Bài toán tổng hợp nâng cao và mở rộng về phân thức đại số

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Loading [MathJax]/jax/output/HTML‐CSS/jax.js
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
CÁC PHÉP TÍNH PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
RÚT GỌN PHÂN THỨC
1. Rút gọn phân thức
a.  A =
5.415.99 − 4.320.89
5.29619 − 7.229.276
b.  B =
35 278 + 2.911
15 816 − 12.319
Xem lời giải tại:
2. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y
a. 
(x + a)2 − x2
2x + a
b. 
x2 − y2
(x + y)(ax − ay)
c. 
2ax − 2x − 3y + 3ay
4ax + 6x + 9y + 6ay
Xem lời giải tại:
3. Chứng minh đẳng thức sau:
a. 
x2 + y2 − 1 − 2xy
x2 − y2 + 1 − 2x
=
x − y + 1
x + y − 1
b. 
x4 + 4
x x2 + 2 + 2x2 + (x + 1)2 + 1
=
x2 − 2x + 2
x + 1
Xem lời giải tại:
( )
( )
( )
4. Cho 
x
a
=
y
b
=
z
c
≠ 0. Rút gọn biểu thức 
x2 + y2 + z2 a2 + b2 + c2
(ax + by + cz)2
Xem lời giải tại:
5. Rút gọn các phân thức sau:
a. 
(m − n)3 − p3
m − n − p
b. 
4 − 4x2 − 9y2 − 12xy
2x + 2 + 3y
c. 
(2x + 3)2 + 2 4x2 − 9 + (2x − 3)2
(2x − 3)2 − 2 4x2 − 9 + (2x + 3)2
d. 
1
x
+
1
y
2
−
1
x
−
1
y
2
− xy
2 − xy
Xem lời giải tại:
6. Cho a > b > 0 và 3a2 + 3b2 = 10ab. Tính giá trị của P =
b − a
b + a
Xem lời giải tại:
7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 
Phân số P =
6 + 8n + 15n2
13 + 21n + 30n2
 là phân số tối giản.
Xem lời giải tại:
( )( )
( )
( )
( ) ( )
8. Rút gọn phân thức
A =
14 +
1
4
. 34 +
1
4
. 54 +
1
4
. . . 114 +
1
4
24 +
1
4
. 44 +
1
4
. 64 +
1
4
. . . 124 +
1
4
Xem lời giải tại:
9. So sánh
A =
2004 − 2003
2004 + 2003
 và B =
20042 − 20032
20042 + 20032
Xem lời giải tại:
10. Cho a, b, c là các số dương 
Chứng minh phân thức 
a3 + b3 + c3 − 3abc
a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca
 luôn dương 
Xem lời giải tại:
PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
11. Cho hai biểu thức : P =
4x2 + 4x + 1
(x + 3)(4 − x)
và Q = x4 − x +
x − 3
x3 + 1
.
(x3 − 2x2 + 2x − 1)(x + 1)
x9 + x7 − 3x2 − 3
+ 1 −
2(x + 6)
x2 + 1
a.  Tìm điều kiện của x để giá trị của các biểu thức P và Q cùng được xác định.
b.  Tính P. Q.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Xem lời giải tại:
12. Cho x, y, z ≠ − 1. Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc
vào giá trị của biến:
A =
xy + 2x + 1
xy + x + y + 1
+
yz + 2y + 1
yz + y + z + 1
+
zx + 2z + 1
zx + z + x + 1
.
Xem lời giải tại:
13. Chứng minh rằng : 
1
n(n + 1)
=
1
n
−
1
n + 1
.
Áp dụng tính chất trên, chứng minh rằng giá trị biểu thức A dưới đây nhỏ hơn 1
với mọi số nguyên dương n :
A =
1
1.2
+
1
2.3
+
1
3.4
+ . . . +
1
n(n + 1)
Xem lời giải tại:
14. Thực hiện phép tính:
1
1 − x
+
1
1 + x
+
2
1 + x2
+
4
1 + x4
+
8
1 + x8
+
16
1 + x16
Xem lời giải tại:
15. Chứng minh rằng nếu (a2 − bc)(b − abc) = (b2 − ac)(a − abc) và các số 
a, b, c, a − b khác 0 thì 
1
a
+
1
b
+
1
c
= a + b + c.
