Bí kíp ôn luyện thi THPTQG môn Toán - Hệ phương trình, Phương trình, Bất phương trình - Nguyễn Mạnh Cường

yễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 12 
 (3) ⇔ 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟗 + √𝟓𝒙 + 𝟔 + √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟎 
 ⇔ 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒 = (𝒙 + 𝟐) − √𝟓𝒙 + 𝟔 + (𝒙 + 𝟑) − √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 
 ⇔ 𝟐(𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐) =
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐
(𝒙 + 𝟐) + √𝟓𝒙 + 𝟔
+
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐
√𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 + (𝒙 + 𝟑)
 ⇔
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 (𝒂)
𝟐 =
𝟏
(𝒙+𝟐)+√𝟓𝒙+𝟔
+
𝟏
√𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒙+𝟑)
 (𝒃)
Giải PT (a) ta được: 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 ⇔ (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⇔ 𝒙=−𝟏
𝒙=𝟐
(𝒕𝒎) 
Với 𝒙 = −𝟏 thì {
𝒚 ≥ 𝟎
𝒚𝟐 = 𝟑 − 𝒙
⇔ 𝒚 = 𝟐 ; Với 𝒙 = 𝟐 thì {
𝒚 ≥ 𝟎
𝒚𝟐 = 𝟑 − 𝒙
⇔ 𝒚 = 𝟏 
Giải PT (b): 𝟐 =
𝟏
(𝒙+𝟐)+√𝟓𝒙+𝟔
+
𝟏
√𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒙+𝟑)
⇔
𝟏
(𝒙+𝟐)+√𝟓𝒙+𝟔
+
𝟏
√𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒙+𝟑)
− 𝟐 = 𝟎 
Xét hàm số: 𝑔(𝑥) =
𝟏
(𝒙+𝟐)+√𝟓𝒙+𝟔
+
𝟏
√𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒙+𝟑)
− 𝟐, trên [−
6
5
; 3] 
𝑔′(𝑥) = − [
5+2√5𝑥+6
2√5𝑥+6.(𝑥+2+√5𝑥+6)
2 +
7+2√7𝑥+11
2√7𝑥+11.(𝑥+3+√7𝑥+11)
2 + 2] < 0, ∀𝑥 ∊ [−
6
5
; 3] 
⇒ Hàm số 𝑔(𝑥) luôn nghịch biến ⇒ PT (b) vô nghiệm. 
KL: Vậy hệ đã cho có nghiệm là (-1; 2) và (2; 1)  
Bài 3: {
𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟕 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒚𝟐 (𝟏)
√𝒙 + 𝟐 + √𝟒 − 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 (𝟐)
(Trích đề thi lần 1 – năm 2016 – THPT chuyên Vĩnh Phúc) 
Phân tích đề: 
Nào các bạn lại một bài toán không khó mà cũng không dễ, chúng ta cùng nhau “chặt – chém” nó 
nào. Bước đầu tiên là gì nhỉ “ sống chết gì cũng phải tìm đkxđ”. 
ĐKXĐ: 𝑥 ≥ −2, 𝑦 ≤ 4. 
Nào chúng ta cùng nhau xét PT (1), để tìm được nhân tử chung của PT . Ơr dạng bài này tôi sẽ 
hướng dẫn thêm cho các bạn một chức năng hay của máy tính casio fx-570ES PLUS đó là chức 
năng CALC 100 như sau: 
Các bạn chuyển 2 vế về 1 vế để tiện tính toán: 𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟕 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒚𝟐 = 𝟎 
CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT – BPT 
 https://www.facebook.com/nmc22297 
Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 13 
Các bạn thay giá trị y=100 vào (1) ta được: 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟗𝟒𝟏𝟏𝟗𝟑 = 𝟎, giải PT này ta 
được nghiệm duy nhất là 𝒙 = 𝟗𝟗 ( các bạn bấm MODE 5 4 và nhập hệ sỗ để giải PT bậc 3). Ở 
đây 𝒙 = 𝟗𝟗 nhưng do ta chọn y=100 nên 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟏 = 𝒚 − 1. Như vậy nhân tử chung của 
PT (1) là 𝒙 = 𝒚 − 𝟏 ⇔ 𝒚 = 𝒙 + 𝟏. 
