Bất đẳng thức trong đề đại học

 dấu bằng của nó. 
Dấu = xảy ra khi 
x y
a b
 
February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Từ đây ta sẽ có 
2 2
2 2 2 21 1 1 1 1( ) 4 4 4 4 1
2 2
b a
P a c b c a b c a b c c
a b c c c c c
     
                      
    
Dấu bằng xảy ra khi 
1
, 1
2
c a b   
Câu 3: (diendantoanhoc.net) Cho ,x y và z thực dương thỏa mãn 2 2 26 4 ( )x y z z x y    . Tim giá trị nhỏ 
nhất của 
   
2 23 3
2 2
x yx y
P
zy x z x y z

  
 
Hướng đi: Qua hai câu trên, chắc chắn các bạn đã dự đoán được x y 
Từ giả thiết suy ra ( )( 3 ) 0x z x z   . Đến đây ta sẽ thử 2 trường hợp x y z  và 3x y z  lần lượt vào P. 
Thấy khi x y z  thì P có giá trị nhỏ hơn. Vậy dấu bằng khi x y z  
Giải: Để ý thấy đây là BĐT là thuần nhất (có nghĩa là đồng bậc) nên ta sẽ sử dụng phép đặt như sau: 
Đặt ,
x y
a b
z z
  (từ đây hướng đi của chúng ta đều quy về 1a b  ) 
 
22 22 2
2 2 2
2 2
1
4( ) 6 64 4
6 4 ( ) 6 0 2
4( ) 2 6
a b a b a bx y x y
x y z z x y
z z z z
a b ab

      
           
   
2a b   và 2( ) 3a b ab   
       
2 23 3 3 3
2 2
2 2 2 2
1 1
x yx y a b
P a b
zy x z x y z b a a b

      
   
Đến đây, ta thấy sự tương quan giữa 
 
3
2
1
a
b a 
 và 
 
3
2
1
b
a b 
. Nhiệm vụ bây giờ của chúng ta là khử mẫu hoặc 
làm cho chúng cùng chung mẫu số. Bây giờ ta 2 chia ra hai hướng. 
Hướng 1: Khử mẫu. 
Ta thấy ở tử là bậc ba, điều đó liên tưởng cho ta cauchy 3 số. Và ta có thể khử theo hai cách như sau: 
 Cách 1.1: 
Ta có 
 
3
2
1 3
8 8 41
a a ab b a
b a
 
  

(lưu ý khi 1a b  thì 
 
3
2
1 1
8 8 41
a a ab b
b a
 
  

nên ta chọn như 
thế). 
February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 
Email: smart.mst@gmail.com 
Tương tự 
 
3
2
1 3
8 8 41
b b ab a b
a b
 
  

   
 3 3
2 2
2( ) 2( ) 3 12( ) 1 1
4 4 21 1
a b a ba b a b ab
b a a b
      
    
 
Suy ra 2 2
1 1 1
2
2 2 22
a b
P a b

       
Cách 1.2: Ta có 
 
 
3 2
2
3 2
2
2 1 3
;
4 16 41
2 1 3
4 16 41
a b a a a
b a
b a b b b
a b
 
  

 
  

   
   
3 3
2 2
2 2
3 1 1 3 1 1 1 1 1
( ) ( ) 4 4 6 ( )
8 16 8 8 16 8 8 4 21 1
a b
a b a b a b a b a b
b a a b
                
 
 Suy ra 2 2
1 1 1
2
2 2 22
a b
P a b

       
Hướng 2: Làm cho chúng cùng chung mẫu số 
   
3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 3 3
2 2 54( ) 27( )
2 ( 1)( 1) 2 (b 1)(b 1) (2 2 2) 4( 1)1 1
a b a b a b a b
b a a a a b a bb a a b
 
    
        
Mặt khác: 
3
3 3 2( )
27
a b
a b

  (BĐT này rất dễ dàng chứng minh bằng tương đương, nhưng bạn hãy thử chứng 
minh theo hướng khác nhé, mọi bài toán lớn đều cần 1 bài toán nhỏ thế này) 
   
3 33 3
3 3 2 1(3 3 ) (2 2 2)
4 4.27 27.4 27
a b a ba b a b
a b
    
      
Từ đó ta suy ra 
   
 
 
