Bài tập về tỷ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong Đại số 7

BÀI TẬP VỀ TỶ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG ĐẠI SỐ 7
 1.Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức
a) Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số 
Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và c gọi là trung tỉ.
Tính chất
Tính chất 1( tính chất cơ bản)
Nếu thì ad = bc
tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức 
2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
+ từ tỉ lệ thức ta suy ra 
+mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau 
ta suy ra 
( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
3.Chú ý:
+ Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết a:b:c = 2:3:5.
+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức suy ra
từ suy ra 
Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết
1.Tìm một số hạng chưa biết
Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu 
Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.
 b) Bài tập:
Bài tập 1:( Aùp dụng đối với HS trung bình).
Tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)
 - 0,52 : x = - 9,36 : 16,38
Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn như sau :
a)
b) 
 có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x.
 Bài tập 2: :( Aùp dụng đối với HS Khá). 
 Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a)
Giải : từ 
Suy ra x = 30 hoặc -30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức 
 Bài tập 3 : :( Aùp dụng đối với HS Giỏi).
 Tìm x trong tỉ lệ thức 
 Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
 2.Tìm nhiều số hạng chưa biết
 a)Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:
 Tìm các số x, y, z thoả mãn
 (1) và x +y + z =d (2)
 ( trong đó a, b, c, a+b+c và a, b, c, d là các số cho trước)
 Cách giải:
 - Cách 1: đặt thay vào (2)
 Ta có k.a + k.b + k.c = d
 Từ đó tìm được 
 - Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
 b).Hướng khai thác từ bài trên như sau.
 +Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:
 * 
 *
 *x.y.z = g
 +Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:
 - 
 - 
 - 
 - 
 - 
 +Thay đổi cả hai điều kiện
 c).Bài tập
 Bài tập 1: :( Aùp dụng đối với HS trung bình).
 Tìm 3 số x, y, z biết và x +y + z = 27
 Giải: 
 Cách 1.
 Đặt 
 Từ x + y + z = 27 ta suy ra 
 Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
 Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
 Cách 2. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có.
 Bài tập 2: :( Aùp dụng đối với HS Khá). 
 Tìm 3 số x,y,z biết và 2x + 3y – 5z = -21
 Giải: 
 Cách 1: Đặt =k
 Cách 2: Từ suy ra 
 áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12.
Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
1)Các phương pháp : 
Để Chứng minh tỷ lệ thức : Ta có các phương pháp sau :
Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc .
Phương Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
Phương pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải.
Phương pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập:
Bài tập 1:( Aùp dụng đối với HS Khá).
( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: hãy suy ra tỷ lệ thức:.
Giải:
Cách 1: Xét tích 
 Từ 
Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra 
 Cách 2: Đặt 
Ta có: 
Từ (1) và (2) suy ra: 
 Cách 3: từ 
Ta có: 
Do đó: 
	Cách 4: 
 Cách 5: 
Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:
 (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
Bài tập 2: :( Aùp dụng đối với HS Giỏi). chứng minh rằng nếu thì 
a) 
(với a
Lời giải: 
a) - Cách 1: Xét tích chéo 
 	 - Cách 2: từ 
Đặt 
Ta có: 
Từ (1) và (2) suy ra: 
b) 
- Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c)
 = (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c)
Do đó (a2 + c2)b = ( b2+ a2)c 
- Cách 2: Từ a2 = bc 
Đặt suy ra a = bk, c = ak = bk2 
Ta có
Do đó: 
Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
1.Phương pháp giải
 Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết
 Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
 Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết 
 Bước 4:Kết luận.
2.Bài tập
 Bài tập 1: :( Aùp dụng đối với HS trung bình). 
 (Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm
 và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
 Lời giải:
 Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm),(a,b,c)
	 Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
 Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có 
	 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có 
	 Suy ra 
	Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
	Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) như sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3.Khi đó ta có được
 c-a=3
Bài tập 2: :( Aùp dụng đối với HS Khá).
Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng được tỉ lệ với các số 3;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng được .
Lời giải:
Gọi số cây trồng được của lớp 7A,7B,7C lần lượt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dương)
Theo bài ra ta có 
Suy ra 
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A,7B,7C lần lượt là 21cây,28cây,35cây
Bài tập 3: :( Aùp dụng đối với HS Giỏi).
Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là ,giữa số thứ hai và số thứ 3 là .Tìm ba số đó.
Gọi 3 số phải tìm là a,b,c 
Theo bài ra ta có và 
Giải tiếp ta được a=-4 , b=-6, c=- 9
Bài tập 4: :( Aùp dụng đối với HS Giỏi).
Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi số thóc ở kho I, số thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau .Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc. 
Lời giải:
Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lượt là a,b,c (tấn, a,b,c>0)
Số thóc của kho I sau khi chuyển là 
Số thóc của kho II sau khi chuyển là 
Số thóc của kho III sau khi chuyển là 
theo bài ra ta có và a+b+c=710
từ 
Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.