Cách 2: sử dụng chức năng SHIFT CALC như các bài trên, ở đây tôi cho luôn bảng giá trị X và 
Y như sau: 
Y 0 1 2 3 4 -1 
X -1 0 1 2 3 -2 
Từ bảng dễ thấy X=Y-1 hay X+1=Y. 
Vậy là tôi đã hướng dẫn cho các bạn xong hai cách nhưng tôi nói thêm với cách CALC 100 chỉ 
áp dụng khi nghiệm x theo y ra đẹp thì mới áp dụng được, nên dùng cách 2 hơn. 
(1)⇔ 𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟕 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒚𝟐 
 ⇔ 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝒚𝟑 − 𝟔𝒚𝟐 + 𝟏𝟐𝒚 − 𝟖 
 ⇔ (𝒙 − 𝟏)𝟑 = (𝒚 − 𝟐)𝟑 
 ⇔ 𝒙 − 𝟏 = 𝒚 − 𝟐 ⇔ 𝒙 + 𝟏 = 𝒚. 
Đố thế là ta đã ra nhân tử chung và bây giờ ta sẽ thay vào PT (2) để giải nó( được một nửa 
quãng đường rồi). Thay vào (2) ta được: √𝒙 + 𝟐 + √𝟑 − 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏 (3). Việc tiếp 
theo ta sẽ đi giải (3) bằng cách xem (3) có mấy nghiệm từ đó ta sẽ tách (3) theo nghiệm đó. 
Để làm được việc đó chúng ta cần có máy tính casio fx-570ES PLUS: 
Chuyển 2 vế của PT (3) về 1 vế: 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏 − √𝒙 + 𝟐 − √𝟑 − 𝒙 = 𝟎. Chắc có nhiều 
bạn đã biết cách dùng máy tính rồi nhưng tôi vẫn trình bày cách bấm máy: 
Nhập VT (3) vào máy và được kết quả như hình bên 
Bấm SHIFT CALC thì máy hiện kết quả như hình bên, tức máy 
hỏi các bạn cho giá trị X bằng mấy để tính, các bạn lấy giá trị 
bất kỳ, ở đây tôi lấy X=-9 thì bấm vào máy tính là – 9 = 
CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT – BPT 
 https://www.facebook.com/nmc22297 
Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 14 
Bây giờ máy hiện kết quả như hình bên có nghĩa là khi X=-1 
thì sai số của phép tính là L-R=0 hay X=-1 là nghiệm của PT 
(3). 
Bấm ◀ để quay về màn hình lúc ban đầu, tiếp theo các bạn 
chia nghiệm x=-1 đi để xem (3) còn nghiệm nào nữa không, 
nhớ là phải có mở đóng ngoặc ở đầu và cuối VT (3) 
Bấm SHIFT CALC, tương tự như trên máy sẽ hỏi các bạn cho 
giá trị X bằng bao nhiêu để tính thì các bạn lấy luôn giá trị 
trên máy hiện lên và ấn =, sau đó máy hiện kết quả như hình 
bên, tức là X=2 là một nghiệm nữa của PT (3) 
Tương tự các bạn bấm ◀ để quay về màn hình lúc chia 
nghiệm X=-1, bây giờ các bạn chia tiếp nghiệm X=2 của PT 
đi để xem PT còn nghiệm nữa hay không 
Bấm SHIFT CALC, tương tự như trên máy sẽ hỏi các bạn cho 
giá trị X bằng bao nhiêu để tính thì các bạn lấy luôn giá trị 
trên máy hiện lên và ấn =, sau đó máy hiện kết quả như hình 
bên, tức PT (3) đã hết nghiệm 
Như vậy PT (3) tạm kết luật rằng: chỉ có 2 nghiệm là -1 và 2. Tương tự như thí dụ trên ta sử 
dụng Định lý Vi-ét hoặc nhân luôn 2 nghiệm kia vào với nhau( chỉ áp dụng khi cho nghiệm 
đẹp như thế này) tuy các bạn nhé để tiết kiệm giấy cũng như mực và thời gian ta áp dụng 
cách 2 nhân tích 2 nghiệm vào tức là: 2 nghiệm – 1 và 2 là nghiệm của PT: (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐) =
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐. Bây giờ việc tiếp theo của chúng ta là “chặt – chém” PT (3) theo nhân tử chung 
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 này. Nhưng các bạn lại thấy có gì đó vướng vướng nhỉ đó là tìm biểu thức liên 
hợp của √𝒙 + 𝟐, √𝟑 − 𝒙. Như bài trên đã trình bày cách tìm biểu thức liên hợp( Bài 2) nên 
tôi sẽ tìm luôn biểu thức liên hợp mà không trình bày chi tiết quá. 