3
3 3
2 2 3
2 1
27.
127
21 1 4 1
a b
a b
b a a b a b
 
  
   
Suy ra 2 2
1 1 1
2
2 2 22
a b
P a b

       
February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 
Email: smart.mst@gmail.com 
Câu 4: (Boxmath) Cho ,a b và c là các số thực dương thỏa 3 ( )a a b c bc   . Tìm GTNN của 
b c
P
a

 
Hướng đi: Ta dự đoán b c . Khi đó,  23 ( 2 ) 3 2 3a a b b b a     
Vậy dấu bằng khi  3 2 3b c a   
Giải: Ta thấy đây là BĐT thuần nhất. Đặt ;
b c
x y
a a
  (từ đây ta sẽ xoay quanh 3 2 3x y   ) 
Theo giả thiết: 
 
2
3 3( ) 6 4 3
4
x y
x y xy x y

        
6 4 3P x y    
Dấu = khi  3 2 3 3 2 3x y b c a       
Câu 5: (THTT) Cho các số thực dương , ,x y z thỏa 2 2 2 1x y z   .Tìm GTNN của 
2 2
1 1 2 3
1
P
zx xy y xy
  
 
Hướng đi: Ta dự đoán dấu 2 22 1x y x z    .Thay vào P ta được 
2
2 2 3
11
P
zz
 

Giải: Theo giả thiết  0;1z 
     
2 2 22 2 2 24
4
1 1 2 3 2 2 3 2
1 1 2
4
P
z zx xy y xy x xy y xy x xy y
     
      
  22 2
2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3
( )
1 1 112
f z
x y z z zzx y
      
   
     
22 2
2 2 3 2 3
'( ) . 0
(1 ) 1 1 1 111 1
z z
f z
z z z z zzz z
 
     
        
   3 2 2 3 2 11 1 3 3 3 1 3 3 (2 1)(2 3 3) 0
2
z z z z z z z z z z z z z                  
February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 
Email: smart.mst@gmail.com 
Bảng biến thiên: 
Z 
0 
1
2
 1 
 Theo bảng biến thiên, 
8 3
3
MinP  . Dấu bằng xảy ra khi 
3 1
,
2 2
x y z   
f’(z) 0 
f(z) 2 2 3  
8 3
3
Lưu ý rằng sẽ nhiều bạn gặp khó khăn khi tìm 
21
2 2 3
lim
11x zz
 
   
. Để làm tốt đề thi THPT Quốc Gia, tôi biết 
các bạn sẽ phải chọn lọc những thứ cần học, và dĩ nhiên phần giới hạn lớp 11 sẽ bị bỏ qua, nên gặp những 
trường hợp thế này, các bạn cứ làm theo cảm tính, cứ tưởng tượng, z càng tiến tới 1 thì 
2
2
1 z
càng lớn. Nên 
ta cứ tự tin mà cho 
21
2 2 3
lim
11x zz
 
     
Câu 6: Cho các số thực không âm , ,a b c thỏa 1a b c   và không có hai số nào đồng thời bằng 0. Tìm GTNN: 
 
   
1 1
1 3
( )( ) (c )
P c a b
a b b c a a b
     
   
Hướng đi: Ta dự đoán dấu = khi a b khi đó 2 1a c  
Khi đó 
   
  
   
    22
1 1 4 4
1 2 3 1 4 3 4
2 2 1 1 1
P c a c c c c
a a c a a c c c c
            
    
Giải: Theo giả thiết  0;1c 
   
1 1 1
1 4
( ) (c )
P c c
a b b c a
 
        
 (thêm 1 lần nữa, ta thấy được sức mạnh của Schwarz) 
2 21 4 1 4. 3 4 . 3 4
1 2 1 1
c c c c
c a b c c c
       
    
2
2
4
3 4 ( )
1
c c f c
c
    

 
 
   22
8
' 2 1 1 0 0;1
1
c
f c c c
c
      

Suy ra hàm số nghịch biến trên      0;1 0 8f c f   
February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 
Email: smart.mst@gmail.com 
Vậy 8MinP  khi 
1
, 0
2
a b c   
Câu 7: (nguoithay.vn) Cho các số thực dương , ,x y z thỏa 2 2 25( ) 9( 2 )x y z xy yz zx     . Tìm GTLN của 
 
