Các bài tập Hình học ôn thi tuyển sinh vào Lớp 10 - Nguyễn Thị Mai Quỳnh

oạn PQ
Có: Suy ra tứ giác BPCQ là hình bình hành. Suy ra CE // BF.
Chứng minh được (g.c.g) 
Mà Suy ra tứ giác BECF là hình chữ nhật.
Cách 2:
Kẻ tiếp tuyến AT với (O), chứng minh APDT nội tiếp 
dẫn đến (1), chứng minh (g.c.g) (2)
Từ (1) và (2) 
Dẫn đến EF là đường kínhBECF là hình chữ nhật (Đpcm).
Cách 3:
Chứng minh(g.g) 
 BECF là hình chữ nhật (Đpcm).
Câu 12. Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.
Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc cùng một đường tròn..
Chứng minh 
Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.
Gọi P và Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.
Giải:
Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc cùng một đường tròn.
Ta có:(2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).
Mà hai góc này ở cùng nhìn cạnh IK trong tứ giác IKNC từ hai đỉnh kề nhau
là tứ giác nội tiếp
thuộc cùng một đường tròn.
Chứng minh
(hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau).
Xétvàcó:
chung
(cmt)
(g.g)
(đpcm).
Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi
Nối BI cắt đường tròn (O) tại F 
Ta có(vì cùng nhìn cung BN = NC)
 (góc nội tiếp chắn 
 (góc có đỉnh bên trong đường tròn)
Mànên
cân tại M có MN là phân giác 
là đường trung trực của BI.
 (1)
Mặt khác (hai góc nội tiếp chắn hai cung AF = FC)
có BF là phân giác cũng là đường cao
cân tại B(2)
Từ (1) và (2) ta có BHIK là hình thoi.
Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng
nên C, D, Q thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta có D, B, P 
thẳng hàng.
Lại có
Mànên
Hay KQ // DP.
Tương tự KP // DQ 
Nên KPDQ là hình bình hành. Hình bình hành KPDQ có hai 
đường chéo KD và PQ cắt nhau 
tại trung điểm mỗi đường. Nên D, E, K thẳng hàng (Đpcm).
Câu 13. Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO.
Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo 
Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC.
Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định.
Giải: 
Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO.
SD, SC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
thuộc đường tròn đường kính SO (1)
Mặt khác H là trung điểm của AB
thuộc đường tròn 
đường kính SO (2).
Từ (1) và (2) cùng thuộc đường tròn đường kính SO. 
Tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và số đo góc.
Xét có:
Ta có: 
Vì S, D, O, H cùng thuộc một đường tròn nên SHOD là tứ giác nội tiếp
(góc nội tiếp cùng chắn (3)
Lại có: (đồng vị) nên (4)
Từ (3) và (4) nội tiếp.
Gọi M là giao điểm của BK và SC.
Gọi N là giao điểm của AK và BC.
Ta có:vì (2 góc nội tiếp cùng chắn
(2 góc nội tiếp cùng chắn
mà H là trung điểm AB nên K là trung điểm của AN. Suy ra AK = KN.
Có:mà AK = KN nên SM = CM nên M là trung điểm của SC.
Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định.
Kẻ đường kínhcủa đường tròn tâm O.
Ta cómà 
Kéo dài EF cắttại G.
là trung điểm của BD nên G là trung điểm của 
 là đường kính đường tròn tâm O nên cố định cố định. Vậy G cố định.
Màthuộc đường tròn đường kính AG cố định (đpcm).
Câu 14. Cho đường trònđường kínhVẽ các tiếp tuyếncủa đường tròn. là một điểm trên đường trònkhácTiếp tuyến tạicủa đường tròn cắtlần lượt tại
Chứng minh rằng: Tứ giác nội tiếp.
Chứng minh rằng:
Chứng minh rằng:
Khi điểmdi động trên đường tròntìm các vị trí của điểmsao cho diện tích tứ giácnhỏ nhất.
Giải: 
Xét tứ giác APMQ, ta có(vì PA, PM là tiếp tuyến của (O))
Vậy tứ giác APMO nội tiếp.
