Các bài toán cực trị của hàm số

Cực trị
Câu 1
Cho hàm số y = 4x3 + mx2 – 3x
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số có hai cực trị tại x1 và x2 thỏa x1 = - 4x2
	2. TXĐ: D = R
 - y’ = 12x2 + 2mx – 3 
 Ta có: D’ = m2 + 36 > 0 với mọi m, vậy luôn có cực trị 
 Ta có: 
Câu 2
Cho hàm số , m là tham số
	1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
	2. Xác định các giá trị của m để hàm số không có cực trị.
+ Khi m = 0 , nên hàm số không có cực trị.
+ Khi 
Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi không có nghiệm hoặc có nghiệm kép
Câu 3 :Cho hàm số .
	1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.
	2). Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu.
2) (1)
Đạo hàm 
°	
°	Hàm số có 2 cực tiểu 	Û y có 3 cực trị Û y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt 
	Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 
Giả sử: Với , thì y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt 
°	Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 cực tiểu.
Kết luận: Vậy, hàm số có 2 cực tiểu khi 
Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (-2; 9) không thuộc đường thẳng 
 không thỏa mãn. 
Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 4:Cho hàm số (1)
Với . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại thoả mãn
Từ (1) và (2) suy ra m=-2;m=4
2)Ta có 
y’ là tam thức bậc hai nên hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại khi và chỉ khi y’có hai nghiệm phân biệt 
Theo viét . 
Khi đó
Câu 5:Cho hàm số , với là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với .
2. Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho .
Ta có 
+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại 
 phương trình có hai nghiệm pb là 
 Pt có hai nghiệm phân biệt là .
+) Theo định lý Viet ta có Khi đó
Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là và 
Câu 6: Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 (m là tham số) (1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
	2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
2) YCBT Û phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 < x2 < 1
	Û Û < m < 
Câu 7:Cho hàm số y = x3 + mx + 2 (1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -3.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất.
Pt : x3 + mx + 2 = 0 ( x 
 Xét f(x) = = 
 Ta có x - 0 1 +
 f’(x) + + 0 -
 f(x) + -3 
 - - -
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất .
Câu 8:Tìm m để hàm số: 
	đạt cực tiểu tại x = -2.
Giải: Þ 
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 thì 
Câu 9 :Tìm a để các hàm số ; . có các điểm cực trị nằm xen kẽ nhau.
Giải: . Ta cần tìm a sao cho g¢(x) có 2 nghiệm phân biệt và f ¢(x) có 2 nghiệm phân biệt sao cho (*)
Ta có: 
Câu 10:Tìm m để có đường thẳng đi qua CĐ, CT song song với đường thẳng y = ax + b.
Giải: Û 
Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û 
Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có: 
Với m ¹ 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số 
y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên suy ra
Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): 
Ta có (D) song song với đường thẳng y = ax + b 
Û 
Vậy nếu a < 0 thì ; nếu a ³ 0 thì không tồn tại m thoả mãn.
Câu 11:Tìm m để có CĐ, CT nằm trên đường thẳng (d): y = -4x.
Giải: Ta có: 
	Û 
Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt 
Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có: 
Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số 
y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên suy ra 
Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): . 
Để cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y = -4x thì (D) º (d) 
Û 
Câu 12:Cho 
1. CMR: Hàm số luôn có CĐ, CT. 	
2. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1, x2. CMR: 
Giải: 1. Xét phương trình: 
Ta có: 
Nếu (vô lý)
Vậy D¢ > 0 "a Þ f ¢(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số có CĐ, CT. 
2. Theo Viet ta có: 
Câu 13:Cho hàm số 
 1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1.
 2. Gọi các điểm cực trị là x1, x2. Tìm Max của 
Giải: Ta có: 
1. Hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1 có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn: 
2. Do Þ 
 (do ) 
Þ . Với thì 
Câu 14:Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn .
Giải: Ÿ Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û Û (*)
Với điều kiện (*) thì có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Theo định lý Viet ta có: 
Ta có: 
Cả 2 giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*). Vậy 
Câu 15:Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn điều kiện .
