ; A = 3n - 2 (với n lẻ). 
Bài 4(1) : Cho 6 số tự nhiờn a1, a2, a3, a4, a5, a6 thoả món : 
2003 = a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6. 
1) Nếu tớnh tổng hai số bất kỡ thỡ được bao nhiờu tổng? 
2) Biết rằng tất cả cỏc tổng trờn là khỏc nhau. Chứng minh a6 ≥ 2012. 
Lời giải : 
1) Cỏc tổng đú là a1 + a2, a1 + a3, a1 + a4, a1 + a5, a1 + a6, a2 + a3, a2 + a4, a2 + a5, a2 + a6, a3 + a4, a3 + a5, a3 + a6, a4 + a5, a4 + a6, a5 + a6. 
Vậy cú tất cả : 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 tổng. 
2) Phản chứng a6 ≤ 2011, => a5 ≤ 2010. 
Tổng nhỏ nhất là : 
a1 + a2 ≥ 2003 + 2004 = 4007. 
Tổng lớn nhất là : 
a5 + a6 ≤ 2010 + 2011 = 4021. 
Nhưng ta chỳ ý rằng cú tất cả 15 số tự nhiờn ≥ 4007 và ≤ 4021. 
Do 15 tổng trờn khỏc nhau, => a1 + a2 = 4007 và a5 + a6 = 4021, tức là a2 = 2004, a6 = 2011, a1 = 2010. 
Nhưng khi đú ta lại cú a1 + a6 = a2 + a5 = 2014. Mõu thuẫn với giả thiết. Vậy a6 ≥ 2012 
Nhận xột : 
1) Rất nhiều bạn nhận xột sai rằng : Chỉ cú 14 số tự nhiờn ≥ 4007 và ≤ 4021 ! 
2) Một số ớt bạn chứng minh được khẳng định mạnh hơn a6 > 2012. Thật ra chỳng ta cú thể chứng minh a6 ≥ 2015, và khụng cú kết quả tốt hơn, vớ dụ a1 = 2003, a2 = 2004, a3 = 2005, a4 = 2007, a5 = 2010, a6 = 2015. 
Bài 5(1) : Bạn hóy khụi phục lại những chữ số bị xúa (để lại vết tớch của mỗi chữ số là một dấu *) để phộp toỏn đỳng. 
Lời giải : Để thuận lợi, chỳng ta đặt lại phộp tớnh ở bài ra như sau : 
Từ phộp tớnh trờn dễ nhận thấy b2 = b3 = 0. Vỡ nhõn với 2 được nờn a1 ≥ 5. Lại vỡ nhõn với b1 được => b1 = 1 (do a1 ≥ 5). Do đú 
Mặt khỏc (số cú 7 chữ số) . Vậy phộp toỏn đỳng sau khi đó khụi phục những chữ số bị xúa đi là : 
Bài 1(2) : Tỡm tất cả cỏc số chớnh phương dạng . 
Lời giải : 
Do là số chớnh phương nờn = k2. 
Lại vỡ : 10001 ≤ ≤ 99999, => 101 ≤ k < 317. Vậy k phải là số cú ba chữ số. Đặt k = . Cũng từ giả thiết bài toỏn là số chớnh phương nờn a thuộc {1, 4, 5, 6, 9}. 
+) Nếu a = 1 thỡ : 100 < < 142 (trong đú p = 1 hoặc p = 9) 
Với p = 1, ta cú cỏc số thỏa món điều kiện bài toỏn là : 1012 = 10201, 1112 = 12321, 1212 = 14641 ; cũn với p = 9 ta thấy khụng cú số nào thỏa món điều kiện đề bài. 
+) Nếu a = 4 thỡ : 200 < < 224 (p = 2 hoặc p = 8). Thử trực tiếp ta cú cỏc số thỏa món là :
2022 = 40804, 2122 = 44944. 
+) Nếu a = 5 thỡ : 223 < < 245 (trong đú p = 5). Trong trường hợp này khụng cú số nào thỏa món điều kiện đề bài. 
+) Nếu a = 6 thỡ : 244 < < 265 (p = 4 hoặc p = 6). Chỉ cú một số thỏa món trường hợp này là : 2642 = 69696. 
+) Nếu a = 9 thỡ : 300 < < 317 (p = 3 hoặc p = 7). Trường hợp này cũng chỉ cú một số thỏa món là : 3072 = 94249. Túm lại cú 7 số thỏa món điều kiện bài ra : 10201, 12321, 40804, 14641, 44844, 69696, 94249. 
Nhận xột : 
- Nếu bài toỏn cú thờm điều kiện a, b, c đụi một khỏc nhau thỡ chỉ cú 5 số thỏa món đề bài. 
Bài 1(4) : Cho số : 
gồm 2003 chữ số 1 ở bờn trỏi dấu * và 2003 chữ số 3 ở bờn phải dấu *. Hóy thay dấu * bằng chữ số nào để được một số chia hết cho 7. 