Ta có: AP = MP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm)
BQ = MQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm)
Ta có OP là phân giác(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm) 
OQ là phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm)
Mà(hai góc kề bù) 
Xétcó: (cmt)
(PQ là tiếp tuyến của (O) tại M)
Áp dụng hệ thức lượng vào vuông tại O có đường cao OM
(hệ thức lượng)
Lại có (cmt); (bán kính)
Do đó
Tứ giác APQB có: nên tứ giác APQB là hình thang vuông.
Mà AB không đổi nênđạt GTNNnhỏ nhất
là điểm chính giữa
Tức M trùnghoặcthìđạt GTNN là .
Câu 15. Cho đường tròn và điểmnằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyếnvới các đường tròn. Quavẽ một đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểmphân biệt nằm giữa). Gọi là trung điểm của đoạn thẳng
Chứng minh tứ giácnội tiếp được trong đường tròn.
Chứng minh
Đường thẳng quasong song vớicắt đoạn thẳngtại Chứng minh
Giải: 
Vì AN, AM là tiếp tuyến của (O) nên
 đường tròn đường kính AO
Gọi J là trung điểm của AO
Vì H là trung điểm của BC nên
 đường tròn đường kính AO
Suy ra A, O, M, N, H thuộc đường tròn tâm J đường kính AO
Suy ra AMHN là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Có(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cungvà góc nội tiếp chắn
Xétvàcó:
 (cmt)
chung
Gọi I là giao điểm của MN và AC
Ta có MN là trục đẳng phương của đường tròn (J) và (O).
nên phương trình tích của I đối với (J) và (O) bằng nhau.
Vìnên
Câu 16. Cho đường tròn tâmbán kínhvà một điểmsao choQuakẻ 2 tiếp tuyếnvàvới đường tròn là 2 tiếp điểm). Lấythuộc đường tròn sao chosong song với. Gọilà giao điểm thứ hai của đường thẳngvới đường trònTiacắt đường thẳngtại
Chứng minh tứ giáclà tứ giác nội tiếp và
Kẻ đường kínhcủa đường trònChứng minhlà tia phân giác của
Gọilà giao điểm của 2 đường thẳngvàTính đội dài đoạn thẳngtheo bán kính
Giải:
HH
Ta có:
Trong tứ giác APOQ có tổng hai góc đối bằng 
Suy ra tứ giác APOQ nội tiếp đường tròn
(so le trong)
Mà (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cungvà góc nội tiếp chắn
Xétvàcó:
chung
(cmt)
Ta có:(AQ là tiếp tuyến của (O) ở Q)
Mà(giả thiết) nên
Đường kínhnên QS đi qua điểm chính giữa nhỏ
(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Hay NS là tia phân giác
Gọi H là giao điểm của PQ và AO
 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AOQ ta có:
 (góc nội tiếp chắn
 (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
Xétvàcó:
(cmt)
chung
Mànên
Vậycó các trung tuyến AH và PK cắt nhau ở G nên G là trọng tâm
Câu 17. Cho tam giácnhọnnội tiếp đường trònhai đường cao cắt nhau tại Tia cắt đường tròntại.
Chứng minh tứ giácnội tiếp đường tròn;
Chứng minh tứ giáclà hình bình hành;
Gọi là trung điểm của, tiacắttại Chứng minhlà trọng tâm của tam giác.
Giải:
Xét tứ giác BCEF có(cùng nhìn cạnh BC )
Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp.
Ta có:(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Màsuy ra (1)
Chứng minh tương tự: (2)
Từ (1) và (2) suy ra BDCD là hình bình hành.
Ta có M là trung điểm của BC suy ra M trung điểm HD.
Do đó AM, HO là các đường trung tuyến của là trọng tâm của
Xét tam giác ABC có M trung điểm của BC và
Suy ra G là trọng tâm của
Câu 18. Cho đường tròncó đường kínhcố định. Trên tia đối của tialấy điểm sao cho Quakẻ đường thẳngvuông góc vớiLấy điểmbất kì trên không trùng vớiTiacắt đường thẳngtạiTiacắt đường tròntại điểm thứ hai làtiacắt đường tròntại điểm thứ hai là.