Xem lời giải tại:
16. Thực hiện phép tính:
A =
1
(x − y)(z2 + yz − x2 − xy)
−
1
(y − z)(x2 + xz − y2 + yz)
+
1
(z − x)(y2 + xy − z2 − xz)
Xem lời giải tại:
17. Tìm các hằng số a và b sao cho phân thức 
x − 6
x2 − 2x
 viết được thành : 
a
x
−
b
x − 2
Xem lời giải tại:
18. Chứng minh rằng nếu xy + yz + zx = 1 thì:
x
1 − x2
+
y
1 − y2
+
z
1 − z2
=
4xyz
(1 − x2)(1 − y2)(1 − z2)
Xem lời giải tại:
19. Cho abc = 1, tính giá trị biểu thức: P =
a
ab + a + 1
+
b
bc + b + 1
+
c
ca + c + 1
.
Xem lời giải tại:
PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
20. Tìm x biết:
a.  x :
a2 + a + 1
2a + 2
=
a + 1
a3 − 1
b. 
a2 + ab − 2b2
a4 − b4
. x =
a + b
a3 + a2b + ab2 + b3
Xem lời giải tại:
21. Cho A =
a4 − a2 + 2a + 2
a4 + a3 + a + 1
. Rút gọn rồi so sánh A và 0
Xem lời giải tại:
22. Thực hiện hợp lí phép tính sau:
a.  A =
x2 − 1
x
.
3x + 2
x + 1
−
2x + 1
x + 1
.
x2 − 1
x
b.  B =
x7 + x5 + 1
x3 − 1
.
x − 1
x + 2
.
x2 + x + 1
x7 + x5 + 1
c.  C =
x − y
y − 1
:
x − y
x − 1
.
x − 1
y − 1
Xem lời giải tại:
23. Tính giá trị của biểu thức :  x2 − y2 − z2 + 2yz :
x + y − z
x + y + z
 với x = 8, 6 ; y = 2
và z = 1, 4
Xem lời giải tại:
24. Rút gọn các phân thức sau:
a. 
a2. b2
a2 − 9b2
.
a + 3b
2ab
b. 
3a2
2b2c2
:
6b2
7c6
:
9ab
14c2
c. 
216x6
343y3
:
18x8
49y4
.
7x3
4y2
( )
Xem lời giải tại:
25. Rút gọn:
A =
52 − 1
32 − 1
:
92 − 1
72 − 1
:
132 − 1
112 − 1
. . . :
552 − 1
532 − 1
Xem lời giải tại:
26. Cho P =
a2
(a + b)(1 − b)
−
b2
(a + b)(1 + a)
−
a2b2
(1 + a)(1 − b)
(a ≠ − 1; b ≠ 1; a ≠ − b)
Rút gọn P rồi tìm cặp số nguyên (a; b) để P = − 3 
Xem lời giải tại:
27. Cho 
1
x
+
1
y
+
1
z
= 0. Tính S =
yz
x2
+
xz
y2
+
xy
z2
Xem lời giải tại:
BÀI TOÁN TỔNG HỢP, NÂNG CAO
BÀI TOÁN TỔNG HỢP
28. Cho biểu thức: A =
x
2x − 2
+
x2 + 1
2 − 2x2
a.  Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa
b.  Rút gọn A
c.  Tìm x để A = −
1
2
Xem lời giải tại:
29. Cho P =
x
x − 1
+
3
x + 1
−
6x − 4
x2 − 1
a.  Rút gọn P
b.  Tìm x ∈ Z để P ∈ Z
c.  Tính P tại x = 3
Xem lời giải tại:
30. Chứng minh các đẳng thức sau :
a. 
1, 5a − 4
0, 5a2 − a + 2
−
2a − 14
0, 5a3 + 4
+
1
a + 2
.
a + 2
4
= 1
b. 
b2 − 49
b2 − 14b + 49
4
:
b + 7
b − 7
4
= 1
Xem lời giải tại:
31. Chứng minh các đẳng thức sau:
( )
( ) ( )
a. 
x
ax − 2a2
−
2
x2 + x − 2ax − 2a
. 1 +
3x + x2
3 + x
=
1
a
b. 
x − y
2y − x
−
x2 + y2 + y − 2
x2 − xy − 2y2
:
4x4 + 4x2y + y2 − 4
x2 + y + xy + x
:
1
2x2 + y + 2
=
x + 1
2y − x
c. 
