Bất đẳng thức

 ba bất đẳng thức trên, ta được đccm.
Chú ý: Một cách khác để chứng minh là dùng phương pháp biến đổi tương đương: nhân vào hai vế của bất đẳng thức với abc > 0. Ta có bất đẳng thức đã cho tương đương với:
(ab) + (bc) + (ca) ³ (ab).(ca) + (ab).(bc) + (bc).(ca) 
Bất đẳng thức này là một bất đẳng thức đúng (xem phần MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN)
V. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG
Đầu tiên, xin được nhắc lại đôi chút về phương pháp chứng minh phản chứng bằng ví dụ dưới đây.
Ví dụ. Có tồn tại các số thực a, b, c khác 0 và thỏa mãn a + b + c = 0 và
 + + = 0 hay không?
Giải: Ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng:
Giả sử tồn tại các số a, b, c thỏa mãn đề bài. Khi đó:
Từ + + = 0 Þ ab + bc + ca = 0 Þ ab = − c(a + b) = (−c).(−c) = c 
Tương tự bc = a, ca = b.
Suy ra a + b + c = ab + bc + ca Û a = b = c. Mà a + b + c = 0
Nên a = b = c = 0, trái với giả thiết a, b, c khác 0.
Do đó giả sử sai. Vậy không tồn tại các số thực a, b, c thỏa mãn đề bài.
Trở lại với bài học, chúng ta hãy cùng xét các ví dụ về chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chứng minh phản chứng sau đây.
VÍ DỤ 14. Với mọi số thực a, b, c chứng tỏ:
Giải: Giả sử 
Khi đó, ta có:
Điều này là vô lí vì x ³ 0 với mọi x Î R.
Do đó giả sử sai. Vậy 
VÍ DỤ 15. Cho a + b = 2. Chứng minh a + b £ 2.
Giải: Giả sử a + b > 2. Khi đó:
a + b > 2 Û (a + b) > 8 Û a + b + 3ab(a + b) > 8
Û 2 + 3ab(a + b) > 8 Û ab(a + b) > 2 Û ab(a + b) > a + b 
Û 0 > (a + b)(a − b) (vô lí vì a + b > 2 và (a − b) ³ 0 với mọi a, b)
Do đó giả sử sai. Vậy a + b £ 2.
Chú ý: Ta cũng có thể chứng minh bất đẳng thức trên một cách trực tiếp như sau:
Vì a + b > 0 nên a > − b Þ a > − b Þ a + b > 0
Suy ra (a + b)(a − b) ³ 0 Þ a + b ³ ab(a + b)
Þ 3(a + b) ³ 3ab(a + b) Þ 4(a + b) ³ (a + b) Þ a + b £ 2.
VI. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Phương pháp quy nạp toán học dành cho các bất đẳng thức mà ít nhất biểu thức ở một vế chứa biến lấy giá trị thuộc tập hợp số tự nhiên N.
VÍ DỤ 16. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ³ 3 thì ta có bất đẳng thức 2 > 2n + 1.
Giải: 
Với n = 3 thì 2 = 2 = 8, 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 Þ 2 > 2n + 1.
Mệnh đề đúng với n = 3.
Giả sử mệnh đề cũng đúng với n = k (k Î N, k ³ 3). Khi đó 2 > 2k + 1 
Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là 
2 > 2(k + 1) + 1. Thật vậy, 2 = 2.2 > 2.(2k + 1) (theo giả thiết quy nạp) 
Þ 2 > 4k + 2 > 2k + 3 = 2(k + 1) + 1 (vì k ³ 3)
Vậy mệnh đề đúng với mọi k ³ 3.
Kết luận: 2 > 2n + 1 với mọi n Î N, n ³ 3.
VÍ DỤ 17. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 2 thì n > n + 5 
Giải: Vì n > 2 nên n ³ 3.
Với n = 3 ta có n = 3 = 9, n + 5 = 3 + 5 = 8 Þ n > n + 5.
Mệnh đề đúng với n = 3.
