Bài toán nâng cao về phép nhân, phép chia đa thức

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN NÂNG CAO
CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
1. Chứng minh rằng biểu thức n(2n − 3) − 2n(n + 1) luôn chia hết cho 5 với 
n ∈ Z . 
Xem lời giải tại:
2. Tìm x, biết
a.  5x − 7(2x − 5) < 2(x − 1)
b.  6 − 7(x − 4) ≥ 3x + 2(3 − x)
c.  10x − 3(x − 5) > 3x − 2(x − 4)
Xem lời giải tại:
3. Tìm:
a.  Tìm các hệ số a, b, c biết rằng
3x2 a x2 − 2bx − 3c = 3x4 − 12x3 + 27x2 với mọi x.
b.  Tìm các hệ số m, n, p biết rằng
−3xk mx2 + nx + p = 3xk+2 − 12xk+1 + 3xk với mọi x.
Xem lời giải tại:
4. Cho a, b là các số nguyên. CMR
a.  Nếu 2a + b ⋮ 13 ; 5a − 4b ⋮ 13 thì a − 6b ⋮ 13
b.  Nếu 100a + 4b ⋮ 7 thì 4a + b ⋮ 7 
Xem lời giải tại:
5. Cho biểu thức: B = (x2 + 1)(y2 + 1) − (x + 4)(x − 4) − (y − 5)(y + 5)
( )
( )
a.  n2 chia cho 7 dư bao nhiêu? b.  n3 chia cho 7 dư bao nhiêu?
Chứng minh B ≥ 42 ∀x, y. Với giá trị nào của x; y thì B = 42.
Xem lời giải tại:
6. Tìm GTLN, GTNN.
a.  Tìm GTNN của f(x) = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
b.  Tìm GTLN của A = (1 − xn)(1 + xn) + (2 − yn)(2 + yn) (n ∈ N∗ )
Xem lời giải tại:
7. Chứng minh rằng:
a.  Nếu x; y ∈ N thì: A = (2x2 + x)(2y2 − y) − xy(4xy − 1) ⋮ 2
b.  Nếu x; y ∈ N và x + y ⋮ 13 thì: B = xn(x + 1) + xn(y − 1) ⋮ 13
Xem lời giải tại:
8. Chứng minh rằng nếu x; y ∈ Z thì:
M = (xy − 1)(x2015 + y2015) − (xy + 1)(x2015 − y2015) ⋮ 2
Xem lời giải tại:
9. Cho số tự nhiên n chia cho 7 dư 4. Hỏi:
Xem lời giải tại:
10. Rút gọn biểu thức
a.  A = x2 − 2x + 2 x2 − 2 x2 + 2x + 2 x2 + 2
b.  B = (x + 1)3 + (x − 1)3 + x3 − 3x(x + 1)(x − 1)
c.  C = 3 22 + 1 24 + 1 . . . 264 + 1 + 1
( )( )( )( )
( )( ) ( )
a.  A = 4x − x2 + 3 b.  B = − 9x2 + 12x − 15
c.  C = − 5 − (x − 1)(x + 2)
Xem lời giải tại:
11. CMR các bất đẳng thức sau thỏa mãn với mọi x, y:
a.  A = x2 + xy + y2 + 1 > 0
b.  B = x2 + 5y2 + 2x − 4xy − 10y + 14 > 0
c.  C = 5x2 + 10y2 − 6xy − 4x − 2y + 3 > 0
Xem lời giải tại:
12. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a.  A = x2 − 20x + 101
b.  B = 4a2 + 4a + 2
c.  C = x2 − 4xy + 5y2 + 10x − 22y + 28
Xem lời giải tại:
13. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức
Xem lời giải tại:
14. Xét biểu thức f(x) = (2x − 5)2 − 4(2x − 5) + 5
a.  Chứng minh f(x) ≥ 1 với mọi giá trị của x.
b.  Với giá trị nào của x thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Xem lời giải tại:
15. Cho x2 − y2 − z2 = 0 . Chứng minh rằng 
(5x − 3y + 4z)(5x − 3y − 4z) = (3x − 5y)2
Xem lời giải tại:
16. Cho a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c) . Chứng minh rằng a = b = c = 1. 
Xem lời giải tại:
17. Chứng minh rằng:
a. 719 + 720 + 721 ⋮ 57
b. 210
2
.850 − 327
7
⋮ 31
Xem lời giải tại:
18. Chứng minh rằng: a = b = c biết a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
Xem lời giải tại:
19. Cho A = x3 + y3 + z3 − 3xyz
a.  Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì A = 0
b.  Điều ngược lại có đúng không?