32 2
1x
P
y z x y z
 
  
Hướng đi: Dự đoán y z . Khi đó    2 2 25 2 18 4x y xy y x y     
Do đó 
3
2 1
216.
P
y y
  . Khảo sát hàm số này ta thấy Pmax khi 
1
12
y  
Vậy dấu = khi 
1 1
,
3 12
x y z   
Giải: Từ giả thiết, ta sẽ hướng đến các đại lượng đối xứng ( yz hoặc y z hoặc 2 2y z ) 
     22 2 2 2 2 25( ) 9( 2 ) 9 5 5 18 2x y z xy yz zx x y z x y z yz y z              
 
2 22 9 ( ) 5 0y z x y z x      (đây là bất phương trình đẳng cấp) 
 2 y z x   
Đó là những gì ta có được từ giả thiết, và ta không thể quy về ẩn x để khảo sát hàm số. Do đó ta sẽ quy về 1 ẩn 
khác. Và chìa khóa chính là ẩn y z 
 
 
     
3
3 2 3 32 2
21 1 4 1 1
4 ( ), 0
2727 27
2
y zx t
P t f t t
y z y z y zx y z y z y z y z

          
      
2
'( ) 4 0 6
9
t
f t t     
Bảng biến thiên 
T 0 6  
 Theo bảng biến thiên, 
 16MaxP  . Dấu bằng xảy ra khi 
1 1
,
12 3
y z x   
f’(t) 0 
f(t) 
0  
16 
February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 
Email: smart.mst@gmail.com 
Câu 8: (toanhoc24h) Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn  
2
4ac b a b c    . Tìm GTNN của 
 
 
22 2
2
8 8 11 a c bb
P
a c a b c
  
 
  
Thoạt nhìn biểu thức của P thật phức tạp, nhưng hãy nhìn kĩ, các biểu thức sẽ phân ra 2 phần, 1 phần đối xứng 
gồm (a,c). Và 1 phần không đối xứng gồm b. Nên các bạn đừng quá lo lắng. Cốt lõi bài toán sẽ nằm ở những thứ 
đó. 
Hướng đi: Ta tiếp tục dự đoán như những bài trên a c . Và các bạn hãy làm thử các bước tiếp theo. Tôi tin tới 
đây các bạn đã có thể vạch ra hướng đi trong đầu mà không cần ghi ra hướng đi trên nháp. 
Giải:      
2 2 22 2 ( ) 4 2( ) 1a b c b b a c a c ac b a c b b a c                (bước này tương tự các 
câu trên, ta sẽ quy các biểu thức về ac hoặc a c hoặc 2 2a c . Và bạn đừng ngại, cứ thử hết 3 cái đó, thế nào 
cũng có cái gọn nhất) 
Và để ý 1 tí ta sẽ cần thứ này 2( ) 1a b c b    
Đến biểu thức P: 
 
 
   
 
 
 
2 2 2 22 2
2 2 2
8 8 1 4 1 8 11 2 2 2 2
4.
1 11 1
a c b a c b bb b b
P
a c b ba b c b b
        
     
     
Đặt 
1
1
b
t
b



 (cái này khó mà tìm điều kiện chặt của t, nhưng ta chỉ cần điều kiện t>0 là đủ) 
2 2( ) 8P f t t
t
   
2
2 1
'( ) 16 0
2
f t t t
t
     
Bảng biến thiên: 
T 
0 
1
2
  
 Theo bảng biến thiên, 
 6MinP  . Dấu bằng xảy ra khi 
1 1 1
,
2 3 6
t b a c     
f’(t) 0 
f(t) 
  
6 
February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 
Email: smart.mst@gmail.com 
Câu 9: (nguoithay.vn) Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn   2 4a b b c bc   và 3a c Tìm GTNN 
của 
2 22a b
P
ac

 
Hướng đi: Như những định hướng ở các bài trước, ta sẽ đoán được b c . Và bài này còn dễ hơn các bài trước 
là có thêm dữ kiện 3a c nên ta có thể giữ niềm tin dấu bằng sẽ xảy ra khi 3a b c  
Nhìn vào giả thiết và cả biểu thức P ta đều nghĩ tới phép đặt ẩn phụ ,
a b
x y
c c
  . 
Giải: Từ giả thiết ta có 
1
3
a
c
 
  2 4 2 1 4 2 2
a b c a a b
a b b c bc
c c b c b c
  
            
  
Đặt ,
a b
x y
c c
  
1
3
x  
Và 
22 2 1 1 1
2 2
1 3 3 2
x y y
x y x y
y y

        

     2 2 22 2 2
2 2
3 2 32 1 12 2 2
( )
1 1 1 1
y y yy y y yy y y y y
P x f y
x y y y y
    
      
   
 Đến đây đạo hàm hơi vất vả. 
    