Giả sử mệnh đề cũng đúng với n = k (k Î N, k ³ 3). Khi đó k > k + 5. 
Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là
(k + 1) > (k + 1) + 5. Thật vậy, ta có:
(k + 1) − [(k + 1) + 5] = k + 2k + 1 − k − 6 
 = k − (k + 5) + 2k > 0, theo giả thiết quy nạp
Do vậy mệnh đề đúng với mọi k ³ 3. 
Kết luận: n > n + 5 với mọi số nguyên dương n > 2 
Chú ý: Ta cũng có thể làm như sau:
n > 2 Þ n ³ 3 Þ n − 1 ³ 2 Þ n(n − 1) ³ 6 Þ n ³ n + 6 > n + 5
VII. PHƯƠNG PHÁP XÉT PHẦN TỬ ĐẠI DIỆN
Phương pháp này thường dùng cho việc chứng minh một bất đẳng thức có vế trái là một tổng gồm nhiều hạng tử mà mỗi hạng tử đều có một dạng chung. Ta có ví dụ:
VÍ DỤ 18. Chứng minh rằng: với n Î N, n ³ 2
Giải: 
Hiển nhiên S > 0 vì tổng của (n − 1) số dương là một số dương
Ta thấy các hạng tử của S đều có dạng với k là số tự nhiên từ 2 ® n
Xét 
Cho k nhận các giá trị từ 2 đến n ta có: 
Do đó 
VÍ DỤ 19. Cho n Î N*, chứng minh: 
Giải: Dễ dàng chứng tỏ S > 1.
Ta thấy các hạng tử của đều có dạng với k là số tự nhiên chạy từ 2 đến n.
Xét 
Cho k nhận các giá trị từ 2 đến n ta có: 
Cộng vế các bất đẳng thức trên với nhau và với = 1 ta có đccm.
Chú ý: Ta không thể cho k nhận giá trị bằng 1 vì k − 1 phải khác 0. Do đó chỉ có thể xétmà thôi!
B. BÀI TẬP THỰC HÀNH
Bài tập 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
 (a > b, ab > 0)
 (a ³ 0)
 (|a|, |b| < 1)
 (a, b ³ 0)
 (a, b, c > 0)
 (0 < a < b)
 (a + b + c = 1) 
 (a, b, c > 0)
 (a + b + c £ 8) 
 (a, b ³ 0)
 (a, b ≠ 0)
 (a, b ≠ 0)
 (a, b ³ 0)
 (a, b > 0)
 (a, b, c > 0)
 (a, b, c > 0)
 (a, b, c > 0)
 (a, b, c > 0)
 (a, b, c, d > 0)
 (a, b, c > 0)
 (a, b > 0)
 (0 < a, b, c < 1)
 (a, b > 2)
 (a + b = 2)
 (a + b + c = 3)
 (a, b ³ 0, a + b = 1) 
 (a, b ³ 0, a + b = 1) 
 (ab ³ 1)
 (a, b, c > 0, a + b + c = 1)
 (a, b, c > 0, + + ³ a + b + c) 
 (a, b > 0, a + b = a + b) 
 (a, b, c > 0)
 (a, b, c ³ 0, abc = 1)
 (a, b, c > 0, a + b + c = 1)
 (n Î N, n ³ 2)
 (n Î N*)
 (m, n Î N*)
 (n Î N, n ³ 2)
 (n Î N*)
Bài tập 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác ; p là nửa chu vi và S là diện tích tam giác đó. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
 (A, B, C là ba góc tương ứng với ba cạnh a, b, c của tam giác)
____________________________________________________________________
HẾT
CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
PHẦN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1-Đinh nghĩa
2.Các tính chất bất đẳng thức:
1.
6.
2.
7.
 n chẵn
3.
8.
 n chẵn
4.
9.
5.
10.
3.Một số hằng bất đẳng thức
1.
A 0 với A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 )
4.
 ( dÊu = x¶y ra khi A.B 0)
2.
 với (dấu = xảy ra khi A = 0 )
3.