Lời giải : 
Để ý rằng :
Mặt khỏc 103 trựng với -1 (mod 7) => : 102003 trựng với 5 (mod 7) 
=> 102003 - 1 trựng với 4 (mod 7) => 2 (mod 7) (2)
102004 trựng với 1 (mod 7) => 
102004 + 3 trựng với 4 (mod 7) (3)
Để A chia hết cho 7, từ (1), (2), (3) => A trựng với (*).5 + 2.4 trựng với (*).5 + 1 trựng với 0 (mod 7). 
Chỳ ý rằng 0 ≤ * ≤ 9, từ đú => ngay * = 4. 
Vậy số cần tỡm là : 
Nhận xột : Một số bạn đặt vấn đề hóy tỡm số x sao cho : 
Bài 2(5) : Phõn số Ai Cập 
Biểu diễn phõn số 1/2 dưới dạng tổng của 3 phõn số dương cú tử số bằng 1. Cú bao nhiờu cỏch ? 
Lời giải : 
* Bài toỏn cú thể phỏt biểu dưúi dạng : 
Giải phương trỡnh : 
Do vai trũ của x, y, z như nhau nờn khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử x ≥ y ≥ z và từ (1) ta => : 
1/x ≤ 1/y ≤ 1/z x ≥ y ≥ z ≥ 3 (2) 
Từ (1), (2) => 1/2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3/z 
=> z ≤ 6 => 3 ≤ z ≤ 6 => z thuộc {3 ; 4 ; 5 ; 6}. 
* Với z = 3, ta cú : 
1/x + 1/y + 1/3 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/3 = 1/6 
=> 6x + 6y = xy => xy - 6x - 6y + 36 = 36 
=> (x - 6)(y - 6) = 36. 
Do x, y thuộc Z+, x ≥ y ≥ z, ta cú bảng : 
* Với z = 4, ta cú : 
1/x + 1/y + 1/4 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/4 = 1/4 
=> : 4x + 4y = xy => ...... => (x - 4)(y - 4) = 16. 
Do x, y thuộc Z+, x ≥ y ≥ z, ta cú bảng : 
* Với z = 5, ta cú : 
1/x + 1/y + 1/5 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/5 = 3/10 
=> 10x + 10y = 3xy => (3x - 10)(3y - 10) = 100. Do x, y thuộc Z+, x ≥ y ≥ z, ta cú bảng : 
* Với z = 6, ta cú : 
1/x + 1/y + 1/6 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/6 = 1/3 
=> : 3x + 3y = xy => ... => (x - 3)(y - 3) = 9. 
Do x, y thuộc Z+, x ≥ y ≥ z, ta cú bảng : 
* Vậy phương trỡnh (1) cú cỏc nghiệm là : (42 ; 7 ; 3), (24 ; 8 ; 3), (18 ; 9 ; 3), (15 ; 10 ; 3), (12 ; 12 ; 3), (20 ; 5 ; 4), (12 ; 6 ; 4), (8 ; 8 ; 4), (10 ; 5 ; 5), (6 ; 6 ; 6), cựng cỏc hoỏn vị. Từ đõy, dễ dàng => phõn số cú thể biểu diễn được dưới dạng tổng của 3 phõn số dương cú tử số bằng 1 với đỳng 10 cỏch : 
Bài 3(5) : So sỏnh A và B biết : 
A = (20032002 + 20022002)2003 
B = (20032003 + 20022003)2002 
Lời giải : (của bạn Vừ Văn Tuấn) 
Ta sẽ chứng minh bài toỏn tổng quỏt : 
(an + bn)n + 1 > (an + 1 + bn + 1)n với a, b, n là cỏc số nguyờn dương. 
Thật vậy, khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử a ≥ b. (an + bn)n + 1 = (an + bn)n.(an + bn) > (an + bn)n.an = [(an + bn)a]n = (an.a + bn.a)n ≥ (an.a + bn.b)n = (an + 1 + bn + 1)n. 
Với a = 2003, b = n = 2002, ta cú A > B. 
Bài 1(6) : Cho a, b là cỏc số nguyờn dương thỏa món p = a2 + b2 là số nguyờn tố, p - 5 chia hết cho 8. Giả sử cỏc số nguyờn x, y thỏa món ax2 - by2 chia hết cho p. Chứng minh rằng cả hai số x, y chia hết cho p. 
Lời giải : Đặt p = 8k + 5, k thuộc N. 
Chỳ ý : (ax2)4k + 2 - (by2)4k + 2 chia hết cho (ax2 - by2). 
Từ đú ta => : a4k + 2.x8k + 4 - b4k + 2y8k + 4 chia hết cho p. 
Ta lại cú :
a4k + 2.x8k + 4 - b4k + 2.y8k + 4 =(a4k + 2 + b4k + 2).x8k + 4 - b4k + 2(x8k + 4 + y8k + 4) 
Mặt khỏc : a4k + 2 + b4k + 2 = (a2)2k + 1 + (b2)2k + 1 chia hết cho (a2 + b2) = p và b < p, do đú x8k + 4 + y8k + 4 chia hết cho p . (*) 
Nếu trong hai số x, y cú một số chia hết cho p thỡ từ (*) ta => số thứ hai cũng chia hết cho p. 