Chứng minh tứ giáclà tứ giác nội tiếp;
Tínhtheo
Chứng minh hai đường thẳngvàsong song;
Chứng minh trọng tâmcủa tam giácluôn nằm trên một đường tròn cố định khithay đổi trên
Giải:
Ta có AB là đường kính củalà góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
Mặt khác
 mà hai góc ở vị trí đối nhau
Suy ra tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn.
Xétvàcó:
chung
Ta có: 
AMNQ là tứ giác nội tiếp(góc trong tại một đỉnh và góc ngoài tại đỉnh đối diện) (1)
AMPC là tứ giác nội tiếp(hai góc nội tiếp cùng chắn ) (2)
Từ (1) và (2)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
Gọi D là trung điểm của BClà điểm cố định
Qua G kẻ đường thẳng song song với MO cắt AB tại I
G là trọng tâmnênvà(tính chất trọng tâm trong tam giác)
Do 
Áp dụng định lý Ta-lét chota có và 
Mà O, D là hai điểm cố định nên I cố định
Donên theo định lý Ta-lét ta có:
luôn cách điểm I cố định một khoảng không đổi.
Khi M di động, điểm G luôn nằm trên đường tròn tâm I, bán kính
Câu 19. Chocó ba góc nội tiếp đường trònbán kính Hạ đường caocủa tam giác. Các tialần lượt cắttại các điểm thứ hai là
Chứng minh tứ giácnội tiếp đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.
Chứng minh.
Cho và dâycố định, điểmdi chuyển trênsao chocó ba góc nhọn. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếpkhông đổi.
Giải:
 Tứ giác ABHK cómà hai góc cùng nhìn cạnh AB
Suy ra tứ giác ABHK nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Theo câu trên tứ giác ABHK nội tiếp (J) với J là trung điểm của AB
Nên(hai góc nội tiếp cùng chắncủa (J))
Mà(A, H, K thẳng hàng)
(hai góc cùng chắn của (O))
Suy ramà hai góc này ở vị trí đồng vị nên
Gọi T là giao điểm của hai đường cao AH và BK
Tứ giác CHTK có
Suy ra tứ giác CHTK nội tiếp đường tròn đường kính CT
Do đó CT là đường kính của đường tròn ngoại tiếp (*)
Gọi F là giao điểm của CO với (O) hay CF là đường kính của (O)
Ta có:(góc nội tiếp chắn nửa (O)) 
Mà(gt)
Nênhay (1)
Ta có:(góc nội tiếp chắn nửa (O))
Mà(gt)
Nênhay (2)
Từ (1) và (2) ta có tứ giác AFBT là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song)
Do J là trung điểm của đường chéo AB
Nên J cũng là trung điểm của đường chéo FT (tính chất đường chéo hình bình hành)
Xétcó O là trung điểm của FC, J là trung điểm của FT
Nên OJ là đường trung bình của 
 (**)
Từ (*) và (**) ta có độ dài của OJ bằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp 
Mà độ dài của OJ là khoảng cách từ tâm O đến dây AB (J là trung điểm của dây AB)
Do (O) và dây AB cố định nên độ dài OJ không đổi.
Vậy độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp không đổi.
Câu 20. Cho vẽ đường tròn tâmbán kính Đường tròn này cắtthứ tự tạivà Các tiếp tuyến với đường trònkẻ từvàcắt nhau tại
Tứ giáclà hình gì? Chứng minh?
Trênlấy điểmtùy ý (khácvà) kẻ tiếp tuyếnvới đường tròn,là tiếp điểm).cắt tại Chứng minh rằng
thứ tự là giao điểm củavới Chứng minh rằnglà các đường cao của
Giải:
Theo tính chất tiếp tuyến ta có: 
Xét tứ giác ABCD có:
 là hình chữ nhật.
Ta cónên ABCD là hình vuông.
Xét vuông và vuông có:
 (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Tương tự:
Xétvuông có: 
vuông cân tại C 
Ta có A, B là hai đỉnh cùng nhìn QM một góc 
 Tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp.
là đường cao của(đpcm)
Tương tự ADNP là tứ giác nội tiếp 
là đường cao trong
Vậy MQ, NP là các đường cao trong(đpcm)
Câu 21. Cho có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn Vẽ đường cao của đường kínhcủa đường tròn. Gọilần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ và xuống đường thẳnglà trung điểm của
Chứng minh các tứ giácvànội tiếp.