Gọi biểu thức liên hợp của √𝒙 + 𝟐 là 𝒂𝒙 + 𝒃 thì ta phải có {
𝒂. (−𝟏) + 𝒃 = √−𝟏 + 𝟐
𝒂. 𝟐 + 𝒃 = √𝟐 + 𝟐
⇔ {
𝒂 =
𝟏
𝟑
𝒃 =
𝟒
𝟑
Do đó: (
𝒙
𝟑
+
𝟒
𝟑
) − √𝒙 + 𝟐 =
𝟏
𝟑
[(𝒙 + 𝟒) − 𝟑√𝒙 + 𝟐] =
𝟏
𝟑
. (
𝒙𝟐−𝒙−𝟐
𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐
) 
Tương tự: biểu thức liên hợp của √𝟑 − 𝒙 là 
𝟓
𝟑
−
𝒙
𝟑
, hay: 
CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT – BPT 
 https://www.facebook.com/nmc22297 
Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 15 
 (
𝟓
𝟑
−
𝒙
𝟑
) − √𝟑 − 𝒙 =
𝟏
𝟑
[(𝟓 − 𝒙) − 𝟑√𝟑 − 𝒙] =
𝟏
𝟑
. (
𝒙𝟐−𝒙−𝟐
𝟓−𝒙+𝟑√𝟑−𝒙
) 
Vậy là xong rồi đúng không các bạn phải nhớ điều kiện của PT (3) nhá: −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 
Bây ta sẽ tách PT (3): 
(3)⇔ √𝒙 + 𝟐 + √𝟑 − 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏 
 ⇔ 𝟑(𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏) − 𝟑√𝒙 + 𝟐 − 𝟑√𝟑 − 𝒙 = 𝟎 
 ⇔ 𝟑(𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟒) + (𝒙 + 𝟐 − 𝟑√𝒙 + 𝟐) + (𝟑 − 𝒙 − 𝟑√𝟑 − 𝒙) = 𝟎 
 ⇔ 𝟑(𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐) +
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐
𝒙 + 𝟒 + 𝟑√𝒙 + 𝟐
+
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐
𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟑 − 𝒙
= 𝟎 
 ⇔
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 (𝒂)
𝟑(𝒙 + 𝟐) +
𝟏
𝒙 + 𝟒 + 𝟑√𝒙 + 𝟐
+
𝟏
𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟑 − 𝒙
= 𝟎 (𝒃)
Giải (a): 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 ⇔ (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⇔ 𝒙=−𝟏
𝒙=𝟐
(tmđkxđ) 
Với 𝑥 = −1 ⇒ 𝑦 = 0(𝑡𝑚đ𝑘𝑥đ), Với 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 1(tmđkxđ) 
Giải (b): 𝟑(𝒙 + 𝟐) +
𝟏
𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐
+
𝟏
𝟓−𝒙+𝟑√𝟑−𝒙
= 𝟎 
Dễ thấy với −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 thì 𝟑(𝒙 + 𝟐) +
𝟏
𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐
+
𝟏
𝟓−𝒙+𝟑√𝟑−𝒙
> 𝟎 , nên (b) vô nghiệm. 
( Nếu không các bạn có thể làm như Bài 2) 
Vậy là xong rồi nhỉ! 
Bài làm chính thức: 
ĐKXĐ: 𝑥 ≥ −2, 𝑦 ≤ 4. 
Xét PT (1): 
(1)⇔ 𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟕 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒚𝟐 
 ⇔ 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝒚𝟑 − 𝟔𝒚𝟐 + 𝟏𝟐𝒚 − 𝟖 
 ⇔ (𝒙 − 𝟏)𝟑 = (𝒚 − 𝟐)𝟑 
 ⇔ 𝒙 − 𝟏 = 𝒚 − 𝟐 ⇔ 𝒙 + 𝟏 = 𝒚. 
CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT – BPT 
 https://www.facebook.com/nmc22297 
Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 16 
Thay vào PT (2) ta được: √𝒙 + 𝟐 + √𝟑 − 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏 (3) 
Giải PT (3): 
(3)⇔ √𝒙 + 𝟐 + √𝟑 − 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏 
 ⇔ 𝟑(𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏) − 𝟑√𝒙 + 𝟐 − 𝟑√𝟑 − 𝒙 = 𝟎 
 ⇔ 𝟑(𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟒) + (𝒙 + 𝟒 − 𝟑√𝒙 + 𝟐) + (𝟓 − 𝒙 − 𝟑√𝟑 − 𝒙) = 𝟎 
 ⇔ 𝟑(𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐) +
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐
𝒙 + 𝟒 + 𝟑√𝒙 + 𝟐
+
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐
𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟑 − 𝒙
= 𝟎 
 ⇔
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 (𝒂)
𝟑(𝒙 + 𝟐) +
𝟏
𝒙 + 𝟒 + 𝟑√𝒙 + 𝟐
+
𝟏
𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟑 − 𝒙
= 𝟎 (𝒃)
Giải (a): 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 ⇔ (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⇔ 𝒙=−𝟏
𝒙=𝟐
(tmđkxđ) 
Với 𝑥 = −1 ⇒ 𝑦 = 0(𝑡𝑚đ𝑘𝑥đ), Với 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 3(tmđkxđ) 
Giải (b): 𝟑(𝒙 + 𝟐) +
𝟏
𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐
+
𝟏
𝟓−𝒙+𝟑√𝟑−𝒙
= 𝟎 
Dễ thấy với −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 thì 𝟑(𝒙 + 𝟐) +
𝟏
𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐
+
𝟏
𝟓−𝒙+𝟑√𝟑−𝒙
> 𝟎 , nên (b) vô nghiệm. 
KL: Vậy hệ đã cho có nghiệm là: (-1; 0) và ( 2; 3)  
Bài 4: {
𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝒙 − 𝟏 = √𝒚 − 𝟏 − √𝒙 (𝟏)
𝟑√𝟔 − 𝒚 + 𝟑√𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟕 = 𝟐𝒙 + 𝟕 (𝟐)
( Trích đề thi thử lần 1 – năm 2016 – THPT LÝ THÁI TỔ-BẮC NINH) 
Phân tích đề: 
Nào các bạn trẻ lại một câu hỏi không hề dễ mà cũng chẳng khó tý nào, vậy chúng ta cùng 
tiêu diệt nó nhé! 
ĐKXĐ: 𝒙 ≥ 𝟎, 𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟔 
Bước tiếp theo là chúng ta sẽ xét PT (1): chuyển 2 vế của PT (1) về cùng 1 vế ta được: 
𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝒙 − 𝟏 − √𝒚 − 𝟏 + √𝒙 = 0 
Đã qua 3 thí dụ trên nên các bạn phần nào cũng biết được bước tiếp theo là gì đúng không. 
CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT – BPT 
 https://www.facebook.com/nmc22297 
Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 17 
Tôi sẽ cho luôn bảng giá trị X và Y như sau: 
Y 1 2 3 4 5 6 
X 0 1 2 3 4 5 
√𝒙 0 1 √2 √3 2 √5 
√𝒚 − 𝟏 0 1 √2 √3 2 √5 
Đó như các bạn đã thấy rồi trong PT mà có bất cứ biểu thức nào thì các bạn cứ tính thêm giá 
trị của biểu thức đó theo X và Y. Ở đây, qua bảng giá trị các bạn đã thấy được mối quan hệ 
giữa X và Y là: 𝐘 − 𝟏 = 𝐗 hay √𝒙 = √𝒚 − 𝟏 , đó có 2 trường hợp nhưng chả sao sao cả nó 
vẫn là một mà vì đã có ĐKXĐ. Bây chúng ta đi khai thác PT (1) theo nhân tử này. 