Giải: HS có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt 
Û (*)
Với điều kiện này thì có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Theo định lý Viet ta có: suy ra: (thoả mãn (*) )
Vậy để thì 
Câu 16:Tìm cực trị của hàm số .
Giải: Ta có: ; 
Do phương trình có 1 nghiệm đơn x = 2 và 1 nghiệm kép x = -1 
nên hàm số có đúng 1 cực trị tại x = 2. Mặt khác suy ra . Vậy hàm số có cực tiểu và không có cực đại.
Câu 17:Chứng minh rằng: Hàm số không thể đồng thời có CĐ và CT 
Giải. Xét 
Û . Xét hàm số có TXĐ: 
x
-¥
x2
+¥
f ¢
-
0
-
f
+¥
-¥
 ; 
Nghiệm của phương trình 
cũng là hoành độ giao điểm của 
đường thẳng y = m với đồ thị y = g(x).
Nhìn bảng biến thiên suy ra đường thẳng y = m cắt y = g(x) tại đúng 1 điểm 
Þ có đúng 1 nghiệm.
Vậy hàm số y = f (x) không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu.
Câu18: Chứng minh rằng: Û 
Giải. Ta có: Û và nghiệm kép x = 0
Do f ¢(x) cùng dấu với (4x + 3p) nên lập bảng biến thiên ta có:
f (x) ³ 0 "xÎR Û Û 
Câu 19:Cho hàm số (C ) với m là tham số.
 	1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) khi . 
2. Tìm các gíá trị của m để đồ thị của hàm số (C) có hai điểm cực trị và chứng tỏ rằng hai điểm cực trị này ở về hai phía của trục tung.
GIẢI
 y’ = 0 3x2 – 3m = 0 ; .
: y’ không đổi dấu hàm số không có cực trị .
: y’ đổi dấu qua 2 nghiệm của y’=0 hàm số có 2 cực trị.
 KL: .
 đpcm.
Câu 19Cho . Tìm m để ¦(x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Giải: ; 
. Xét các khả năng sau đây: 
a) Nếu thì 
 Û g(x) ³ 0 . 
Suy ra f ¢(x) triệt tiêu và đổi dấu tại x = 0 mà f ¢¢(0) = 6(m + 1) > 0 "mÎI 
Þ , tức là hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
x
-¥
0
3
+¥
f ¢
 - 
0
 - 
0
+
f
+¥
CT
+¥
b) Nếu thì 
 Û x = 0 nghiệm kép, x = 3. 
Nhìn bảng biến thiên suy ra: 
x
-¥
x1
x2
x3
+¥
f ¢
-
0
+
0
-
0
+
f
+¥
CT
CĐ
CT
+¥
Hàm số y = f (x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
c) Nếu thì f ¢(x) có 3 nghiệm phân biệt 
Nhìn bảng biến thiên suy ra: 
Hàm số y = f (x) có cực đại nên không thoả mãn yêu cầu bài toán.
Kết luận: 
Câu 20Cho hàm số 
Chứng minh rằng: "m ¹ -1 hàm số luôn có cực đại đồng thời 
Ta có: nên g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
x
-¥
x1
0
x2
+¥
f ¢
-
0
+
0
-
0
+
f
+¥
CT
CĐ
CT
+¥
Theo định lý Viet ta có: 
Þ PT có 3 nghiệm phân biệt
 0, x1, x2. Xét 2 khả năng sau:
a) Nếu m < -1 thì 
Þ Þ Bảng biến thiên
Nhìn BBT suy ra 
x
-¥
x1
x2
0
+¥
f ¢
-
0
+
0
-
0
+
f
+¥
CT
CĐ
CT
+¥
b) Nếu m > -1 thì 
và Þ 
Þ Bảng biến thiên. 
Nhìn BBT suy ra 
Kết luận: 
Vậy "m ¹ -1 hàm số luôn có 
Câu 21:(Đề thi TSĐH khối B 2002)
 Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị
Giải. Yêu cầu bài toán có 3 nghiệm phân biệt 
 Câu 21:Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị A, B và đoạn AB ngắn nhất.
G
Ta có: .