 
     
 
22 2 22 2 2 2
2 22 2
1 3 1 2 2 2 3 2 31 9 4 3 2 3 2 3 1 1
'( ) 0 ;
3 21 1
y y y y y yy y y y y y
f y y
y y
                      
Vậy ( )f y đồng biến trên 
1 1 1
; ( ) 1
3 2 3
y f y f
   
        
Dấu bằng khi 
1 1
3 3 3
c
y x a b      
Từ đây, ta thấy hướng của ta đã vạch ra là không đúng, đây là một bài toán khá hay, cho ta thấy được sự bất 
biến của BĐT, bây giờ cũng đề bài trên, các bạn hãy thử tìm GTLN xem! 
Câu 10: (ĐH Vinh) Cho các số thực dương , ,x y z thỏa  2 2 2 2 3x y z xy x y z      . Tìm GTNN của 
20 20
2
P x y z
x z y
    
 
February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 
Email: smart.mst@gmail.com 
Hướng đi: Bài này thực sự là 1 bài khá khó, đây không phải BĐT nửa đối xứng, và ta khó mà đoán được điểm 
rơi của nó. Nhưng khó chứ không phải là không thể. Để ý kĩ, ta sẽ thấy sự xuất hiện của 2 biểu thức 
1
x z
và 
1
2y 
. Điều này giúp ta liên tưởng đến việc khử mẫu và rất để ý thấy, hệ số của chúng đều là 20, nên rất có 
thể chúng bằng nhau. 
Khi chúng bằng nhau thì  2 2 2 2 22 2 3 2 1 0x z y x y z xy x y z x y x y                
Và 
40
2( ) 2P x z
x z
   

. Khảo sát hàm số này thì hàm số sẽ có GTNN là 26 và 4x z  
2 2
4
2 1; 2; 3
2 1 0
x z
x z y x y z
x y x y
  

       
     
Từ đó ta đã biết được điểm rơi của BĐT. 
Giải:    
22 2 2 23 2x y z x y z xy x y z         (dễ thấy x y z  nên ta làm tiếp) 
 
2
2
x y z 
 6x y z    
  
 
4
20 20 40 40 2
2 2
2 22
P x y z x y z x y z
x z y x y zx z y
              
     
Đến đây thì đã đơn giản, có nhiều cách sử lí, và tôi sẽ chọn cách gần gũi với các bạn nhất. 
Đặt 2 2 2t x y z     
  2
40 2
2P f t t
t
     
 
3
2 2
40 2 2 40 2
'( ) 2 0 2 2
t
f t t t f t
t t

       nghịch biến trên  2;2 2 
Vậy    2 2 26f t f  . 
Vậy 26MinP  khi 1; 2;z 3x y   
Các bạn hãy làm thử bài này: 
February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 
Email: smart.mst@gmail.com 
(moon.vn) Cho các số thực dương , ,x y z thỏa  2 2 2 2 3x y z xy x y z      . Tìm GTNN của 
54 54
7 5
P x y z
y z x
    
  
Câu 11: (Tilado.edu.vn) Cho , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn 0xy yz zx   và 2 3x xy yz zx   . 
Tìm GTNN của 
16 25x y z
P
y z z x x y
  
  
Hướng đi: Thoạt nhìn, ta thấy đây là bất đăng thức thuần nhất, vì thế không cần suy nghĩ nhiều, ta sẽ dùng 
phép đặt ẩn phụ. 
Giải: 0x  : 2 3 0 0x xy yz zx yz xy yz zx         (vô lí) 
Vậy 0x  
Đặt ;
y z
a b
x x
  (các bạn có thể đặt khác tôi), 0a  
2
2
3 1 1
3 1 3 1 3
1 3
y yz z b
x xy yz zx a ab b a b
x x x b

               

 
 
 
22
16 3 1 25 116 25 1 16 25 1
1 1 4 1 41
b bx y z a b b
P
y z z x x y a b b a b b b
 