Chứng minh 
Chứng minh (là diện tích ).
Giải: 
Theo đề bài ta có:mà 2 góc cùng nhìn cạnh AB
Vậy tứ giác ABHF nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Có M là trung điểm là BC mà BC là dây cung nên
Khi đó mà 2 góc ở vị trí đối nhau
Vậy tứ giác BMOF nội tiếp đường tròn đường kính OB.
Theo đề bài:là tứ giác nội tiếp
Suy ra: (2 góc nội tiếp cùng chắn 
Lại có:(2 góc nội tiếp cùng chắn 
Nênmà chúng ở vị trí đồng vị suy ra:
Ta có:
Mặt khác trongcó:(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên vì hai góc nội tiếp cùng chắn
Tương tự ta có:
Ta có:
Từ (1) và (2) 
Vậy 
Câu 22. Chonhọn ba đường caocủacắt nhau tại
Chứng minh tứ giácnội tiếp.
Chứng minh 
Kẻ tiếp tuyếnvới đường tròn đường kính(là tiếp điểm) kẻ tiếp tuyếnvới đường tròn đường kính ( là tiếp điểm). Chứng minh
Giả sử AB = 4cm; AC = 5cm; BC = 6cm. Tính
Giải: 
Ta có:
Mà hai đỉnh M, N cùng nhìn BC
Tứ giác BCMN nội tiếp đường tròn.
Xét vàcó:
chung
(cùng bù với) 
Suy ra (g.g).
Gọi O là tâm đường tròn đường kính AH
Gọi I là tâm đường tròn đườn kính CH
Xétvàcó: 
chung
(cùng phụ với
Suy ra: (g.g)
 (1)
Ta có: (2 góc nội tiếp cùng chắn
Mà(gt) 
Lại códo cân tại I
Xétvàcó: 
 chung
(cùng phụ với)
Suy ra:(g.g)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Đặt
Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có:
Mà
Vậy
Lại có:(cmt)
(cm).
Câu 23. Cho nửa đường tròn đường kínhR. Điểm di chuyển trên nửa đường tròn khácvà. là trung điểm của dây cung Đường thẳng là tiếp tuyến với nửa đường tròn tại Tiacắt tại điểm. Đường thẳngcắttại. 
Chứng minh: tứ giácnội tiếp.
Chứng minh:
Chứng minh:vuông góc với
Tìm vị trí điểmsao cho nhỏ nhất.
Giải: 
Theo tính chất dây cung ta có:
BN là tiếp tuyến của (O) tại
Xét tứ giác OCNB có tổng góc đối: 
Do đó tứ giác OCNB nội tiếp.
Xét vàcó:
chung
Suy ra
Do đó:(đpcm).
Theo chứng minh trên ta có: 
là đường cao của
là đường cao của
Từ (1) và (2)là trực tâm của(vì O là gia điểm của AB và EC)
là đường cao thứ ba của
Suy ra (đpcm).
Ta có:(vì C là trung điểm của AM)
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương ta có:
Suy ra tổngnhỏ nhất bằng khi 
là trung điểm của AN
Khi đóvuông tại B có BM là đường trung tuyến nên
Vậy với M là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính AB thìnhỏ nhất bằng 
Câu 24. Cho đường tròn tâmbán kínhvà đường thẳngkhông đi qua cắt đường tròn tại 2 điểm Lấy điểm bất kỳ trên tia đối qua kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (là các tiếp điểm).
Chứng minh tứ giácnội tiếp đường tròn.
Gọilà trung điểm của đoạn thẳng Chứng minh là phân giác của 
Đường thẳng đi quavà vuông góc vớicắt các tiatheo thứ tự tại Tìm vị trí của điểmtrênsao cho diện tíchnhỏ nhất.
Giải:
Xét tứ giác MCOD có:
Suy ra tứ giác MCOD nội tiếp đường tròn.