 Hàm số có 2 cực trị có 2 nghiệm PB khác 0 .
 .
 (không đổi). KL: .
Câu 22:Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 1.
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đường thẳng d: x – y + 2 = 0 những khoảng bằng nhau.
Với x2 ta có y’ = 1- ; 
Hàm số có cực đại và cực tiểu phương trình (x – 2)2 – m = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2 
Với m > 0 phương trình (1) có hai nghiệm là: 
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(; B(
Khoảng cách từ A và B tới d bằng nhau nên ta có phương trình: 
Đối chiếu điều kiện thì m = 2 thoả mãn bài toán
Vậy ycbt Û m = 2.
Câu 23:Cho hàm số (1)
 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1
 2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O bằng lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O.
2. Ta có 
 Để hàm số có cực trị thì PT có 2 nghiệm phân biệt
 có 2 nhiệm phân biệt
 Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là 
 B(m+1;-2-2m)
 Theo giả thiết ta có 
 Vậy có 2 giá trị của m là và .
Câu 24:Cho hàm số (1).
	1) Với m = 1, khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1).
	2) Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích).
+) Ta có y’ = 4x3 – 4m2x ; y’ = 0  ; ĐK có 3 điểm cực trị : m 0
+) Tọa độ ba điểm cực trị : A(0 ; 1), B(- m ; 1 – m4), C(m ; 1 – m4) ; 
+) CM tam giác ABC cân đỉnh A. Tọa độ trung điểm I của BC là I(0 ; 1 – m4).
+) (tm)
Câu 25:Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1)
	1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
	2. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.
 Gọi tọa độ điểm cực đại là A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2)
 Xét biểu thức P=3x-y-2
 Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P=-4P=6>0
 Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y=3x-2, để MA+MB nhỏ nhất => 3 điểm A, M, B thẳng hàng
 Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2
 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
=> 
Câu 26:Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1)
	1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
	2. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.
 Gọi tọa độ điểm cực đại là A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2)
 Xét biểu thức P=3x-y-2
 Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P=-4P=6>0
 Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y=3x-2, để MA+MB nhỏ nhất => 3 điểm A, M, B thẳng hàng
 Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2
 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
=> 
Câu 27:Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 1.
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đường thẳng d: x – y + 2 = 0 những khoảng bằng nhau.
Với x2 ta có y’ = 1- ; 
Hàm số có cực đại và cực tiểu phương trình (x – 2)2 – m = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2 
Với m > 0 phương trình (1) có hai nghiệm là: 
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(; B(
Khoảng cách từ A và B tới d bằng nhau nên ta có phương trình: 
Đối chiếu điều kiện thì m = 2 thoả mãn bài toán
Vậy ycbt Û m = 2.
Câu 28:Cho hàm số: 
	1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
	2. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm và cắt (C) tại hai điểm M,N sao cho A thuộc đoạn MN và AN = 2AM
	b) Gọi 
Câu 29:Tìm m để hàm số có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất.
Giải: Do có nên f ¢(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt cực trị tại x1, x2 với các điểm cực trị là ; . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: 
. Do nên 
Ta có: 
Þ . Vậy xảy ra Û m = 0.
Câu 30:Cho hàm số 
	1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1
	2/ Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. 
hd
Tìm các giá trị của m để (C) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân.
* Ta có 
* Hàm số có CĐ, CT khi f’(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu :
 m < 2 (1) . Toạ độ các điểm cực trị là: 
* Do tam giác ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi vuông tại A: vỡ đk (1)
 Trong đó 
Vậy giá trị cần tìm của m là m = 1.
Câu 31:Cho hàm số (1) , với là tham số thực.
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi .
2.Xác định để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng .
GIẢI
2. (1 điểm) 
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị pt có ba nghiệm phân biệt và đổi dấu khi đi qua các nghiệm đó 
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
; 
Câu 32:Cho hàm số ( C )
	1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
	2/ Tìm các giá trị thực của m để (C) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. 
* Ta có 
* Hàm số có CĐ, CT khi f’(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu :
 m < 2 (1) . Toạ độ các điểm cực trị là: 
* Do tam giác ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi vuông tại A: vì đk (1)
 Trong đó 
Vậy giá trị cần tìm của m là m = 1.