 < A = 
5.
 ( dấu = xảy ra khi A.B 0)
4.Bất đẳng thức Cô-si:
 *ĐL:Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoắc bằng trung bình nhân của n số đó.
 ,( không âm ).
Dấu đẳng thức xảy ra khi .
 *Dạng đơn giản: .
3.Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki:
*Cho n cặp số bất kì , ta có:
Dấu “=” xảy ra khi .
*Dạng đơn giản; .
*Biến dạng:
4.Một số bất đẳng thức được áp dụng:
1.
10
2.
11
3.
;
12
4.
13
5.
;
14
6
 hay 
15
7
;
16
8
17
9
18
PHẦN II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN.
PHƯƠNG PHÁP 1 : DÙNG ĐỊNH NGHĨA
KIẾN THỨC : Để chứng minh A > B 
 Ta chứng minh A - B > 0
 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" M
 VÍ DỤ 1 " x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx
 b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz
 c) x + y + z+3 2 (x + y + z)
 Lấi giải: a) Ta xét hiệu x + y + z- xy – yz – zx = .2 .( x + y + z- xy – yz – zx) =
=đúng với mọi x;y;z Vì (x-y)2 0 với"x ; y do đó dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với"x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 0 với" z; y, dấu bằng xảy ra khi 
 Vậy x + y + z xy+ yz +zx, dấu bằng xảy ra khi x = y =z
 b)Ta xét hiệu: x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) đúng với mọi x;y;z. Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z .Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
 c) Ta xét hiệu: x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0. Dấu (=) xảy ra khi x = y = z = 1
VÍ DỤ 2: chứng minh rằng : a) ; b) 
c) Hãy tổng quát bài toán
Lấi giải: a) Ta xét hiệu: == 
 =. Vậy ; Dấu bằng xảy ra khi a = b.
b) Ta xét hiệu: =Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c) Tổng quát 
 Tóm lại các bước để chứng minh AB tho định nghĩa
 Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
 Bước 2:Biến đổi H= (C + D )hoặc H= (C + D )+.+ ( E + F )
 Bước 3:Kết luận A ³ B
VÍ DỤ Chứng minh "m,n,p,q ta đều có 
 m+ n+ p+ q+1 ³ m ( n + p + q + 1 )
 Lấi giải:
 (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi 
PHƯƠNG PHÁP 2 : DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
LƯU Ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
 Chú ý các hằng đẳng thức sau:
VÍ DỤ 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực chứng minh rằng:
 a) 
 b)
 c)
 Lấi giải: a) (bất đẳng thức này luôn đúng). Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2 a = b )
 b) 
 Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1.
 c) 
 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
VÍ DỤ 2: Chứng minh rằng: 
 Lấi giải: 
 a2 b2 ( a2 - b2) ( a6 - b6 ) 0 a2b2( a2 - b2 )2( a4+ a2b2+b4) 0
Bất đẳng thức cuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh. 
VÍ DỤ 3: cho x.y =1 và x.y ;Chứng minh .
Lấi giải: vì :xy nên x- y 0 x2+y2 ( x-y) x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
VÍ DỤ 4:
 1) CM: P(x,y)= 
 2) CM: (Gợi ý :bình PHƯƠNG 2 vế) 
 3) choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
 Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
 Lấi giải: 
 Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz()=x+y+z - ( (vì< x+y+z theo gt)
 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương.