1
2x − y
+
3y
y2 − 4x2
−
2
2x + y
:
4x2 + y2
4x2 − y2
+ 1 = −
1
4x
Xem lời giải tại:
32. Tính giá trị các biểu thức sau :
a.  A =
9x5 − xy4 − 18x4y + 2y5
3x3y2 + xy4 − 6x2y3 − 2y5
biết x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ 2y;
x
y
=
2
3
b.  B =
x2 + 4y2 − 4x(y + 1) + 8y − 21
(7 + 2y − x)2 − (7 + 2y − x)(2x + 1 − 4y)
biết y ≠
1
7
; 2y ≠ − 7; 2y − x ≠ − 2;
7x
7y − 1
= 2
Xem lời giải tại:
33. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a.  C =
xy
4x2 − y2
 với 2x > y > 0; 4x2 + y2 = 5xy
b.  D =
2a − b
3a − b
+
5b − a
3a + b
 với b ≠ 3; 6a2 − 15ab + 5b2 = 0
Xem lời giải tại:
34. Tính giá trị các biểu thức sau
( )
( )
( ) ( )
a.  A =
x2 + y2 − (1 + 2xy)
x2 − y2 + 1 + 2x
 với x = 99 và y = 50
b.  B =
x2 − xy + y2
x − y
−
x2 + xy + y2
x + y
y − x +
x2
x + y
 với x = 999 và y = 1000
Xem lời giải tại:
35. Cho biểu thức 
B =
x2 + 2x
2x + 10
+
x − 5
x
+
50 − 5x
2x(x + 5)
a.  Rút gọn
b.  Tìm x để B = 1
c.  Tìm x để B > 3
Xem lời giải tại:
36. Cho B =
2 + a
2 − a
−
4a2
a2 − 4
−
2 − a
2 + a
.
a2 − 2a
2a2 − a
a.  Rút gọn B
b.  Tính B biết  | a– 5 | = 3
c.  Tìm các giá trị nguyên của a để B có giá trị nguyên.
Xem lời giải tại:
37. Chứng minh các đẳng thức:
a.  x −
4xy
x + y
+ y :
x
x + y
−
y
y − x
−
2xy
x2 − y2
= x − y
b. 
2x + 2y − z
3
2
+
2y + 2z − x
3
2
+
2z + 2x − y
3
2
= x2 + y2 + z2
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Xem lời giải tại:
38. Cho biểu thức: N =
2x − 10
x2 − 7x + 10
−
2x
x2 − 4
+
1
2 − x
a.  Tìm giá trị của x để N có giá trị xác định.
b.  Rút gọn N
c.  Tìm giá trị của x để N nguyên.
Xem lời giải tại:
39. Cho biểu thức: N =
x + 2
x2 + x + 1
−
2
x − 1
−
2x2 + 4
1 − x3
a.  Rút gọn N
b.  So sánh N và 
1
3
Xem lời giải tại:
40. Cho biểu thức: P =
x − 2
x2 − 1
−
x + 2
x2 + 2x + 1
.
1 − x2
2
2
a.  Rút gọn P
b.  Tìm giá trị của x để 
P − 4
5
= x
Xem lời giải tại:
41. Cho biểu thức: Q = 1 +
x + 1
x3 + 1
−
1
x − x2 − 1
−
2
x + 1
:
x3 − 2x2
x3 − x2 + x
a.  Rút gọn Q.
b.  Tính giá trị của Q biết  x −
3
4
=
5
4
( ) ( )
( )
| |
c.  Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên.
Xem lời giải tại:
42. Cho biểu thức B = 2 +
5
x2 − 1
+
x
1 − x
+
x
2x + 2
:
6
x2 − 1
 (x ≠ ± 1)
a.  Rút gọn B
b.  Chứng minh B > 0 ∀x ≠ ± 1
Xem lời giải tại:
43. Cho biểu thức: C = x −
4xy
x + y
+ y :
x
x + y
−
y
y − x
−
2xy
x2 − y2
a.  Rút gọn biểu thức C
b.  Cho C = 2. Hãy tính giá trị của biểu thức 
M = x2(x + 1) − y2(y − 1) − 3xy(x − y + 1) + xy
Xem lời giải tại:
44. Cho biểu thức : E = 1 +
2x3 + x2 − x
x3 − 1
−
2x − 1
x − 1
.