Ta có H là trung điểm của H thuộc đường kính MO
5 điểm D; M; C; H; O cùng thuộc đường tròn đường kính MO
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung MD)
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
Lại có(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
HM là phân giác
Ta có:
Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMP ta có: 
không đổi
Dấu “ = “ xảy ra Khi đó M là giao điểm (d) với đường tròn tâm O bán kính
Vậy M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kínhthì diện tíchnhỏ nhất.
Câu 25. Chocó ba góc đều nhọn, hai đường caovà cắt nhau tại(thuộc thuộc 
Chứng minh tứ giácnội tiếp được trong một đường tròn;
Gọi lần lượt là trung điểm củavà BC. Chứng minhvuông góc với ED.
Giải:
Tứ giác ADHE có:
Nên
Do đó: mà 2 góc ở vị trí đối diện
Vậy tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn.
Tứ giác BEDC có:
(gt) nên cùng nội tiếp đường tròn tâm I đường kính BC (1)
Tương tự: Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn tâm M đường kính AH và E, D là giao điểm của I và đường tròn
Dễ dàng chứng minh
là phân giác
Màcân tại
Câu 26. Chocó ba góc đều nhọnnội tiếp trong đường tròn tâm kẻ đường cao Gọilà hình chiếu vuông góc củatrênvàKẻvuông góc với Đường vuông góc vớitạicắt đường tròn tại và cắt tiatại Tiacắt đường tròn tại. 
Chứng minhvà tứ giácnội tiếp được trong một đường tròn.
Chứng minh hệ thứcvà tứ giác là hình thang cân. 
Chứng minh: tứ giácnội tiếp được trong một đường tròn. 
Giải:
Vì ABIC là tứ giác nội tiếp nên:
Vìnên s
mà 2 góc ở vị trí đối nhau
Suy ra tứ giác DENC là tứ giác nội tiếp.
Áp dụng hệ thức lượng trong hai tam giác vuông AHB và AHC có:
Có
Suy ra số đo hai cung IC và BF bằng nhau
Mặt khác vì ABFI và ABIC nội tiếp nên 
Suy ralà hình thang 
Vì 
Hình thang BCIF có FC = BIBCIF là hình thang cân.
Có 
Xétvàcó:
(cmt); chung
Suy ra 
mà 2 góc ở vị trí đối diện
Suy ra BMED nội tiếp đường tròn.
Câu 27. Cho nửa đường trònđường kính Gọilà điểm cố định thuộc đoạn thẳng khácvà. Dựng đường thẳng vuông góc vớitại điểm cắt nửa đường tròn tại điểmTrên cung nhỏlấy điểmbất kỳkhácvà, tiacắt đường thẳng tại điểm tiacắt đường thẳngtại điểmĐường thẳngcắt nửa đường tròn tại điểm (khác). 
Chứng minh:
Chứng minh: Ba điểm thẳng hàng vàlà tâm đường tròn nội tiếp
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh rằng điểm luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi điểmdi chuyển trên cung nhỏ.
Giải:
Có(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét và có:
chung
 (g.g)
Có EC giao AN tại F nên F là trực tâm của
Màthẳng hàng
Tứ giác ADFC có hai góc đối bằng nên tứ giác ADFC là tứ giác nội tiếp
Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn
Tương tự ta có:(hai góc nội tiếp cùng chắn
Mà(cùng phụ với
Suy ra CF là phân giác
Tương tự cùng có DF là phân giác
Vậy F là tâm đường tròn nội tiếp
Gọi J là giao điểm của (I) với đoạn AB
Có
 (1)
Vì AEFJ là tứ giác nội tiếp nên
 (2)
Từ (1) và (2) suy ralà trung điểm của BJ (vì)
Suy ra J là điểm cố định
Cónên I luôn thuộc đường trung trực của AJ là đường thẳng cố định.
Câu 28. Cho nhọnnội tiếp vẽ đường kínhĐường thẳng đi qua vuông góc vớitạivà cắttại Gọilà hình chiếu củatrênvàlà trung điểm của 
Chứng minhlà tứ giác nội tiếp.
Chứng minh
Chứng minh
Giải: 
Có(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vìnênmà hai góc ở vị trí đối nhau
Suy ra tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp.