(1)⇔ 𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝒙 − 𝟏 = √𝒚 − 𝟏 − √𝒙 
 ⇔ 𝒙(𝒚 − 𝟏) − (𝒚 − 𝟏)𝟐 + √𝒙 − √𝒚 − 𝟏 = 𝟎 
 ⇔ (𝒚 − 𝟏)[𝒙 − (𝒚 − 𝟏)] + √𝒙 − √𝒚 − 𝟏 = 𝟎 
 ⇔ (√𝒙 − √𝒚 − 𝟏)[(𝒚 − 𝟏)(√𝒙 + √𝒚 − 𝟏) + 𝟏] = 𝟎 
 ⇔
√𝒙 = √𝒚 − 𝟏 (𝒂)
(𝒚 − 𝟏)(√𝒙 + √𝒚 − 𝟏) + 𝟏 = 𝟎 (𝒃)
Đó đến đây là ta đã thấy được nhân tử chung của chúng ta rồi, nhưng các bạn còn đang thắc 
mắc về PT (b) đúng không. Các bạn để ý xem ĐKXĐ: 𝒙 ≥ 𝟎, 𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟔 nên VT (b)>0, do đó 
PT (b) vô nghiệm. Bây giờ ta chỉ việc thay √𝒙 = √𝒚 − 𝟏 ⇔ 𝒙 = 𝒚 − 𝟏 ⇔ 𝒚 = 𝒙 + 𝟏 vào PT 
(2): 𝟑√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 + 𝟕 (𝟑). Nào đến đây thì ngon rồi coi như “ cơm đã nấu xong 
bây chỉ việc chờ đánh chén” , ta sẽ đi giải PT (3) giống như các ví dụ trên, nhớ là đk của x là 
𝟒
𝟓
≤ 𝒙 ≤ 𝟓 
Nhập VT của PT (3) vào máy tính và sẽ được kết quả như 
hình bên 
Bấm SHIFT CALC thì máy hỏi bạn cho giá trị X bằng bao 
nhiêu thì các bạn cho X=9 và ấn =. Sau đó máy hiện kết 
quả như hình bên tức là X=4 là một nghiệm của PT (3) 
CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT – BPT 
 https://www.facebook.com/nmc22297 
Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 18 
Bấm ◀ để quay về màn hình lúc ban đầu, tiếp theo các 
bạn chia nghiệm x=4 đi để xem (3) còn nghiệm nào nữa 
không, nhớ là phải có mở đóng ngoặc ở đầu và cuối VT 
(3) 
Bấm SHIFT CALC, tương tự như trên máy sẽ hỏi các bạn 
cho giá trị X bằng bao nhiêu để tính thì các bạn lấy luôn 
giá trị trên máy hiện lên và ấn =, sau đó máy hiện kết quả 
như hình bên, tức là X=1 là một nghiệm nữa của PT (3) 
Tương tự các bạn bấm ◀ để quay về màn hình lúc chia 
nghiệm X=4, bây giờ các bạn chia tiếp nghiệm X=1 của 
PT đi để xem PT còn nghiệm nữa hay không 
Bấm SHIFT CALC, tương tự như trên máy sẽ hỏi các bạn 
cho giá trị X bằng bao nhiêu để tính thì các bạn lấy luôn 
giá trị trên máy hiện lên và ấn =, sau đó máy hiện kết quả 
như hình bên, tức PT (3) đã hết nghiệm( các bạn có thể 
thử thêm nhiều giá trị X để cho đỡ sợ sai) 
Như vậy đến đây ta có thể tạm kết luận là PT (3) có 2 nghiệm là 1 và 4. Tương tự các ví dụ 
trên ta sẽ tìm PT chứa 2 nghiệm này là (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟒) = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒. Đó thế là ra nhân tử 
chung rồi bây tiếp theo là tìm biểu thức liên hợp cho 3√𝟓 − 𝒙, 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒. Cũng thực hiện 
tương tự như các thí dụ trên ta làm như sau: 
Gọi biểu thức liên hợp của 3√𝟓 − 𝒙 là 𝒂𝒙 + 𝒃 nên {
𝒂. 𝟏 + 𝒃 = 𝟑√𝟓 − 𝟏
𝒂. 𝟒 + 𝒃 = 𝟑√𝟓 − 𝟒
⇔ {
𝒂 = −𝟏
𝒃 = 𝟕
Tức là: (𝟕 − 𝒙) − 3√𝟓 − 𝒙 =
𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟒
(𝟕−𝒙)+3√𝟓−𝒙
Tương tự biểu thức liên hợp của 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 là 𝟑𝒙 hay 𝟑𝒙 − 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 =
𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟒
𝟑𝒙+𝟑√𝟓𝒙−𝟒
Thế là ok rồi nhỉ bây đi “chém” PT (3) thôi: 
(3)⇔ 𝟑√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 + 𝟕 
 ⇔ (𝟕 − 𝒙) − 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 0 
 ⇔
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒
(𝟕 − 𝒙) + 3√𝟓 − 𝒙
+
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒
𝟑𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒
= 𝟎 
CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT – BPT 
 https://www.facebook.com/nmc22297 
Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 19 
 ⇔
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟎 (𝒄)
𝟏
(𝟕 − 𝒙) + 3√𝟓 − 𝒙
+
𝟏
𝟑𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒
= 𝟎 (𝒅)
Như vậy đã xuất hiện nhân tử chung rồi, bây chỉ còn xử lỹ cái PT (d) kia thôi nữa là xong. 