x2 − x
2x − 1
a.  Rút gọn biểu thức E.
b.  Tính giá trị của biểu thức E biết x2 + x − 6 = 0
c.  Chứng minh biểu thức E >
2
3
Xem lời giải tại:
45. Cho biểu thức:
D =
x2 − 3x
x2 − 9
− 1 :
9 − x2
x2 + x − 6
−
x − 3
2 − x
−
x − 2
x + 3
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
a.  Rút gọn biểu thức D
b.  Tính giá trị của biểu thức D biết x = − 4
c.  Tìm x để D = −
3
4
Xem lời giải tại:
46. Cho biểu thức: N =
a 1 − a2
2
1 + a2
:
1 − a3
1 − a
+ a
1 + a3
1 + a
− a
a.  Rút gọn N
b.  Tìm a để N = 0
Xem lời giải tại:
47. Cho biểu thức:
P =
2 + y
2 − y
+
4y2
y2 − 4
+
2 − y
2 + y
:
y2 − 3y
2y2 − y3
:
1
y − 3
a.  Rút gọn P
b.  Tính giá trị của biểu thức P khi y = −
1
2
c.  Với giá trị nào của y thì P > 0
Xem lời giải tại:
48. Cho hai biểu thức
A =
x2
x − 2
.
x2 + 4
x
− 4 + 3 
B =
(x + 2)2
x
. 1 −
x2
x + 2
−
x2 + 6x + 4
x
a.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
b.  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B
( ) [( )( )]
( )
( )
( )
Xem lời giải tại:
49. Biết x ≠ 0; y ≠ 0; z ≠ 0 và x + y + z = 0. Tính giá trị biểu thức :
P =
x − y
z
+
y − z
x
+
z − x
y
.
z
x − y
+
x
y − z
+
y
z − x
Xem lời giải tại:
50. Cho hai biểu thức:
P =
2(2x + 1)
x2 + 2
; Q =
2x2 − 4x + 17
x2 − 2x + 4
a.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
b.  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q
Xem lời giải tại:
51. Cho biểu thức A =
x2 − x + 1
x2 + x + 1
a.  Tìm GTLN của A
b.  Tìm GTNN của A
Xem lời giải tại:
52. Cho 
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
a + b + c
. Chứng minh: 
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
=
1
a3 + b3 + c3
Xem lời giải tại:
53. Cho 
a
b + c
+
b
c + a
+
c
a + b
= 1. Chứng minh rằng: 
a2
b + c
+
b2
c + a
+
c2
a + b
= 0
( ) ( )
Xem lời giải tại:
54. Cho a, b, c không đồng thời bằng 0 và a + b + c = 0
Rút gọn biểu thức: M =
a2
a2 − b2 − c2
+
b2
b2 − a2 − c2
+
c2
c2 − a2 − b2
Xem lời giải tại:
55. Cho a, b, c và x, y, z là các số khác 0, thỏa mãn điều kiện:
a + b + c = 0; x + y + z = 0;
x
a
+
y
b
+
z
c
= 0
Chứng minh rằng a2x + b2y + c2z = 0
Xem lời giải tại:
56. Cho biểu thức A =
x2 + x
x2 − 2x + 1
:
x + 1
x
−
1
1 − x
+
2 − x2
x2 − x
a.  Rút gọn
b.  Tìm x để A = −
1
2
c.  Tìm x đề A > 1.
d.  Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
Xem lời giải tại:
57. Chứng minh biểu thức A =
3
2
−
x
x2 + x + 1
 luôn dương với mọi giá trị của x
Xem lời giải tại:
( )
58. Cho biểu thức:
C =
(x − 1)2
3x + (x − 1)2
−
1 − 2x2 + 4x
x3 − 1
−
1
1 − x
:
2x
x3 + x
a.  Rút gọn biểu thức C
b.  Tìm giá trị của x để 4C = x + 8
Xem lời giải tại:
59. Cho biểu thức: P =
x − 1
x + 3
+
2
x − 3
+
x2 + 3
9 − x2
:
2x − 1
2x + 1
− 1
a.  Rút gọn và tìm điều kiện xác định P
b.  Tính giá trị của P biết |x + 1| =
1
2
c.  Tìm x để P =
x
2
d.  Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Xem lời giải tại:
60. Chứng minh rằng khi các biểu thức sau xác định thì nó không phụ thuộc vào
biến :
a.  A =
2ab
a2 − b2
+
a − b
2a + 2b
.
2a
a + b
+
b
b − a
b.  B =
y
x − y
−
x3 − xy2
x2 + y2
.
x
(x − y)2
−
y
x2 − y2
Xem lời giải tại:
BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ MỞ RỘNG
61. Cho dãy số a1; a2; a3. . .  sao cho: 
( )
( ) ( )
( )
( )
a2 =
a1 − 1
a1 + 1
; a3 =
a2 − 1
a2 + 1
; . . . ; an =
an−1 − 1
an−1 + 1
a.  Chứng minh rằng: a1 = a5
b.  Xác định năm số đầu của dãy, biết a101 = 3
Xem lời giải tại:
62. Tính giá trị biểu thức A, biết a + b + c = 0:
A =
a − b
c
+
b − c
a
+
c − a
b
.
c
a − b
+
a
b − c
+
b
c − a
Xem lời giải tại:
63. Cho a, b, c ≠ 0 thỏa mãn 
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
a + b + c
Chứng minh rằng 
1
a2015
+
1
b2015
+
1
c2015
=
1
a2015 + b2015 + c2015
Xem lời giải tại:
64. Rút gọn biểu thức
P =
14 + 4 54 + 4 94 + 4 . . . 214 + 4
34 + 4 74 + 4 114 + 4 . . . 234 + 4
Xem lời giải tại:
65. Cho a3 + b3 + c3 = 3abc và a , b , c ≠ 0. Tính giá trị của biểu thức :
( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
P =
a
b
+ 1
b
c
+ 1
c
a
+ 1
Xem lời giải tại:
66. Cho 
a
c
=
a − b
b − c
(a ≠ 0; c ≠ 0; a − b ≠ 0; b − c ≠ 0). 
Chứng minh rằng: 
1
a
+
1
a − b
=
1
b − c
−
1
c
Xem lời giải tại:
67. Biết 4a2 − 15ab + 3b2 = 0; b ≠ ± 4a. Tính giá trị biểu thức
T =
5a − b
4a − b
+
3b − 2a
4a + b
Xem lời giải tại:
68. Rút gọn biểu thức A :B biết: 
A =
n − 1
1
+
n − 2
2
+
n − 3
3
+ . . . +
2
n − 2
+
1
n − 1
B =
1
2
+
1
3
+
1
4
+ . . . +
1
n
Xem lời giải tại:
69. Cho 
x
x2 − x + 1
= a. Tính M =
x2
x4 + x2 + 1
 theo a 
( )( )( )
Xem lời giải tại:
70. Cho a; b; c ≠ 0 và 
(ax + by + cz)2
a2 + b2 + c2
= x2 + y2 + z2
Chứng minh rằng: 
x
a
=
y
b
=
z
c
Xem lời giải tại:
71. Chứng minh rằng với n ∈ N∗ , n < 100 thì: 
n
(n + 1)!
+
n
(n + 2)!
+
n
(n + 3)!
+ . . . +
n
100!
<
1
n !
Xem lời giải tại:
72. Tính tích P = 1 +
1
3
. 1 +
1
8
. 1 +
1
15
. . . 1 +
1
n2 + 2n
Xem lời giải tại:
73. Rút gọn biểu thức với n ≥ 2
A =
23 − 1
23 + 1
.
33 − 1
33 + 1
.
43 − 1
43 + 1
.
53 − 1
53 + 1
. . .
n3 − 1
n3 + 1
Xem lời giải tại:
( ) ( ) ( ) ( )
74. Cho 
ax + by = 5c (1)
by + cz = 5a (2)
cz + ax = 5b (3)
 và x ≠ − 5; y ≠ − 5; z ≠ − 5; a + b + c ≠ 0
Tính giá trị của biểu thức M =
1
x + 5
+
1
y + 5
+
1
z + 5
Xem lời giải tại:
75. Cho 
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=
x2 + y2 + z2
a2 + b2 + c2
 trong đó abc ≠ 0
Tính giá trị biểu thức: M = x1000 + y1000 + z1000
Xem lời giải tại:
76. Cho x =
b2 + c2 − a2
2bc
, y =
a2 − (b − c)2
(b + c)2 − a2
Tính giá trị biểu thức x + y + xy
Xem lời giải tại:
{