Câu 33:Cho hàm số (Cm)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1
	2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân. 
Câu I: 2) Hàm số có CĐ, CT khi m < 2 . Toạ độ các điểm cực trị là: 
	Tam giác ABC luôn cân tại A Þ DABC vuông tại A khi m = 1.
Câu 34:Cho hàm số (1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -4.
	2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho 
Hướng dẫn
 Ta có: y’ = 3x2 + 6x = 0 
	Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(-2 ; m + 4)
	Ta có: . Để thì 
Câu 35:Cho hàm số 	(1).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2.
	2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có một góc bằng .
2) Ta có ; (m<0)
	Gọi A(0; m2+m); B(; m); C(–; m) là các điểm cực trị. 
	; . DABC cân tại A nên góc chính là .
	Vậy m= thoả mãn bài toán.
Câu36. Tìm m để có CĐ, CT lập thành tam giác đều. 
Giải. . Ta có: . 
Để hàm số có CĐ, CT Û có 3 nghiệm phân biệt Û m > 0 
Þ 3 nghiệm là: Þ 3 điểm CĐ, CT là: 
x
-¥
x1
0
x3 
+¥
f ¢
-
0
+
0
-
0
+
f
+¥
A
CT
B CĐ
C CT
+¥
Þ . 
Để A, B, C lập thành tam giác đều 
thì Û 
Câu 37Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
Giải. Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm phân biệt , khi đó đồ thị có 3 điểm cực trị là . Do là hàm chẵn nên YCBT 
Câu 38:Cho hàm số: (1) có đồ thị là (Cm)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1.
Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng .
GIẢI
Để hàm số có cực đậi, cực tiểu:
Ta có 
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là 
Vì hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đt ta có điều kiện cần là
Khi m = 1 ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là:y = - 2x + 5. Tọa độ trung điểm CĐ và CT là: 
Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (2; 1) thuộc đường thẳng tm .
Khi m = -3 ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là: y = -2x – 11.
 không thỏa mãn. 
Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 39:Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2. Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Giải
2/. Ta có: y’ = 3x2 - 6mx = 0 Û 
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0.
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ 
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)
Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x 
Kết hợp với điều kiện ta có: 
Giải ra ta có: ; m = 0
Câu40:) Cho hàm số: (1) có đồ thị là (Cm)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m =1.
Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng .
b) 
Để hàm số có cực đậi, cực tiểu:
Ta có 
Gọi tọa độ điểm cực đại và cực tiểu là (x1; y1) và (x2; y2)
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là 
Vì hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đt ta có điều kiện cần là
Theo định lí Viet ta có: 
Khi m = 1 ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là:
y = - 2x + 5. Tọa độ trung điểm CĐ và CT là: 
Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (2; 1) thuộc đường thẳng thỏa mãn.
Khi m = -3 ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là: y = -2x – 11. Tọa độ trung điểm CĐ và CT là: 
Câu 41:Cho hàm số: (1) có đồ thị là (Cm)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m =1.
Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng .
b) 
Để hàm số có cực đậi, cực tiểu:
Ta có 
Gọi tọa độ điểm cực đại và cực tiểu là (x1; y1) và (x2; y2)
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là 
Vì hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đt ta có điều kiện cần là
Theo định lí Viet ta có: 
Khi m = 1 ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là:
y = - 2x + 5. Tọa độ trung điểm CĐ và CT là: 
Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (2; 1) thuộc đường thẳng thỏa mãn.
Khi m = -3 ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là: y = -2x – 11. Tọa độ trung điểm CĐ và CT là: 
Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (-2; 9) không thuộc đường thẳng không thỏa mãn. 
Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 42 :Tìm m để có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với y = 3x - 7.
Giải: Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: 
Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: suy ra
Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): 
Ta có (D) ^ y = 3x - 7 Û 
Câu 43:Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua (D): 
Giải: Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt 
Û . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: 
Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên 
Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (d): . 
Các điểm cực trị đối xứng nhau qua 
Û (d) ^ (D) tại trung điểm I của AB (*) . Ta có suy ra 
(*) Û