Quy đồng PT (d) lên nào: 𝟐𝒙 + 𝟕 + 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟎. 
Dễ thấy: 𝟐𝒙 + 𝟕 + 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 > 0, ∀𝑥𝜖 [
4
5
; 5] ( Có thể đạo hàm để cho chắc, nhưng 
như thế này là được rồi). Đến đây coi như là xong rồi còn gì! 
Bài làm chính thức: 
ĐKXĐ: 𝒙 ≥ 𝟎, 𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟔 
Xét PT (1) ta được: 
(1)⇔ 𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝒙 − 𝟏 = √𝒚 − 𝟏 − √𝒙 
 ⇔ 𝒙(𝒚 − 𝟏) − (𝒚 − 𝟏)𝟐 + √𝒙 − √𝒚 − 𝟏 = 𝟎 
 ⇔ (𝒚 − 𝟏)[𝒙 − (𝒚 − 𝟏)] + √𝒙 − √𝒚 − 𝟏 = 𝟎 
 ⇔ (√𝒙 − √𝒚 − 𝟏)[(𝒚 − 𝟏)(√𝒙 + √𝒚 − 𝟏) + 𝟏] = 𝟎 
 ⇔
√𝒙 = √𝒚 − 𝟏 (𝒂)
(𝒚 − 𝟏)(√𝒙 + √𝒚 − 𝟏) + 𝟏 = 𝟎 (𝒃)
Do ĐKXĐ nên (𝒚 − 𝟏)(√𝒙 + √𝒚 − 𝟏) + 𝟏 > 𝟎, hay PT (b) vô nghiệm. 
Thay (a) √𝒙 = √𝒚 − 𝟏 ⇔ 𝒙 = 𝒚 − 𝟏 ⇔ 𝒚 = 𝒙 + 𝟏 vào PT (2) ta được: 
𝟑√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 + 𝟕 (𝟑) với 
𝟒
𝟓
≤ 𝒙 ≤ 𝟓 
Giải PT (3):(3)⇔ 𝟑√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 + 𝟕 
 ⇔ (𝟕 − 𝒙) − 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 0 
 ⇔
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒
(𝟕 − 𝒙) + 3√𝟓 − 𝒙
+
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒
𝟑𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒
= 𝟎 
⇔
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟎 (𝒄)
𝟏
(𝟕 − 𝒙) + 3√𝟓 − 𝒙
+
𝟏
𝟑𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒
= 𝟎 (𝒅)
CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT – BPT 
 https://www.facebook.com/nmc22297 
Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 20 
Giải (c) ta được: 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟎 ⇔ (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟒) = 𝟎 ⇔ 𝒙=𝟏
𝒙=𝟒
 (tmđk 
4
5
≤ 𝑥 ≤ 5) 
Với x=1 thì y=2( tm đkxđ) và với x=4 thì y=5( tm đkxđ) 
Giải (d): (d) ⇔ 𝟐𝒙 + 𝟕 + 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟎 
Dễ thấy: 𝟐𝒙 + 𝟕 + 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 > 0, ∀𝑥𝜖 [
4
5
; 5], nên PT (d) vô nghiệm. 
KL: Vậy hệ đã cho có nghiệm là: (1; 2) và (4; 5)  
Bài 5: {
𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝒚 + (𝒚 + 𝟒)√𝒚 + 𝟏 (𝟏)
𝟑𝒚√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝒙𝟑 − 𝒚 − 𝟏) (𝟐)
( Trích đề thi thử lần 1 – năm 2016 – THPT NGÔ SĨ LIÊN-BẮC GIANG) 
Phân tích đề: 
Lại một câu hệ, nhìn mà nản nhưng thực ra chả có gì phải nản cả vì ta đã có một công cụ hữu 
dụng đó là máy tính casio fx-570ES PLUS (cái này phổ biến hơn cả). Bước đầu của chúng ta 
là gì nhỉ? Là tìm đkxđ như tôi đãbảo là sống chết gì cũng phải tìm đkxđ. 
ĐKXĐ: 𝒙 ≥
−𝟏
𝟐
, 𝒚 ≥ −𝟏 
Tiếp theo là xét PT (1) nhé, nào các bạn đoán xem PT (1) có nhân tử chung là gì nào? Thôi 
đoán mò đoán meo làm gì chi bằng chúng ta bắt tay vào tìm nhân tử chung bằng cách sử 
dụng máy tính cầm tay. Tương tự như các thí dụ trên tôi cho luôn bảng giá trị X và Y, các bạn 
nhớ thêm nhá là trong PT mà có biểu thức nào thì các bạn tính thêm giá trị của biểu thức đó 
theo X và Y: 
Y -1 0 1 2 3 8 
X 0 1 √2=1,414213562 √3=1,732050808 2 3 
√𝑌 + 1 0 1 √2 √3 2 3 
Đó như vậy là chúng ta đã biết nhân tử chung của PT (1) là X=√𝑌 + 1. Đơn giản quá đúng 
không các bạn chỉ với việc bấm bấm là chúng ta đã biết được nhân tử chung của PT (1). Bây 
ta chỉ việc đi tách PT (1) theo nhân tử đó là xong. Nhưng các bạn hãy để ý về PT (1), ta thấy 
2 vế, mỗi vế có các biến x và y độc lập. Do đó ta nghĩ ngay đến việc sử dụng phương pháp 
hàm số. Và PT (1) được khai thác như sau: 
(1)⇔ 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝒚 + (𝒚 + 𝟒)√𝒚 + 𝟏 
⇔ 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = (𝒚 + 𝟏) + [(𝒚 + 𝟏) + 𝟑]√𝒚 + 𝟏 − 𝟏 
CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT – BPT 
 https://www.facebook.com/nmc22297 
Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 21 
⇔ 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = (√𝒚 + 𝟏)
𝟑
+ (√𝒚 + 𝟏)
𝟐
+ 𝟑√𝒚 + 𝟏 − 𝟏 
⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑓(√𝒚 + 𝟏) 
Đó thế là ra hàm đặc trưng rồi các bạn nhé. Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕𝟐 + 𝟑𝒕 − 𝟏, có: 
𝒇′(𝒕) = 𝟑𝒕𝟐 + 𝟐𝒕 + 𝟑 = 𝟑 (𝒕𝟐 + 𝟐. 𝒕.
𝟏
𝟑
+
𝟏
𝟗
+
𝟖
𝟗
) = 𝟑 (𝒕 +
𝟏
𝟑
)
𝟐
+
𝟖
𝟑
> 𝟎, ∀𝒕𝝐𝑹 
⇒ Hàm số 𝑓(𝑡) luôn đồng biến trên R ⇒ 𝒙 = √𝒚 + 𝟏 ⇔ {
𝒙 ≥ 𝟎
𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟏
Thế là OK rồi bây ta thay vào PT (2) là xong: 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐) (𝟑) 
Việc tiếp theo của chúng ta là đi tìm xem PT (3) có bao nhiêu nghiệm để rồi từ đó ta sẽ xác 
địng PT (3) theo các nghiệm đó. Khoan đã các để ý xem nhá ở PT (3) cả 2 vế đều chung nhân 
tử là (𝒙 − 𝟏). Vậy nên ta sẽ khai thác (3) theo nhân tử đó đã nhá. 
(3) ⇔ 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐) 
⇔ 𝟑(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐(𝒙 − 𝟏) 
⇔
𝒙 = 𝟏(𝒕𝒎đ𝒌 𝒙 ≥ 𝟎) ⇒ 𝒚 = 𝟎(𝒕𝒎đ𝒌𝒙đ)
𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐 (𝟒)
Bây giờ chúng ta mới đi giải (4) cho nhẹ nhàng. Nào các bạn hãy dùng máy tính casio để xem 
PT này có mấy nghiệm. Quy trình bấm máy như sau: 
Nhập biểu thức vào máy tính: 
𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 
Bấm SHIET CALC, máy hỏi các bạn cho X bằng mấy thì các 
bạn cho X=9 và ấn =. Sau đó màn hình máy hiện lên như 
bên phải tức là X=-0,464101615 là một nghiệm của PT 
(4). 