        
        
Đến đây ta sẽ xét hàm  f b , nhưng thực phức tạp để đạo hàm, ta hãy dự đoán dấu bằng. Ở trên kia ta đã thấy 
1
3
b  nên ta hãy thử với 
1
3
b  thì khi đó 
34
3
P  
 
 
   
 
2 22 2
1
25
16 3 1 25 1 16 3 11 1 343
3
4 1 4 4 1 4 31 1
b
b b bb b
P
b b b bb b
 
               
     
 
 
 
 
 
2 22 2
16 3 1 25 3 11 34 16 4 25 34
3 3 1
4 1 12 3 4 1 12 31 1
b bb b
b
b b b bb b
    
           
        
 
   
4 3 2
2 2
25 138 320 710 265 34 34
3 1
3 312 1 4 1
b b b b
b
b b b
   
   
  
 (vì 4 3 2
1
25 138 320 710 265 0
3
b b b b b       ) 
February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 
Email: smart.mst@gmail.com 
Vậy 
34
3
MaxP  khi 
1
, 0 0, 3
3
b a y x z     
Bài toán này đòi hỏi sự biến đổi cẩn thận, các bạn hãy thử theo con đường khảo sát hàm số xem. Biết đâu sẽ 
nhanh hơn. 
Câu 12: (THTT) Cho các số dương , ,a b c thỏa 2 2 2 14a b c   . Tìm GTLN của 
 
 
22 2 2
4 4 5 3
3 28 7 ( )
a c a
P
a c a bc a b ca b

   
    
Hướng đi: Bài toán này tôi đánh giá rất khó, để tạo ra bài toán này, chắc hẳn tác giả phải tạo ra điểm rơi trước 
rồi mới nêu lên ý tưởng. Còn đối với chúng ta, điểm rơi vẫn còn là dấu chấm hỏi. 
Nhận xét thấy các biểu thức trong P được chia thành hai nhóm là 
+Nhóm 1: 
2
4 3
7 ( )
a
a bc a b c

  
có chứa cả 3 biến , ,a b c 
+Nhóm 2: 
 
 
22 2
4 5
3 28
a c
a c a b


  
chỉ chứa 2 biến số 
Ta sẽ xử lý nhóm 1 trước. Bây giờ, ta lồng ghép giả thiết vào P xem thử thế nào. Để ý ta sẽ thấy 
 
2
3 12
( )a b c a b c

  
. Dấu = xảy ra khi a b c  
 
22 2 2 2 2
4 8 8
7 3 2 3
a a a
a bc a bc b c a b c
 
      
Như các bài trên, ta cần đưa chúng về cùng dạng mẫu số với biểu thức 
 
2
12
a b c 
và phải chú ý a b c  nên 
ta làm như sau: 
     
2 222 2 2
8 8 8 4
2 23 2
a a a
a a b c a b ca b c a a b c
  
        
 
Vì ta chia thành 2 nhóm nên đồng nghĩa với việc ta sẽ biến đổi P thành hai hàm số độc lập (kiểu như
   P f x g y  ) nên ta cần tìm lần lượt GTLN của các hàm số thành phần. 
Ta sẽ tìm GTLN của 
 
2
22
4 3 4 12 1 1 1 1
12
7 ( ) 6 3 3
a
a bc a b c a b c a b ca b c
 
        
        
February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 
Email: smart.mst@gmail.com 
Tới đây, ta đã ép bài toán vào dấu = khi 
2 2 2
3
6 2
114
a b c a
a b c b
ca b c
   
 
     
     
. Giờ ta sẽ đi giải quyết bài toán. 
Giải: Ta có 
 
2
3 12
( )a b c a b c

  
 và 
     
2 222 2 2
8 8 8 4
2 23 2
a a a
a a b c a b ca b c a a b c
  
        
 
Suy ra 
 
2
22
4 3 4 12 1 1 1 1
12
7 ( ) 6 3 3
a
a bc a b c a b c a b ca b c
 
        
        
Tiếp tục, ta lại có: 
   
 
 
 
2 2
22 2
4 4 4
33 13 28 281 3 28
44 3
a c a c a c
a c a ca c
  
 
        
 
(bunhiacopsky) 
 
1 6
25 25
a c   . (Đây là BĐT tiếp tuyến). 
 