Nếủ trưấng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trưấng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC
* MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HAY DÙNG
 1) Các bất đẳng thức phụ:
 a) 
 b) dấu ( = ) khi x = y = 0
 c) 
 d) 
 2)Bất đẳng thức Cô sy: Với 
 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski
 4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép:
 Nếu 
 Nếu Dấu bằng xảy ra khi
 VÍ DỤ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 8 a b c
 Lấi giải:
 Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
VÍ DỤ 2 1)Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 CMR: 
 2)Cho x, y,z > 0 và x +y + z = 1 CMR: x + 2y + z 
 3)Cho a > 0 , b > 0, c> 0 CMR: 
 4)Cho x,y thỏa mãn ;CMR: x +y 	 
VÍ DỤ 3: Cho a>b>c>0 và chứng minh rằng 
 Lấi giải: 
 Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc 
áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
 ==
 Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
VÍ DỤ 4: 
 Cho a, b, c, d > 0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
Lấi giải:
Ta có ; ; do abcd =1 nên cd = (dùng )
 Ta có (1) 
Mặt khác: =( ab + cd ) + ( ac + bd ) + ( bc + ad )
 =Vậy
VÍ DỤ 5: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
 Lấi giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 Ta có ac+bd
mà 
VÍ DỤ 6: Chứng minh rằng 
Lấi giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 
 3
 Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
PHƯƠNG PHÁP 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT BẮC CẦU
LƯU Ý: A>B và B>C thì A>C
 0< x <1 thì x<x
VÍ DỤ 1: 
 Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d
 Chứng minh rằng ab >ad+bc
 Giải:
 Tacó 
 ( a – c ) ( b – d ) > cd
 ab – ad – bc + cd > cd
 ab > ad + bc (điều phải chứng minh)
VÍ DỤ 2:
 Cho a,b,c > 0 thỏa mãn 
 Chứng minh 
 Giải: 
Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab - ac - bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có 
VÍ DỤ 3
 Cho 0 1- a – b – c - d	
 Giải:
 Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
 Do a>0 , b>0 nên ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
 Do c 0 ta có (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)=1-a-b-c-d+ad+bd+cd
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh)
VÍ DỤ 4
1- Cho 0 < a, b, c <1 . Chứng minh rằng
 Giải : 
 Do a 0 1+ > + b
 mà 0 , > ; Từ (1) và (2) 1+> + ; Vậy + < 1+
 Tương tự +
 +£ 
 Cộng các bất đẳng thức ta có :
 b)Chứng minh rằng : Nếu thì çac+bd ê=1998
 Giải:
Ta có (ac + bd) + (ad – bc ) = ac + b-=
= a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982, rỏ ràng (ac+bd)2 
 2-Bài tập : 1, Cho các số thực : a1; a2;a3 .;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + .+a2003 =1
 c hứng minh rằng : a+ ( đề thi vào chuyên nga pháp 2003- 2004Thanh hóa )
 2,Cho a;b;c thỏa mãn :a + b + c = 1 (?)
Chứng minh rằng: (
PHƯƠNG PHÁP 5: DÙNG TÍNH CHẤT CỦA TỶ SỐ
KIẾN THỨC
 1) Cho a, b ,c là các số dương thì
 a – Nếu thì b – Nếu thì 
 2)Nếu b,d >0 thì từ 
`
 VÍ DỤ 1 : Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng 
 Giải :
 Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
 (1) Mặt khác : (2)
 Từ (1) và (2) ta có 
 < < (3)
 Tương tự ta có (4) (5)
 (6) cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có điều phải chứng minh
VÍ DỤ 2 : Cho: 0 .Chứng minh rằng <
Giải: Từ < Vậy <điều phải chứng minh
VÍ DỤ 3 : Cho a;b;c;d là các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000, tìm giá trị lớn nhất của
GIẢI : Không mất tính tổng quát ta giả sử : Từ : vì a+b = c+d 
a, Nếu :b thì 999
b, Nếu: b=998 thì a=1 =Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999
Vậy giá trị lớn nhất của =999+khi a=d=1; c=b=999
PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI
LƯU Ý: 
 Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
 (*) PHƯƠNG pháp chung để tính tổng hữu hạn :
 S = 
 Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:
 Khi đó :
 S = 
 (*) PHƯƠNG pháp chung về tính tích hữu hạn
 P = 
 Biến đổi các số hạng về thương của hai số hạng liên tiếp nhau:
 = Khi đó P = 
 VÍ DỤ 1 :
 Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng 
 Giải: 
 Ta có với k = 1,2,3,,n-1
 Do đó: 
 VÍ DỤ 2 :
 Chứng minh rằng: Với n là số nguyên
 Giải : Ta có Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có
 1 > 2
 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
 VÍ DỤ 3 : Chứng minh rằng 
 Giải: Ta có 
 Cho k chạy từ 2 đến n ta có
 Vậy 
 PHƯƠNG PHÁP 7: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC
LƯU Ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a 
VÍ DỤ1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng 
a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
 Giải
a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có
 Þ 
 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 
 a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b) Ta có a > êb-c ï Þ > 0
 b > êa-c ï	Þ > 0
 c > êa-b ï	Þ 
 Nhân vế các bất đẳng thức ta được
VÍ DỤ2:
 1) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác
 Chứng minh rằng 
 2) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2
 Chứng minh rằng 
 PHƯƠNG PHÁP 8: ĐỔI BIẾN SỐ
VÍ DỤ1 Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng (1)
Giải :
Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= ; b = ; c =
ta có (1) 
 ( 
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( ; nên ta có điều phải chứng minh
 VÍ DỤ2: Cho a, b, c > 0 và a + b + c < 1
 Chứng minh rằng (1)
Giải:
Đặt x = ; y = ; z = Ta có 
 (1) Với x+y+z Theo bất đẳng thức Côsi ta có
 3. ; 3. .; Mà x+y+z < 1
 Vậy (đpcm)
VÍ DỤ3: Cho x , y thỏa mãn CMR 
 Gợi ý: Đặt , 2u-v =1 và S = x+y =v = 2u-1 thay vào tính S min
 Bài tập 1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0 CMR: 
 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 
 CMR 
PHƯƠNG PHÁP 9: DÙNG TAM THỨC BẬC HAI
LƯU Ý : Cho tam thức bậc hai 
 Nếu thì 
 Nếu thì 
 Nếu thì với hoặc ()
 với 
VÍ DỤ1: Chứng minh rằng (1)
 Giải: Ta có (1) 
 Vậy với mọi x, y
VÍ DỤ2: Chứng minh rằng 
Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
 Ta có Vì a = vậy (đpcm)
 PHƯƠNG PHÁP 10: DÙNG QUY NẠP TOÁN HỌC
KIẾN THỨC: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với ta thực hiện các bước sau :
 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với 
 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp )
 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)
 4 – kết luận BĐT đúng với mọi 
VÍ DỤ1:Chứng minh rằng (1)
 Giải :Với n =2 ta có (đúng)
 Vậy BĐT (1) đúng với n =2
 Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1
 Thật vậy khi n =k+1 thì
 (1) 
 Theo giả thiết quy nạp 
 k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng .Vậy bất đẳng thức (1)được chứng minh
VÍ DỤ2: Cho và a+b> 0 Chứng minh rằng (1)
Giải
 Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1
 Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1
 Thật vậy với n = k+1 ta có 
 (1) (2)
 Vế trái (2) 
 (3)
 Ta chứng minh (3) (+) Giả sử a b và giả thiết cho a -b a 
 (+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b 
 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)
PHƯƠNG PHÁP 11: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG
 LƯU Ý:
 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng
 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G K”
 phép toán mệnh đề cho ta :
 Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó .
 Ta thưấng dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :
 A - Dùng mệnh đề phản đảo : 
 B – Phủ định rôi suy trái giả thiết :
 C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng 
 D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau
 E – Phủ định rồi suy ra kết luận :
 VÍ DỤ 1:
 Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0
 Giải :
 Giả sử a 0 thì từ abc > 0 a 0 do đó a 0 và a < 0 cb < 0
 Từ ab+bc+ca > 0 a(b+c) > -bc > 0, Vì a 0 b + c < 0
 a 0, Vậy a > 0 tương tự ta có b > 0 , c > 0
 VÍ DỤ 2: Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện 
 ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:
 , 
 Giải :
 Giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng khi đó cộng các vế ta được, (1)
 Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2), Từ (1) và (2) hay (vô lý)
 Vậy trong 2 bất đẳng thức và có ít nhất một các bất đẳng thức sai
VÍ DỤ 3 Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng 
 Nếu x+y+z > thì có một trong ba số này lớn hơn 1
 Giải :
 Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1=x + y + z – () vì xyz = 1
 theo giả thiết x+y +z > nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0
 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dương
 Thật vậy nếu cả ba số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái giả thiết)
 Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)
 Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1
PHẦN II. BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài tập 1. (Sử dụng PHƯƠNG pháp làm trội).