Tiếp theo các bạn gán nghiệm vừa tìm được cho A bằng 
cách bấm SHIFT STO (-) 
CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT – BPT 
 https://www.facebook.com/nmc22297 
Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 22 
Tiếp theo các bạn nhập biểu thức này vào máy: 
(𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟐𝒙𝟐): (𝒙 − 𝑨), có nghĩa là các bạn 
chia nghiệm X=A của PT đi để xem PT (4) có còn nghiệm 
nữa không. 
Bấm SHIFT CALC, máy lại hỏi các bạn cho giá trị A bằng như 
thế không thì các bạn ấn = và máy hỏi cho X bằng bao nhiêu 
thì các bạn ấn luôn =( lấy luôn giá trị đó). Sau đó máy hiện 
kết quả như hình bên tức là X=6,464101615 là một 
nghiệm nữa của PT (4) 
Tiếp tục gán nghiệm X=6,464101615 cho biến B trong 
máy bằng cách bấm SHIFT STO °''' 
Tiếp theo các bạn nhập biểu thức này vào máy: 
(𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟐𝒙𝟐): (𝒙 − 𝑨)(𝒙 − 𝑩), có nghĩa là các 
bạn chia tiếp nghiệm X=B của PT đi để xem PT (4) có còn 
nghiệm nữa không. 
Bấm SHIFT CALC thì máy hỏi cho giá trị A, B, X bằng như 
thế không thì các bạn ấn luôn dấu =( trừ với X thì các bạn 
có thể thay nhưng A, B thì không thay được vì nó đã cố 
định nghiệm). Sau đó máy hiện như hình bên tức là PT (4) 
đã hết nghiệm 
Như vậy đến đây ta cũng tạm kết luận rằng PT (4) có 2 nghiệm là A,B với A,B là 2 nghiệm lẻ 
đó. Đó đến đây thì các bạn thấy ghê ghê vì 2 nghiệm này lẻ quá không biết làm thế nào. Các 
bạn đừng lo chúng ta sẽ sử dụng Định lý Vi-ét để khai thác 2 nghiệm lẻ đó xem 2 nghiệm lẻ 
đó là nghiệm của 1 PT bậc 2 nào. Ta thấy {
𝐴 + 𝐵 = 6
𝐴. 𝐵 = −3
 do đó A và B là nghiệm của PT: 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎. 
Đó các bạn đã biết được 2 nghiệm lẻ kia là nghiêm của PT 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑 = 𝟎 và bây giờ ta sẽ 
tường ming 2 nghiệm kia ra nhé: 3 + 2√3 , 3 − 2√3 . Như vậy ta đã xác định được nhân tử 
chung và 2 nghiệm lẻ kia. Tiếp theo là chúng ta sẽ tìm biểu thức liên hợp của √𝟐𝒙 + 𝟏. Gọi 
biểu thức liên hợp của √𝟐𝒙 + 𝟏 là 𝒂𝒙 + 𝒃 nên {
𝒂. 𝑨 + 𝒃 = √𝟐𝑨 + 𝟏
𝒂. 𝑩 + 𝒃 = √𝟐𝑩 + 𝟏
⇔ {
𝒂 =
𝟏
𝟐
𝒃 =
𝟏
𝟐
 . Do đó ta sẽ 
có: (
𝒙
𝟐
+
𝟏
𝟐
) − √𝟐𝒙 + 𝟏 =
𝟏
𝟐
[(𝒙 + 𝟏) − 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟏] =
𝟏
𝟐
(
𝒙𝟐−𝟔𝒙−𝟑
(𝒙+𝟏)+𝟐√𝟐𝒙+𝟏
). Thế à OK rồi nhỉ đi khai 
thác PT (4) theo nó thôi. 
(4)⇔ 𝟑(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙𝟐 
CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT – BPT 
 https://www.facebook.com/nmc22297 
Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 23 
⇔ 𝟒𝒙𝟐 − 𝟔(𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 
⇔ 𝟒𝒙𝟐 − 𝟑(𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟑(𝒙 + 𝟏)[(𝒙 + �