 2
5 2 3
25 5
a b
a b
   

. (Tiếp tục ta sử dụng BĐT tiếp tuyến. Để biết thêm về BĐT tiếp tuyến, các bạn xem 
 ) 
Từ đó ta có 
 
 
  2 2 2 2 2 2
22 2
3 2 14 5 3 2 9 9 1
3 28 25 25 25 25 5
a b ca c a b c
a c a b
     
     
  
Vậy 
8
15
MaxP  khi 3, 2, 1a b c   
Câu 13: (ĐH Vinh) Cho , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn    2 2 25 6x y z xy yz zx     . Tìm GTLN 
của    2 22P x y z y z     
Hướng đi: Ta dự đoán y z . Khi đó    2 2 2
2
5 6 5
2
x y
x y z xy yz zx
x y

     


Khi 
2
5
x y thì 2
25
2 3
2
P x x  (khảo sát ta thấy ra xấu nên ta cứ cho là nó sai đi :3 ) 
February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 
Email: smart.mst@gmail.com 
Khi 2x y thì 
2
2
2
x
P x  Khảo sát hàm số này thì được 
3
min
2
P  khi 
1
1;
2
x y z   
Giải: 
             
2 2
22 2 2 2 255 6 6 5 5 6 6 5 6 0
4 2
y z y z
x yz x y z y z x x y z x x y z y z
 
               
        
225 5 0 5 0x x y z y z x y z x y z x y z                  
5x y z x    
     
   
22
2 2
12
2 1 1
2 2 2
y z x y zy zx y z
P x y z y z
                    
Vậy 1MaxP  khi 
1
1;
2
x y z   . 
Bài này vẫn còn rất nhiều cách khác, cách bạn hãy thử tìm 1 lời giải khác cho bài này nhé! 
Câu 14: (moon.vn) Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 
2 2 2
1 2 2
c a b
  . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
2 2 2
a b c
P
b c a c a b c
  
   
Hướng đi: Bài toán rất đơn giản để ta có thể đoán được 2a b c  
Và hướng đi chắc chắn phải là đặt ẩn phụ. 
Giải: 
2
2 2 2
1 2 2 1 1 1 1 1
c a b a b c a b
 
       
 
Đặt 
 
2
1 1
; 1 4
4
x ya b
x y x y xy x y
c c x y

            
Ta lại có 
 
 
2
22 2 2 2
2 4
2 1 1 1
4
xy xy xy
x y
x y xy x y xy xy x y xy
   

 
            

February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 
Email: smart.mst@gmail.com 
Và 
2 2 2 2 2 2 2
1 1
1 1 2
1 1 1 11 1
a b c x y x y
P
b c a c y x y xa b c x y x y
   
              
            
 
 
 
 
2 2
4 11 1 4 4
1 2 2
1 1 24 4
x y
x y
x y x yx y x y
  
         
       
Đặt   2
4 4 4
4 2
2 4
t
t x y P f t
t t

       
 
   
 
 
 
 
2
2 2 2 22 2 2
4 3 1 4 3 41 2
'( ) 4. 0 4
2 4 4 4
t t t tt
f t t
t t t t
     
       
     
   
5
4
3
f t f   
Dấu = khi 2 2x y a b c     
Sau đây là một số bài toán mà tôi thấy hay và đáng làm: 
(toanhoc24h.blogspot.com) – trích trong đề thi thử của thầy Khải. Đây là người thầy mà tôi rất kính trọng. 
Trong thầy tôi thấy được sự đam mê 
Câu 1: Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn 4 4x y z   . Tìm GTNN: 
2 2
2 4 2
z x y z
P z y z
x y
     

Câu 2: : Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn 3 2 3x y z   . Tìm GTLN:
2 2
292 3
1
x y
P z z
xy

   

Câu 3: Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2a bc b c   . Tìm GTLN: 
 
3
62 2 2 2
3b c a
P
a c a b b c
 
  
Câu 4: Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn 3 7x y  . Tìm GTNN: 
2
2
2
1 2 3
1
x xy
P x
y y xy

   

Câu 5: Cho , ,a b c là các số thực dương. Tìm GTNN: 
      
2 2 4
2 42
16a ab a
P
b ac c aa b c a
  
  
February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 
Email: smart.mst@gmail.com 
Câu