Xem lời giải tại:
20. Tìm các số tự nhiên n để:
a.  n3(n − 3) − 5(3 − n) là số nguyên tố.
b.  2(n − 2) − n4(2 − n) là số nguyên tố.
Xem lời giải tại:
21. Tính giá trị của biểu thức:
A =
168 − 1
(2 + 1) 22 + 1 24 + 1 28 + 1 216 + 1
Xem lời giải tại:
22. Tính:
a.  Cho x + y = 3 và x2 + y2 = 5 . Tính x3 + y3
b.  Cho x – y = 5 và x2 + y2 = 15. Tính x3 − y3
Xem lời giải tại:
23. Cho a2 + b2 = 1; c2 + d2 = 1; ac + bd = 0 . Chứng minh rằng ab + cd = 0.
Xem lời giải tại:
24. Tìm các hệ số nguyên a, b, c, d sao cho đa thức x4 + ax3 + bx2 − 8x + 4 viết
được dưới dạng bình phương của đa thức x2 + cx + d.
Xem lời giải tại:
25. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên lẻ thì: A = n3 + 3n2 − n − 3 ⋮ 8
Xem lời giải tại:
26. Cho x2 + y2 + z2 = 10. Tính giá trị biểu thức:
P = (xy + yz + xz)2 + (x2 − yz)
2
+ (y2 − xz)
2
+ (z2 − xy)
2
Xem lời giải tại:
27. Chứng minh rằng:
( )( )( )( )
a.  a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)
b.  (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Xem lời giải tại:
28. Cho a + b + c = 0; a2 + b2 + c2 = 14.
Tính giá trị biểu thức: A = a4 + b4 + c4
Xem lời giải tại:
29. Chứng minh rằng giá trị mỗi biểu thức sau luôn luôn không âm với mọi giá
trị của biến.
a.  A = (x − y)2 z2 − 2z + 1 − 2(z − 1)(x − y)2 + (x − y)2
b.  B = x2 + y2 z2 − 4z + 4 − 2(z − 2) x2 + y2 + x2 + y2
Xem lời giải tại:
30. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m thì
a.  m3 − m ⋮ 6
b.  m3 + 5m và m3 − 19m cũng luôn chia hết cho 6.
Xem lời giải tại:
31. Cho x2 + y2 + z2 = 10 . Tính giá trị của biểu thức
P = (xy + yz + xz)2 + x2 − yz
2
+ y2 − xz
2
+ z2 − xy
2
Xem lời giải tại:
32. Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a = b = c hoặc a + b + c = 0.
( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
 Xem lời giải tại:
33. Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp biết tích của chúng là 120.
Xem lời giải tại:
34. Chứng minh rằng các biểu thức sau là bình phương của một số nguyên với 
n ∈ Z.
a.  A = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + 1
b.  B = n4 − 4n3 − 2n2 + 12n + 9
Xem lời giải tại:
35. Tìm n ∈ N để P = n3 − n2 − n − 2 là số nguyên tố.
Xem lời giải tại:
36. Cho a + b + c = a3 + b3 + c3 = 1
Tính giá trị biểu thức: A = a2015 + b2015 + c2015
Xem lời giải tại:
37. Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng biểu thức 
M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4) + 1 là bình phương của một số nguyên.
Xem lời giải tại:
38. Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng 
B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương.
Xem lời giải tại:
39. Chứng tỏ rằng đa thức A = x2 + 1
4
+ 9 x2 + 1
3
+ 21 x2 + 1
2
− x2 − 31
luôn luôn không âm với mọi giá trị của biến x.
Xem lời giải tại:
40. Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd với a, b, c, d là các số dương
thì a = b = c = d.
Xem lời giải tại:
41. Tìm đa thức dư trong phép chia: (x2005 + x2004) : (x2 − 1)
Xem lời giải tại:
42. Chứng minh đa thức f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 chia hết cho đa
thức g(x) = x2 + 8x + 10
Xem lời giải tại:
43. Tìm m để đa thức x3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho 
x + y + z (x; y; z ≠ 0, x + y + z ≠ 0).