Vì M là trung điểm cạnh huyền BC của tam giác vuông BHC nên 
cân tại M (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên: 
Vìnênlà tứ giác nội tiếp
 (hai góc nội tiếp cùng chắn
Mà theo ý 2 ta có:
Suy ra H, E, M thẳng hàng.
Gọi N là trung điểm của FC. 
 NM là đường trung bình của 
MN // BF nên ta có:
(đpcm).
Câu 29. Chonhọn. Đường tròn tâmđường kínhcắt các cạnhlần lượt tại các điểm. Gọilà giao điểm củavàlà giao điểm của và. 
Chứng minh tứ giácnội tiếp được trong một đường tròn.
Chứng minh
Trong trường hợp đặc biệt khiđều cạnh bằng. Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giáctheo 
Từ điểmkẻ các tiếp tuyếnvàcủa đường tròn tâmđường kính(là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểmthẳng hàng. 
Giải:
Ta có:nên M và N cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Vậy tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn.
Tứ giác AMPC có(do H là trực tâm củavà
 Từ đó suy ra 
Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN có đường kính AH
 đều nên trực tâm H cũng là trọng tâm
Chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN bằng:
Vậy chu vi đường tròn ngoại tiếp tức giác AMHN bằng
Ta có:
Xétvàcó:
(cmt); chung
Nên(c.g.c). Suy ra 
Tương tự ta có:
Mặt khác: Tứ giác AFOP và AEOF nội tiếp đường tròn đường kính AO nên năm điểm A, E, P, O, F cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
Suy ra tứ giác AEPF nội tiếp đường tròn nên:
Từ (1), (2) và (3)
Vậy ba điểm E, H, F thẳng hàng.
Câu 30. Chođều có đường cao Trên cạnhlấy điểmtùy ýkhông trùng với Gọilần lượt là hình chiếu vuông góc củalên.
Chứng minh tứ giácnội tiếp được đường tròn và xác định tâmcủa đường tròn này.
Chứng minh
Chứng minh.
Giải: 
Xét tứ giác APMQ có:(gt)
Tứ giác APMQ nội tiếp trong đường tròn đường kính AM
Gọi O là trung điểm của AM 
 tứ giác APMQ nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AM.
Ta có:(gt)nội tiếp chắnđường tròn đường kính AM
H thuộc đường tròn (O)
Ta có:(hai góc nội tiếp cùng chắn)
 (hai góc nội tiếp cùng chắn
Mà(đều nên AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác)
cân tại
Mà (do (2)
Từ (1) và (2)là đường trung trực của
Ta có: (do)
 (do )
(đpcm). 
Câu 31. Chocó ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn có bán kínhcm. Các tiếp tuyến vớitạivàcắt nhau tại.
Chứng minh tứ giácnội tiếp đường tròn;
Gọilà giao điểm củavà Biết(cm). Tính diện tích
 Kẻ đường thẳngđi quavà song song với đường tiếp tuyến với tại cắt các đường thẳnglần lượt tại Chứng minh
Chứng minh
Giải:
Do DB, DC là các tiếp tuyến của (O)
 mà 2 góc ở vị trí đối nhau
Tứ giác OBDC là tứ giác nội tiếp.
Áp dụng định lý Pi-ta-go vàovuông tại B
Ta có:(2 tiếp tuyến cắt nhau)
thuộc trung trựclà trung trực
Áp dụng hệ thức lượng vàovuông, ta có:
Vậy
Ta có:(2 góc so le trong do
Mà (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và cungvà góc nội tiếp chắn)
Xét và có:
chung;(cmt)
(g.g)
Kéo dài BD cắt tiếp tuyến đi qua A của đường tròn (O) tại F
Ta có:(đối đỉnh)
Mà(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp chắn )
(do
cân tại
Tương tự kéo dàu DC cắt tiếp tuyến đi qua A của đường tròn (O) tại G
Ta chứng minhcân tại D
Lại có(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 
D là trung điểm PQ
Ta có:(cmt)
Xét và có:
( - cmt); 
(c.g.c)(đpcm).
Câu