Cho a,b,c là 3 số dương chứng minh rằng:
HD. *Ta luôn có: , cộng vế ví vế ta được;
 *Ta lại có: tương tự ta có: ,
Cộng vế với vế ta được: 
Bài tập 2. (Sử dụng PHƯƠNG pháp làm trội).
Chứng minh rằng với mọi n > 1 thì 
HD. Với n > 1 ta có , nên ta có:
Bài tập 3. (Sử dụng PHƯƠNG pháp làm trội).
Chứng minh các bất đẳng thức với n là các số tự nhiên.
a);
b) 
c) 
HD. a) 
Với n > 1 thì , với n = 0 thì . Vậy BĐT luôn đúng với n là số tự nhiên.
b) Với n > 1 ta có , nên ta có:
;
c)Với n = 0 thì 1 1ta có: , nên ta có:
Ta đi chứng minh ,
Vậy với n là số tự nhiên.
Bài tập 4. (Sử dụng tính chất hai biểu thức có tử thức bằng nhau BT nào có MT lớn hơn thì nhỏ hơn) 
a)Cho a > b > 0 Chứng minh rằng: ;
từ đó áp dụng so sánh giá trị các phân thức:
b);
c) 
HD. a) vì và .
b)
Vì hai BT có tử thức bằng nhau và .
c)Tương tự câu a.
Bài tập 5.( Sử dụng BĐT Cô Si)
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a);
b), với a,b,c dương;
c)
d)Với a, b, c là các số dương ta luôn có: ;
e) Với a, b, c là các số dương ta luôn có:.
HD. a) 
vì với mọi a,b,c.
b)Với a,b,c dương áp dung bất đẳng thức Cô Si ta có: .
c) 
 vì với mọi a,b.
d) Với a,b,c dương áp dung bất đẳng thức Cô Si ta có: 
 .
e)Đặt , ta có ,
ta có: 
ta có nên .
Bài tập 6.( Sử dụng BĐT Cô Si)
a) Cho , Chứng minh:;
b) Cho , Chứng minh:;
c) Cho , Chứng minh: .
HD. a)Với ta có
.
b) Với ta có: ,
Áp dụng BĐT Cô Si ta có: ,nên ta có:
;Vậy .
c) Với , nên ta có: 
vì .
Bài tập 7.( Sử dụng BĐT Cô Si)
Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn: Chứng minh:
a);
b) .
HD.a)Ta nhìn tổng a + 1 dưới tích 1.( a + 1 ) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si với x,y không âm ta được: 
,cộng từng vế của ba bất đẳng thức ta được:
b) áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki với hai bộ ba số 1 ta được:
Bài tập 8.( Sử dụng HĐT)
Cho,Chứng minh rằng: .
HD. Với , ta có: .
vì .
Bài tập 9.
Cho a, b, c là các số dương tuỳ ý.Chứng minh rằng:.
HD.Ta có 
 ,tương tự ta có: , cộng vế với vế ta được:
Bài tập 10. ( Sử dụng BĐT Cô-Si)
Cho a, b, c là các số dương.Chứng minh các bất đẳng thức:
a).
b) ;
c) .
HD.
a)áp dụng bất đẳng thức Cô-si: .Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
Cộng vế với vế ta được: 
.vậy 
b)Tương tự câu a) ta có: 
Cộng vế với vế ta được: 
.vậy .
c) Làm tương tự câu a, b.
Bài tập 11. ( Sử dụng BĐT Cô-Si)
Cho a, b, c là các số dương.Chứng min