Nếu cả hai số x, y khụng chia cho p, theo định lớ Fecma x8k + 4 trựng với 1 (mod p), y8k + 4 trựng với 1 (mod p). Khi đú x8k+4 + y8k+4 2 (mod p). Mõu thuẫn với (*). 
Vậy cả hai số x, y chia hết cho p. 
Bài 2(6) : Cho một hỡnh lập phương. Người ta gắn cho 8 đỉnh của nú bắt đầu từ đỉnh A, đi theo chiều mũi tờn 8 số tự nhiờn liờn tiếp và thực hiện : mỗi lần cộng vào 4 đỉnh của một mặt cựng với một số nguyờn nào đú. Hỏi sau bao nhiờu lần thực hiện như vậy thỡ ta được 8 số ở 8 đỉnh bằng nhau ? 
Lời giải : Kớ hiệu cỏc đỉnh theo chiều mũi tờn lần lượt bởi cỏc chữ cỏi A, B, C, D, E, G, H, I. Giả sử cỏc số nguyờn gắn tương ứng với cỏc đỉnh này là a, b, c, d, e, g, h, i, ta xột :
S = (b + d + g + i) - (a + c + e + h).
Nhận thấy 4 số gắn ở 4 đỉnh thuộc cựng một mặt sẽ gồm 2 số trong cỏc số g, d, g, i và 2 số trong cỏc số a, c, e, h. Do đú khi cộng 4 số này với cựng một số nguyờn thỡ S khụng thay đổi. 
Ban đầu a, b, c, d, e, g, h, i là cỏc số tự nhiờn liờn tiếp nờn S = 4. Vỡ vậy dự cú thực hiện bao nhiờu lần việc cộng với cựng một số nguyờn cho 4 số gắn ở 4 đỉnh thuộc cựng một mặt thỡ S vẫn bằng 4, tức là S ≠ 0. Chứng tỏ khụng thể làm cho 8 số ở 8 đỉnh bằng nhau. 
Nhận xột : Một số bạn mắc cỏc sai lầm khỏc nhau khi lập luận : 
- Chỉ dựng một số nguyờn xỏc định cho tất cả cỏc lần cộng. 
- Mỗi mặt chỉ thực hiện một lần cộng 4 đỉnh với cựng một số nguyờn. 
- Tỏm số đầu tiờn là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 
Bài 2(8) : Cho dóy số tự nhiờn liờp tiếp : 150 O 149 O 148 O … O 51 O 50. Chứng minh rằng, nếu điền vào cỏc vũng trũn “O” dấu “+” hoặc dấu “-” thỡ kết quả khụng thể bằng 2003. 
Lời giải : Cỏc bạn đó lớ luận bằng nhiều cỏch để chỉ ra : khi điền vào cỏc hỡnh trũn dấu “+” hoặc dấu “-” thỡ kết quả là một số chẵn nờn kết quả khụng thể bằng 2003. 
Cỏch 1 : Nếu điền vào tất cả cỏc hỡnh trũn dấu “+” ta cú :
S = 150 + 149 + 148 + … + 51 + 50 = (150 + 50).101/2 = 10100, là số chẵn. 
Trong tổng S, nếu thay mỗi dấu “+” trước một số a bất kỡ bởi dấu “-” thỡ S sẽ giảm đi 2a (là một số chẵn). Như vậy, nếu thay bao nhiờu dấu “+” trong S bởi dấu “-” thỡ S sẽ vẫn là một số chẵn. 
Cỏch 2 : Ta thấy rằng, mỗi cặp số tự nhiờn liờn tiếp đều cú tổng hoặc hiệu là một số lẻ. Cỏc số tự nhiờn liờn tiếp từ 150 đến 51 cú tất cả 50 (là số chẵn) cặp như vậy. Tổng hoặc hiệu của một số chẵn cỏc số lẻ luụn là một số chẵn nờn giữa cỏc số tự nhiờn liờn tiếp từ 150 đến 51, đặt bất kỡ dấu “+” hay dấu “-” thỡ kết quả đều là số chẵn ; cộng hay trừ với số cũn lại của dóy số đó cho là số 50 cho kết quả cuối cựng là một số chẵn
Bài 3(9) : Trong một giải búng đỏ Nhi đồng theo thể thức thi đấu vũng trũn một lượt. Thắng được 3 điểm, hũa 1 điểm, thua 0 điểm. Đội Măng Non chỉ hũa 1 trận, thua 1 trận và được tất cả 16 điểm. Chứng minh rằng vào bất kỡ lỳc nào cũng tỡm được ớt nhất hai đội đó đấu cựng số trận.
Lời giải : Đội Măng Non chỉ hũa 1 trận, thua 1 trận và được 16 điểm nờn tổng số điểm của cỏc trận thắng là : 16 - 1 = 15 (điểm). Do đú đội này đó thắng 15 : 3 = 5 (trận) và thi đấu tất cả 7 trận. Vỡ giải đấu theo thể thức vũng trũn một lượt nờn số đội dự giải là : 7 + 1 = 8 (đội)
Chia cỏc đội thành cỏc nhúm mà mỗi nhúm gồ