Xem lời giải tại:
44. Cho x; y; z ∈ Z∗ , biết a = x2 − xy; b = y2 − xz; c = z2 − xy. 
Chứng minh rằng: ax + by + cz ⋮ a + b + c
( ) ( ) ( )
Xem lời giải tại:
45. Chứng minh rằng với n lẻ thì
a.  n2 + 4n + 3 chia hết cho 8.
b.  n3 + 3n2 − n − 3 chia hết cho 48.
Xem lời giải tại:
46. Chứng minh rằng 111......111

81 số 1
⋮ 81
Xem lời giải tại:
47. Chứng minh A = 13 + 23 + 33 + ⋯ + 993 + 1003 chia hết cho 
B = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 + 100 . 
Xem lời giải tại:
48. Tìm:
a.  Số dư khi chia 2100 cho 9.
b.  Số dư khi chia 2222 + 5555 cho 7.
Xem lời giải tại:
49. Chứng minh rằng ∀m; n ∈ N thì:
x6m+4 + x6n+2 + 1 ⋮ x4 + x2 + 1
Xem lời giải tại:
50. Tìm n ∈ N sao cho: x2n + xn + 1 ⋮ x2 + x + 1
Xem lời giải tại:
51. Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(0); f(1) là các số lẻ. Chứng
minh đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.
Xem lời giải tại:
52. Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên và a; b ∈ Z; a ≠ b
a.  Chứng minh rằng: f(a) − f(b) ⋮ a − b
b.  Có thể đồng thời xảy ra f(5) = 7; f(19) = 15 không?
Xem lời giải tại:
53. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
Xem lời giải tại:
54. Tính giá trị biểu thức:
a.  Cho x + y + z = 0; xy + yz + zx = 0. 
Tính giá trị của biểu thức: A = (x − 1)2014 + y2015 + (z + 1)2016 
b.  Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1
Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b9 + c1945 
Xem lời giải tại:
55. Cho a2 − b2 = 4c2. Chứng minh rằng: 
(5a − 3b + 8c)(5a − 3b − 8c) = (3a − 5b)2
Xem lời giải tại:
56. Cho 
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
a + b + c
.  Chứng minh rằng: 
1
an
+
1
bn
+
1
cn
=
1
an + bn + cn
(với n là số tự nhiên lẻ)
Xem lời giải tại:
57. Chứng minh rằng: Nếu x4 + y4 + z4 + t4 = 4xyzt và x , y, z, t là các số dương
thì x = y = z = t.
Xem lời giải tại:
58. Cho a + b = 1 tính M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b)
Xem lời giải tại:
59. Phân tích đa thức F = a(b + c)2(b − c) + b(c + a)2(c − a) + c(a + b)2(a − b)
thành nhân tử.
Xem lời giải tại:
60. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a.  A =  ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 2abc
b.  B = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 − a4 − b4 − c4
Xem lời giải tại:
61. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a.  A = bc(a + d)(b − c) − ac(b + d)(a − c) + ab(c + d)(a − b)
b.  B = 8(x + y + z)3 − (x + y)3 − (y + z)3 − (z + x)3
Xem lời giải tại:
62. Chứng minh rằng n6 + n4 − 2n2 chia hết cho 72.
Xem lời giải tại:
63. Tính
a.  Cho 3 số x, y, z thỏa mãn: 
x + y + z = 0
xy + yz + zx = 0
Tính S = (x + 1)2014 − (y − 1)2015 + (z + 1)2016 
b.  Cho a − b = 100 .Tính a2(a + 1) − b2(b − 1) + ab − 3ab(a − b + 1)
Xem lời giải tại:
64. Tìm x, y, z thoả mãn x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y − 4z − 14
Xem lời giải tại:
65. So sánh A =
24 +
1
4
44 +
1
4
64 +
1
4
. . . . 324 +
1
4
1 +
1
4
34 +
1
4
54 +
1
4
. . . . 314 +
1
4
 và B = 2013.
Xem lời giải tại:
66. Chứng minh rằng:
a.  Nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 với x; y ≠ 0 thì 
a
x
=
b
y
b.  Nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 với x; y; z ≠ 0 thì 
a
x
=
b
y
=
c
z
Xem lời giải tại:
67. Tính
{
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
a.  Cho a3 − 3ab2 = 19; b3 − 3a2b = 98. Tính A = a2 + b2.
b.  Cho a; b thỏa mãn: a3 − 3a2 + 5a − 17 = 0; b3 − 3b2 + 5b + 11 = 0. Tính 
B = a + b.
Xem lời giải tại: