Bài tập tổng hợp về tam giác đồng dạng

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ TAM GIÁC
ĐỒNG DẠNG
BÀI TẬP LIÊN QUAN
1. Cho tứ giác ABCD có hai góc vuông tại đỉnh A và C, hai đường chéo AC và BD
cắt nhau tại O và 
^
BAC =
^
BDC. Chứng minh rằng:
a.  ΔABO ∼ ΔDCO
b.  ΔBCO ∼ ΔADO
Xem lời giải tại:
2. Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 12cm, BC = 9cm. Gọi H là chân đường
vuông góc kẻ từ A xuống BD.
a.  Chứng minh rằng ΔAHB ∼ ΔBCD
b.  Tính độ dài đoạn thẳng AH
c.  Tính diện tích ΔAHB
Xem lời giải tại:
3. Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, 
^
ABD =
^
ACD. Gọi E
là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:
a.  ΔAOB ∼ ΔDOC
b.  ΔAOD ∼ ΔBOC
c.  EA. ED = EB. EC
Xem lời giải tại:
4. Cho ΔABC vuông tại A, AB = 15cm; AC = 20cm đường phân giác BD.
a.  Tính độ dài AD
b.  Gọi H là hình chiếu của A trên BC, tính độ dài HA, HB.
c.  I là giao của AH và BD. Chứng minh rằng ΔAID cân.
Xem lời giải tại:
5. Cho ΔABC vuông tại A, AB = 36 cm; AC = 48 cm. Đường phân giác AK. Tia
phân giác của Bˆ cắt AK ở I, qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB và AC
theo thứ tự ở D và E.
a.  Tính độ dài BK
b.  Tính tỉ số 
AI
AK
c.  Tính độ dài DE.
Xem lời giải tại:
6. Cho ΔABC vuông tại A, AB = a; AC = 3a, trên cạnh AC lấy các điểm DE sao cho
AD = DE = EC.
a.  Tính các tỉ số 
DB
DE
;
DC
DB
b.  Chứng minh rằng ΔBDE ∼ ΔCDB
c.  Tính tổng 
^
AEB +
^
ACB
d.  Tính chu vi ΔBDE
Xem lời giải tại:
7. Cho ΔABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G, qua điểm O thuộc
cạnh BC, vẽ OM // CE, ON // BD (M ∈ AB; N ∈ AC), MN cắt BD, CE theo thứ tự
ở I, K.
a.  Gọi H là giao điểm của OM và BD. Tính tỷ số 
MH
MO
b.  Chứng minh rằng MI =
1
3
MN
c.  Chứng minh rằng MI = IK = KN
Xem lời giải tại:
8. Cho ΔABC, có trực tâm H, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC. Gọi
O là giao điểm của các đường trung trực của ΔABC.
a.  Chứng minh rằng ΔOMN ∼ ΔHAB
b.  Tính tỉ số 
OM
AH
c.  Gọi G là trọng tâm của ΔABC. Chứng minh rằng ΔHAG ∼ ΔOMG
d.  Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH = 2GO
Xem lời giải tại:
9. Cho ΔABC cân tại A, vẽ các đường cao BH, CK (H ∈ AC; K ∈ AB)
a.  Chứng minh BK = CH
b.  Chứng minh KH // BC
c.  Biết BC = a; AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.
Xem lời giải tại:
10. Cho ΔABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng 
AH. DH = BH. EH = CH. FH
Xem lời giải tại:
11. Hai điểm M, K thứ tự nằm trên các cạnh AB, BC của ΔABC. Hai đoạn thẳng
AK, CM cắt nhau tại điểm P. Biết rằng AP = 2PK; CP = 2PM. Chứng minh rằng
AK và CM là các trung tuyến của ΔABC.
Xem lời giải tại:
12. Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AM⊥BC; AN⊥CD(M ∈ BC; N ∈ CD).
Chứng minh rằng ΔMAN ∼ ΔABC
Xem lời giải tại:
13. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 15cm; AC = 20cm.
a.  Chứng minh rằng CA2 = CH. CB
b.  Kẻ AD là tia phân giác của 
^
BAC(D ∈ BC). Tính HD.
c.  Trên tia đối của tia AC lấy điểm I. Kẻ AK⊥BI tại K. Chứng minh rằng 
ΔBHK ∼ ΔBIC
d.  Cho AI = 8cm. Tính diện tích ΔBHK.
Xem lời giải tại:
14. Cho ΔABC vuông tại A, (AB < AC) và trung tuyến AD, kẻ đường thẳng vuông
góc với AD tại D lần lượt cắt AC tại E và AB tại F.
a.  Chứng minh ΔDCE ∼ ΔDFB
b.  Chứng minh AE. AC = AB. AF
c.  Đường cao AH của ΔABC cắt EF tại I. Chứng minh rằng 
SABC
SAEF
=
AD
AI
2
Xem lời giải tại:
15. Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD và AD = 5cm. Trên DC lấy điểm M sao
cho DM = 2cm. Biết 
^
AMB = 900
a.  Chứng minh ΔDAM ∼ ΔCMB. Tính độ dài MC.
b.  Tia phân giác của 
^
AMB cắt AB tại E. Kẻ EK⊥AB(K ∈ MB). Chứng minh rằng
EA=EK.
c.  Tia EK cắt AM tại H, tia AK cắt BH tại N. Chứng minh MN là tia phân giác góc 
^
BMH
Xem lời giải tại:
16. Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH (H ∈ BC).
a.  Chứng minh ΔABH ∼ ΔCBA
b.  Trên tia HC, lấy D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH
( )
cắt AC tại E. Chứng minh CE. CA = CD. CB
c.  Chứng minh AE = AB
d.  Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh AH. BM = AB. HM + AM. HB
Xem lời giải tại:
17. Cho ΔABC nhọn, các điểm D, E, F lần lượt nằm trên AB, AC, BC. Chứng minh
rằng:
a. 
SADE
SABC
=
AD. AE
AB. AC
b.  Trong ba tam giác ΔADE; ΔBDF; ΔCEF tồn tại một tam giác có diện tích
không quá 
1
4
SABC . Khi nào thì SADE = SBDF = SCEF =
1
4
SABC
Xem lời giải tại:
18. Cho ΔABC vuông tại A (AB > AC) kẻ đường cao AH.
a.  Chứng minh rằng: 
AB2
BH
=
AC2
CH
b.  Kẻ AD là tia phân giác của 
^
BAH(D ∈ BH). Chứng minh ΔACD cân và 
DH. DC = BD. HC
c.  Tính độ dài AH trong trường hợp SABH = 15, 36 cm
2 ; SACH = 8, 64 cm
2
d.  Gọi M là trung điểm của AB, E là giao điểm của hai đường thẳng MD và AH.
Chứng minh rằng: CE / /AD.
Xem lời giải tại:
19. Cho ΔABC, AD là đường phân giác ngoài. Chứng minh rằng 
AD2 = DB. DC − AB. AC
Xem lời giải tại:
( ) ( )
20. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng AB. CD + BC. AD ≥ AC. BD
Xem lời giải tại:
21. Cho tứ giác ABCD, điểm E ∈ AB, qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt
BC ở F. Qua F kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại G. Qua G kẻ đường
thẳng song song với AC cắt AD ở H.
a.  Tứ giác EFGH là hình gì?
b.  Để EFGH là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD phải có điều kiện gì?
c.  Nếu EFGH là hình chữ nhật thì tính diện tích các tứ giác ABCD, EFGH biết 
AC = 45(cm); BD = 30(cm);
BE
BA
=
1
2
Xem lời giải tại:
22. Hình thang ABCD có AB // CD, đường cao bằng 12cm, AC⊥BD, BD = 15(cm).
a.  Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Tính độ dài DE
b.  Tính diện tích hình thang ABCD.
Xem lời giải tại:
23. Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), phân giác BD. Trên tia đối của tia AB lấy
điểm F sao cho 
^
ACF =
^
ABD . Gọi E là giao điểm của CF và BD.
a.  Chứng minh: ΔBEF ∼ ΔCAF
b.  Chứng minh: ΔBCF cân
c.  Đường thẳng qua E, song song với AC cắt BF tại K. 
Chứng minh: AC2 = 4KF. BK
Xem lời giải tại:
24. Cho ΔABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H. Gọi K là hình chiếu
của H lên BC. Chứng minh rằng:
a.  BH. BD = BK. BC
b.  CH. CE = CK. CB
c.  BH. BD + CH. CE = BC2
d.  Chứng minh rằng ba điểm A, H, K thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
25. Cho hình bình hành ABCD có  Aˆ < Bˆ . Gọi E là hình chiếu của C trên AB, K là
hình chiếu của C trên AD, H là hình chiếu của B trên AC. Chứng minh rằng:
a.  AB. AE = AC. AH
b.  BC. AK = AC. HC
c.  AB. AE + AD. AK = AC2
Xem lời giải tại:
26. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, BC = 20(cm); AH = 8(cm). Gọi D là
hình chiếu của H trên AC, E là hình chiếu của H trên AB.
a.  Tứ giác ADHE là hình gì?
b.  Chứng minh rằng ΔADE ∼ ΔABC
c.  Tính diện tích ΔADE.
Xem lời giải tại:
27. Cho ΔABC có BC = 15cm; AH = 10cm. Một đường thẳng d song song với BC
cắt cạnh AB, AC lần lượt ở D và E. Tính độ dài DE. Biết rằng độ dài DE bằng
khoảng cách từ D tới BC.
Xem lời giải tại:
28. Cho điểm B nằm trên đoạn AC, AB = 6cm; BC = 24cm, vẽ về một phía của AC
các tia Ax và Cy vuông góc với AC. Trên tia Ax lấy điểm E sao cho EB = 10cm,
trên tia Cy lấy điểm D sao cho BD = 30cm. Tính 
^
EBD.
Xem lời giải tại:
( )
29. Cho ΔABC có (AB < AC). Đường phân giác AD. Trên cạnh AC lấy điểm E sao
cho 
^
CDE =
^
BAC = 760.
a.  Chứng minh rằng ΔCDE ∼ ΔCAB.
b.  Chứng minh rằng ΔDBE cân, tính số đo 
^
DEB.
Xem lời giải tại:
30. Cho ΔABC vuông tại A và có đường cao AH.
a.  Chứng minh rằng: ΔABC ∼ ΔHBA ∼ ΔHAC
b.  Chứng minh rằng: AB2 = BH. BC, AC2 = CH. BC
c.  Biết AB=3, AC=4, SHAC = 32cm
2. Tính diện tích của ΔHBA
Xem lời giải tại:
31. Cho ΔABC vuông tại A, AB = 6cm; AC = 8cm; đường cao AH.
a.  Chứng minh AB2 = BC. BH
b.  Tính AH
c.  Tia phân giác của 
^
AHC cắt cạnh AC tại D. Tính diện tích ΔDHC
Xem lời giải tại:
32. Cho ΔABC và một điểm D trên cạnh AB. Đường thẳng đi qua D và song song
với BC cắt AC tại E và cắt đường thẳng qua C song song với AB tại G. Nối BG cắt
AC tại H; qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại I. Chứng minh rằng:
a.  DA. EG = DB. DE
b.  HC2 = HE. HA
c. 
1
HI
=
1
BA
+
1
CG
Xem lời giải tại:
33. Cho hình vuông ABCD và một điểm E bất kỳ trên cạnh BC. Kẻ tia Ax vuông
góc với AE cắt CD tại F. Kẻ trung tuyến AI của ΔAEF và kéo dài cắt CD tại K. Qua
E kẻ đường thẳng song song với AB cắt AI tại G. Chứng minh rằng:
a.  AE = AF
b.  Tứ giác EGFK là hình thoi.
c.  ΔFIK ∼ ΔFCE
d.  EK = BE + DK. Khi E chuyển động trên BC thì chu vi ΔECK không đổi.
Xem lời giải tại:
34. Cho ΔABC có các đường cao BK và CI cắt nhau tại H. Các đường thẳng kẻ từ
B vuông góc với AB và kẻ từ C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Chứng minh
rằng:
a.  BHCD là hình bình hành.
b.  AI.AB = AK.AC
c.  ΔAIK và ΔACB đồng dạng.
d.  ΔABC cần có thêm điều kiện gì để đường thẳng DH đi qua A. Khi đó tứ giác
BHCD là hình gì?
Xem lời giải tại:
35. Cho tứ giác ABCD có AB = 4cm; BC = 20cm; CD = 25cm; DA = 8cm, đường
chéo BD = 10cm.
a.  Các tam giác ABD và BDC có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ?
b.  Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang.
c.  Tính diện tích tứ giác ABCD
Xem lời giải tại:
36. Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn là AC. Từ C hạ các đường
vuông góc CE và CF lần lượt xuống các tia AB, AD. 
Chứng minh rằng AD. AF + AB. AE = AC2
Xem lời giải tại:
37. Cho ΔABC vuông tại A, có AB = 9cm, AC = 12cm. Tia phân giác góc A cắt BC
tại D, từ D kẻ DE ⊥ AC (E  ∈  AC)
a.  Tính độ dài BC
b.  Tính độ dài BD và CD
c.  Chứng minh: ΔABC ∼ ΔEDC
d.  Tính DE. Tính tỉ số 
SABD
SADC
Xem lời giải tại:
38. Cho hình bình hành ABCD có 
^
BAD nhọn. Kẻ BH, CM, CN, DI lần lượt vuông
góc với AC, AB, AD và AC.
a.  Chứng minh rằng: AH = CI
b.  Tứ giác BIDH là hình gì?
c.  Chứng minh rằng: AB.CM = CN.AD
d.  Chứng minh rằng: AD. AN + AM. AB = AC2
Xem lời giải tại:
39. Cho hình thang vuông ABCD có AB // CD (Aˆ = Dˆ = 900), AB = 2cm; AD = CD
= 8cm. Gọi O là trung điểm của AD.
a.  Tính BC
b.  Chứng minh: 
^
BOC = 900
c.  ΔAOB ∼ ΔDCO; ΔABO ∼ ΔOBC
Xem lời giải tại:
40. Cho ΔABC đều, qua trung điểm O của BC vẽ 
^
xOy = 600. Các tia Ox, Oy cắt các
cạnh AB, AC tương ứng tại M và N. Chứng minh rằng:
a.  ΔBOM ∼ ΔCNO
b.  4BM. CN = BC2
c.  ΔBOM ∼ ΔONM, OM là phân giác của 
^
BMN.
d.  ON2 = CN. NM
Xem lời giải tại:
41. Cho ΔABC(AB < AC), đường phân giác AD. Qua điểm M là trung điểm của BC
kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB và AC lần lượt tại E và K. Chứng minh
rằng:
a.  AE = AK
b.  BE = CK
c.  CA.MK = BE. AD
Xem lời giải tại:
42. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Một đường thẳng đi qua giao điểm O của
hai đường chéo và song song với hai đáy, cắt BC ở I. Chứng minh rằng 
1
AB
+
1
CD
=
1
OI
.
Xem lời giải tại:
43. Cho ΔABC cân ở A, đường phân giác BD. Có BC = 5cm; AC = 20cm.
a.  Tính độ dài AD, DC
b.  Tính độ dài BD.
Xem lời giải tại:
44. Cho ΔABC cân ở A, có góc đáy bằng α. Trên cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các
điểm D, M, E sao cho 
^
DME = α. Chứng minh rằng ΔBDM ∼ ΔCME.
Xem lời giải tại:
45. Cho hình thang vuông ABCD Aˆ = Dˆ = 900 ,  M là trung điểm của AD và ( )
^
BMC = 900. Biết AD = 2a. Chứng minh rằng:
a.  AB. CD = a2
b.  ΔMAB ∼ ΔCMB
c.  BM là tia phân giác của 
^
ABC
Xem lời giải tại:
46. Cho ΔABC có AB = 15cm; AC = 21cm. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho 
AE = 7cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 5cm. Chứng minh rằng:
a.  ΔABD ∼ ΔACE
b.  ΔIBE ∼ ΔICD. Trong đó I là giao điểm của BD và CE
c.  IB. ID = IC. IE
Xem lời giải tại:
47. Cho ΔABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên
cạnh AC lấy điểm E sao cho DM là tia phân giác của góc 
^
BDE. Chứng minh rằng:
a.  EM là tia phân giác của 
^
CED
b.  ΔBDM ∼ ΔCME
c.  BD. CE = MB2
Xem lời giải tại: