Bài tập tổng hợp và nâng cao về tam giác đồng dạng

đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
TỔNG HỢP
BÀI TẬP LIÊN QUAN
1. Cho tứ giác ABCD có hai góc vuông tại đỉnh A và C, hai đường chéo AC và BD
cắt nhau tại O và 
^
BAC =
^
BDC. Chứng minh rằng:
a.  ΔABO ∼ ΔDCO
b.  ΔBCO ∼ ΔADO
Xem lời giải tại:
2. Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 12cm, BC = 9cm. Gọi H là chân đường
vuông góc kẻ từ A xuống BD.
a.  Chứng minh rằng ΔAHB ∼ ΔBCD
b.  Tính độ dài đoạn thẳng AH
c.  Tính diện tích ΔAHB
Xem lời giải tại:
3. Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, 
^
ABD =
^
ACD. Gọi E
là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:
a.  ΔAOB ∼ ΔDOC
b.  ΔAOD ∼ ΔBOC
c.  EA. ED = EB. EC
Xem lời giải tại:
4. Cho ΔABC vuông tại A, AB = 15cm; AC = 20cm đường phân giác BD.
a.  Tính độ dài AD
b.  Gọi H là hình chiếu của A trên BC, tính độ dài HA, HB.
c.  I là giao của AH và BD. Chứng minh rằng ΔAID cân.
Xem lời giải tại:
5. Cho ΔABC vuông tại A, AB = 36 cm; AC = 48 cm. Đường phân giác AK. Tia
phân giác của Bˆ cắt AK ở I, qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB và AC
theo thứ tự ở D và E.
a.  Tính độ dài BK
b.  Tính tỉ số 
AI
AK
c.  Tính độ dài DE.
Xem lời giải tại:
6. Cho ΔABC vuông tại A, AB = a; AC = 3a, trên cạnh AC lấy các điểm DE sao cho
AD = DE = EC.
a.  Tính các tỉ số 
DB
DE
;
DC
DB
b.  Chứng minh rằng ΔBDE ∼ ΔCDB
c.  Tính tổng 
^
AEB +
^
ACB
d.  Tính chu vi ΔBDE
Xem lời giải tại:
7. Cho ΔABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G, qua điểm O thuộc
cạnh BC, vẽ OM // CE, ON // BD (M ∈ AB; N ∈ AC), MN cắt BD, CE theo thứ tự
ở I, K.
a.  Gọi H là giao điểm của OM và BD. Tính tỷ số 
MH
MO
b.  Chứng minh rằng MI =
1
3
MN
c.  Chứng minh rằng MI = IK = KN
Xem lời giải tại:
8. Cho ΔABC, có trực tâm H, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC. Gọi
O là giao điểm của các đường trung trực của ΔABC.
a.  Chứng minh rằng ΔOMN ∼ ΔHAB
b.  Tính tỉ số 
OM
AH
c.  Gọi G là trọng tâm của ΔABC. Chứng minh rằng ΔHAG ∼ ΔOMG
d.  Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH = 2GO
Xem lời giải tại:
9. Cho ΔABC cân tại A, vẽ các đường cao BH, CK (H ∈ AC; K ∈ AB)
a.  Chứng minh BK = CH
b.  Chứng minh KH // BC
c.  Biết BC = a; AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.
Xem lời giải tại:
10. Cho ΔABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng 
AH. DH = BH. EH = CH. FH
Xem lời giải tại:
11. Hai điểm M, K thứ tự nằm trên các cạnh AB, BC của ΔABC. Hai đoạn thẳng
AK, CM cắt nhau tại điểm P. Biết rằng AP = 2PK; CP = 2PM. Chứng minh rằng
AK và CM là các trung tuyến của ΔABC.
Xem lời giải tại:
12. Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AM⊥BC; AN⊥CD(M ∈ BC; N ∈ CD).
Chứng minh rằng ΔMAN ∼ ΔABC
Xem lời giải tại:
13. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 15cm; AC = 20cm.
a.  Chứng minh rằng CA2 = CH. CB
b.  Kẻ AD là tia phân giác của 
^
BAC(D ∈ BC). Tính HD.
c.  Trên tia đối của tia AC lấy điểm I. Kẻ AK⊥BI tại K. Chứng minh rằng 
ΔBHK ∼ ΔBIC
d.  Cho AI = 8cm. Tính diện tích ΔBHK.
Xem lời giải tại:
14. Cho ΔABC vuông tại A, (AB < AC) và trung tuyến AD, kẻ đường thẳng vuông
góc với AD tại D lần lượt cắt AC tại E và AB tại F.
a.  Chứng minh ΔDCE ∼ ΔDFB
b.  Chứng minh AE. AC = AB. AF
c.  Đường cao AH của ΔABC cắt EF tại I. Chứng minh rằng 
SABC
SAEF
=
AD
AI
2
Xem lời giải tại:
15. Cho hình chữ nhật ABCD có AB > AD và AD = 5cm. Trên DC lấy điểm M sao
cho DM = 2cm. Biết 
^
AMB = 900
a.  Chứng minh ΔDAM ∼ ΔCMB. Tính độ dài MC.
b.  Tia phân giác của 
^
AMB cắt AB tại E. Kẻ EK⊥AB(K ∈ MB). Chứng minh rằng
EA=EK.
c.  Tia EK cắt AM tại H, tia AK cắt BH tại N. Chứng minh MN là tia phân giác góc 
^
BMH
Xem lời giải tại:
16. Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH (H ∈ BC).
a.  Chứng minh ΔABH ∼ ΔCBA
b.  Trên tia HC, lấy D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH
( )
cắt AC tại E. Chứng minh CE. CA = CD. CB
c.  Chứng minh AE = AB
d.  Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh AH. BM = AB. HM + AM. HB
Xem lời giải tại:
17. Cho ΔABC nhọn, các điểm D, E, F lần lượt nằm trên AB, AC, BC. Chứng minh
rằng:
a. 
SADE
SABC
=
AD. AE
AB. AC
b.  Trong ba tam giác ΔADE; ΔBDF; ΔCEF tồn tại một tam giác có diện tích
không quá 
1
4
SABC . Khi nào thì SADE = SBDF = SCEF =
1
4
SABC
Xem lời giải tại:
18. Cho ΔABC vuông tại A (AB > AC) kẻ đường cao AH.
a.  Chứng minh rằng: 
AB2
BH
=
AC2
CH
b.  Kẻ AD là tia phân giác của 
^
BAH(D ∈ BH). Chứng minh ΔACD cân và 
DH. DC = BD. HC
c.  Tính độ dài AH trong trường hợp SABH = 15, 36 cm
2 ; SACH = 8, 64 cm
2
d.  Gọi M là trung điểm của AB, E là giao điểm của hai đường thẳng MD và AH.
Chứng minh rằng: CE / /AD.
Xem lời giải tại:
19. Cho ΔABC, AD là đường phân giác ngoài. Chứng minh rằng 
AD2 = DB. DC − AB. AC
Xem lời giải tại:
( ) ( )
20. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng AB. CD + BC. AD ≥ AC. BD
Xem lời giải tại:
21. Cho tứ giác ABCD, điểm E ∈ AB, qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt
BC ở F. Qua F kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại G. Qua G kẻ đường
thẳng song song với AC cắt AD ở H.
a.  Tứ giác EFGH là hình gì?
b.  Để EFGH là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD phải có điều kiện gì?
c.  Nếu EFGH là hình chữ nhật thì tính diện tích các tứ giác ABCD, EFGH biết 
AC = 45(cm); BD = 30(cm);
BE
BA
=
1
2
Xem lời giải tại:
22. Hình thang ABCD có AB // CD, đường cao bằng 12cm, AC⊥BD, BD = 15(cm).
a.  Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Tính độ dài DE
b.  Tính diện tích hình thang ABCD.
Xem lời giải tại:
23. Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), phân giác BD. Trên tia đối của tia AB lấy
điểm F sao cho 
^
ACF =
^
ABD . Gọi E là giao điểm của CF và BD.
a.  Chứng minh: ΔBEF ∼ ΔCAF
b.  Chứng minh: ΔBCF cân
c.  Đường thẳng qua E, song song với AC cắt BF tại K. 
Chứng minh: AC2 = 4KF. BK
Xem lời giải tại:
24. Cho ΔABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H. Gọi K là hình chiếu
của H lên BC. Chứng minh rằng:
a.  BH. BD = BK. BC
b.  CH. CE = CK. CB
c.  BH. BD + CH. CE = BC2
d.  Chứng minh rằng ba điểm A, H, K thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
25. Cho hình bình hành ABCD có  Aˆ < Bˆ . Gọi E là hình chiếu của C trên AB, K là
hình chiếu của C trên AD, H là hình chiếu của B trên AC. Chứng minh rằng:
a.  AB. AE = AC. AH
b.  BC. AK = AC. HC
c.  AB. AE + AD. AK = AC2
Xem lời giải tại:
26. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, BC = 20(cm); AH = 8(cm). Gọi D là
hình chiếu của H trên AC, E là hình chiếu của H trên AB.
a.  Tứ giác ADHE là hình gì?
b.  Chứng minh rằng ΔADE ∼ ΔABC
c.  Tính diện tích ΔADE.
Xem lời giải tại:
27. Cho ΔABC có BC = 15cm; AH = 10cm. Một đường thẳng d song song với BC
cắt cạnh AB, AC lần lượt ở D và E. Tính độ dài DE. Biết rằng độ dài DE bằng
khoảng cách từ D tới BC.
Xem lời giải tại:
28. Cho điểm B nằm trên đoạn AC, AB = 6cm; BC = 24cm, vẽ về một phía của AC
các tia Ax và Cy vuông góc với AC. Trên tia Ax lấy điểm E sao cho EB = 10cm,
trên tia Cy lấy điểm D sao cho BD = 30cm. Tính 
^
EBD.
Xem lời giải tại:
( )
29. Cho ΔABC có (AB < AC). Đường phân giác AD. Trên cạnh AC lấy điểm E sao
cho 
^
CDE =
^
BAC = 760.
a.  Chứng minh rằng ΔCDE ∼ ΔCAB.
b.  Chứng minh rằng ΔDBE cân, tính số đo 
^
DEB.
Xem lời giải tại:
30. Cho ΔABC vuông tại A và có đường cao AH.
a.  Chứng minh rằng: ΔABC ∼ ΔHBA ∼ ΔHAC
b.  Chứng minh rằng: AB2 = BH. BC, AC2 = CH. BC
c.  Biết AB=3, AC=4, SHAC = 32cm
2. Tính diện tích của ΔHBA
Xem lời giải tại:
31. Cho ΔABC vuông tại A, AB = 6cm; AC = 8cm; đường cao AH.
a.  Chứng minh AB2 = BC. BH
b.  Tính AH
c.  Tia phân giác của 
^
AHC cắt cạnh AC tại D. Tính diện tích ΔDHC
Xem lời giải tại:
32. Cho ΔABC và một điểm D trên cạnh AB. Đường thẳng đi qua D và song song
với BC cắt AC tại E và cắt đường thẳng qua C song song với AB tại G. Nối BG cắt
AC tại H; qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại I. Chứng minh rằng:
a.  DA. EG = DB. DE
b.  HC2 = HE. HA
c. 
1
HI
=
1
BA
+
1
CG
Xem lời giải tại:
33. Cho hình vuông ABCD và một điểm E bất kỳ trên cạnh BC. Kẻ tia Ax vuông
góc với AE cắt CD tại F. Kẻ trung tuyến AI của ΔAEF và kéo dài cắt CD tại K. Qua
E kẻ đường thẳng song song với AB cắt AI tại G. Chứng minh rằng:
a.  AE = AF
b.  Tứ giác EGFK là hình thoi.
c.  ΔFIK ∼ ΔFCE
d.  EK = BE + DK. Khi E chuyển động trên BC thì chu vi ΔECK không đổi.
Xem lời giải tại:
34. Cho ΔABC có các đường cao BK và CI cắt nhau tại H. Các đường thẳng kẻ từ
B vuông góc với AB và kẻ từ C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Chứng minh
rằng:
a.  BHCD là hình bình hành.
b.  AI.AB = AK.AC
c.  ΔAIK và ΔACB đồng dạng.
d.  ΔABC cần có thêm điều kiện gì để đường thẳng DH đi qua A. Khi đó tứ giác
BHCD là hình gì?
Xem lời giải tại:
35. Cho tứ giác ABCD có AB = 4cm; BC = 20cm; CD = 25cm; DA = 8cm, đường
chéo BD = 10cm.
a.  Các tam giác ABD và BDC có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ?
b.  Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang.
c.  Tính diện tích tứ giác ABCD
Xem lời giải tại:
36. Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn là AC. Từ C hạ các đường
vuông góc CE và CF lần lượt xuống các tia AB, AD. 
Chứng minh rằng AD. AF + AB. AE = AC2
Xem lời giải tại:
37. Cho ΔABC vuông tại A, có AB = 9cm, AC = 12cm. Tia phân giác góc A cắt BC
tại D, từ D kẻ DE ⊥ AC (E  ∈  AC)
a.  Tính độ dài BC
b.  Tính độ dài BD và CD
c.  Chứng minh: ΔABC ∼ ΔEDC
d.  Tính DE. Tính tỉ số 
SABD
SADC
Xem lời giải tại:
38. Cho hình bình hành ABCD có 
^
BAD nhọn. Kẻ BH, CM, CN, DI lần lượt vuông
góc với AC, AB, AD và AC.
a.  Chứng minh rằng: AH = CI
b.  Tứ giác BIDH là hình gì?
c.  Chứng minh rằng: AB.CM = CN.AD
d.  Chứng minh rằng: AD. AN + AM. AB = AC2
Xem lời giải tại:
39. Cho hình thang vuông ABCD có AB // CD (Aˆ = Dˆ = 900), AB = 2cm; AD = CD
= 8cm. Gọi O là trung điểm của AD.
a.  Tính BC
b.  Chứng minh: 
^
BOC = 900
c.  ΔAOB ∼ ΔDCO; ΔABO ∼ ΔOBC
Xem lời giải tại:
40. Cho ΔABC đều, qua trung điểm O của BC vẽ 
^
xOy = 600. Các tia Ox, Oy cắt các
cạnh AB, AC tương ứng tại M và N. Chứng minh rằng:
a.  ΔBOM ∼ ΔCNO
b.  4BM. CN = BC2
c.  ΔBOM ∼ ΔONM, OM là phân giác của 
^
BMN.
d.  ON2 = CN. NM
Xem lời giải tại:
41. Cho ΔABC(AB < AC), đường phân giác AD. Qua điểm M là trung điểm của BC
kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB và AC lần lượt tại E và K. Chứng minh
rằng:
a.  AE = AK
b.  BE = CK
c.  CA.MK = BE. AD
Xem lời giải tại:
42. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Một đường thẳng đi qua giao điểm O của
hai đường chéo và song song với hai đáy, cắt BC ở I. Chứng minh rằng 
1
AB
+
1
CD
=
1
OI
.
Xem lời giải tại:
43. Cho ΔABC cân ở A, đường phân giác BD. Có BC = 5cm; AC = 20cm.
a.  Tính độ dài AD, DC
b.  Tính độ dài BD.
Xem lời giải tại:
44. Cho ΔABC cân ở A, có góc đáy bằng α. Trên cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các
điểm D, M, E sao cho 
^
DME = α. Chứng minh rằng ΔBDM ∼ ΔCME.
Xem lời giải tại:
45. Cho hình thang vuông ABCD Aˆ = Dˆ = 900 ,  M là trung điểm của AD và ( )
^
BMC = 900. Biết AD = 2a. Chứng minh rằng:
a.  AB. CD = a2
b.  ΔMAB ∼ ΔCMB
c.  BM là tia phân giác của 
^
ABC
Xem lời giải tại:
46. Cho ΔABC có AB = 15cm; AC = 21cm. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho 
AE = 7cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 5cm. Chứng minh rằng:
a.  ΔABD ∼ ΔACE
b.  ΔIBE ∼ ΔICD. Trong đó I là giao điểm của BD và CE
c.  IB. ID = IC. IE
Xem lời giải tại:
47. Cho ΔABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên
cạnh AC lấy điểm E sao cho DM là tia phân giác của góc 
^
BDE. Chứng minh rằng:
a.  EM là tia phân giác của 
^
CED
b.  ΔBDM ∼ ΔCME
c.  BD. CE = MB2
Xem lời giải tại:
NÂNG CAO VÀ MỞ RỘNG
BÀI TÂP LIÊN QUAN
48. Cho tam giác ABC, dựng hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác (hai đỉnh nằm
trên một cạnh, hai đỉnh còn lại nằm trên hai cạnh kia của tam giác). Xác định
dạng của hình chữ nhật khi diện tích đạt giá trị lớn nhất.
Xem lời giải tại:
49. Cho góc nhọn xAy, B và C lần lượt là điểm cố định trên Ax và Ay sao cho 
AB < AC, M là điểm di động sao cho MA :AB = 1: 2. Xác định vị trí điểm M để 
MB + 2MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
50. Cho tứ giác ABCD có diện tích S, điểm O nằm trong tứ giác. Chứng minh
rằng: OA2 + OB2 + OC2 + OD2 ≥ 2S, đẳng thức xảy ra khi nào?
Xem lời giải tại:
51. Cho góc nhọn xOy và điểm M cố định nằm trong góc đó. A và B là hai điểm
lần lượt di động trên các tia Ox và Oy sao cho 2OA = 3OB. Xác định vị trí của A
và B để tổng 2MA + 3MB là nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
52. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của BC. E và F lần lượt là hai điểm thuộc
AB và AC. Chứng minh rằng nếu AD, BF và CE đồng quy thì EF // BC.
Xem lời giải tại:
53. Cho góc 
^
xOy, trên tia Ox lấy hai điểm C và A, trên tia Oy lấy hai điểm D và B
sao cho AD cắt BC tại E. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại K, tia OE cắt AB
tại I.
Chứng minh rằng: 
IA
IB
=
KA
KB
.
Xem lời giải tại:
54. Cho tam giác ABC và điểm I thuộc miền trong tam giác. Qua I kẻ các đường
thẳng MN, PQ, RS lần lượt song song với BC, CA, AB (M, Q thuộc AB; P, R thuộc
BC; N, S thuộc AC).
Chứng minh rằng: 
IM
IN
.
IP
IQ
.
IS
IR
= 1.
Xem lời giải tại:
55. Cho hình bình hành ABCD, M và N lần lượt là hai điểm bất kì trên AB và AD.
Đường thẳng qua M song song với AD cắt CD tại E, đường thẳng qua N song
song với AB cắt BC tại F. Chứng minh rằng AC, NE, MF đồng quy.
Xem lời giải tại:
56. Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì nằm trên trung tuyến AD. I và K lần lượt
là trung điểm của MB và MC. Gọi P là giao điểm của ID với AB, Q là giao điểm của
DK với AC. Chứng minh rằng PQ // IK.
Xem lời giải tại:
57. Cho tam giác ABC có diện tích S. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC,
CA, AB sao cho 
MB
MC
=
NC
NA
=
PA
PB
= k (0 < k ≠ 1). Gọi H, I, K lần lượt là giao điểm
của BN với CP, CP với AM, AM với BN. Tính diện tích tam giác HIK theo S và k.
Xem lời giải tại:
58. Cho hình bình hành ABCD, cạnh AB cố định, cạnh CD chuyển động trên
đường thẳng d song song với AB. Gọi I là trung điểm của CD. Tia AI cắt BC tại N.
Tìm quỹ tích điểm N.
Xem lời giải tại:
59. Cho tam giác ABC cân tại A và điểm M chuyển động trên cạnh AB, điểm N
trên tia đối của tia CA sao cho NC = MB. Vẽ hình bình hành BMNP. Tìm tập hợp
điểm P khi điểm M chuyển động trên cạnh AB.
Xem lời giải tại:
60. Cho đoạn thẳng AB và điểm I di chuyển trên đoạn thẳng đó. Trên cùng một
nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AICD, BIEF. Gọi O và O' lần lượt là tâm
của hai hình vuông đó. Khi I di chuyển trên đoạn thẳng AB thì trung điểm M của
đoạn OO' chuyển động trên đường nào?
Xem lời giải tại:
61. Cho góc vuông xOy và điểm A cố định thuộc cạnh Ox (A khác O), điểm C
chuyển động trên cạnh Oy. Vẽ tam giác đều ACB nằm trong góc xOy. Tìm tập hợp
các đỉnh B của tam giác ACB.
Xem lời giải tại:
62. Cho góc xOy, hai điểm A, B lần lượt di động trên hai tia Ox và Oy sao cho 
1
OA
+
1
OB
=
1
m
, với m là một độ dài cho trước. Chứng minh rằng đường thẳng
AB luôn đi qua một điểm cố định.
Xem lời giải tại:
63. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BO, AO.
Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt BC tại E và tia FN cắt AD tại K. Chứng
minh rằng:
a. 
BA
BF
+
BC
BE
= 4
b.  BE + AK ≥ BC
Xem lời giải tại:
64. Cho tứ giác ABCD gọi O là trung điểm của cạnh BC và E là điểm đối xứng của
D qua O. Một điểm M di động trên cạnh AD, đường thẳng EM cắt OA tại I. Từ I kẻ
đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại K và H. Chứng minh rằng
biểu thức: 
AB
AK
+
AC
AH
−
AD
AM
 có giá trị không đổi.
Xem lời giải tại:
65. Cho ΔABC, M, N, P lần lượt là các điểm trên cạnh BC, CA, AB. AM cắt BN và
CP lần lượt tại I và K, BN cắt CP tại J. Chứng minh rằng: Nếu 
SAIN = SBJP = SCKM = SIJK thì SAPIJ = SBMKJ = SCNIK
Xem lời giải tại:
66. Lấy một điểm O trong ΔABC, các tia OA, OB, OC cắt BC, AC, AB lần lượt tại P,
Q, R. Chứng minh rằng 
OA
AP
+
OB
BQ
+
OC
CR
= 2
Xem lời giải tại:
67. Cho A’, B’, C’ lần lượt nằm trên cạnh BC, AC, AB của ΔABC biết rằng 
AA ′ , BB ′ , CC ′  đồng quy tại M. Chứng minh rằng 
AM
A ′M
=
AB ′
CB ′
+
AC ′
BC ′
Xem lời giải tại:
68. Cho ΔABC gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác, A’, B’, C’ lần
lượt là giao điểm của AM với BC, BM với AC, và CM với AB thì ta công nhận hệ
thức 
MA ′
AA ′
+
MB ′
BB ′
+
MC ′
CC ′
= 1. Đường thẳng qua M và trọng tâm G của tam giác
cắt BC, CA, AB lần lượt tại A1; B1; C1. Tính 
MA1
GA1
+
MB1
GB1
+
MC1
GC1
 ?
Xem lời giải tại:
69. Cho ΔABC, lấy các điểm D và M sao cho D ∈ BC;M ∈ AD. Gọi I, K lần lượt là
trung điểm của MB, MC. Gọi E là giao điểm của DI và AB, F là giao điểm của DK
và AC. Chứng minh rằng IK//EF
Xem lời giải tại:
70. Cho ΔABC cân tại A có AB = AC = b; BC = a. Đường phân giác BD của ΔABC
có độ dài bằng cạnh bên AB của ΔABC. Chứng minh rằng 
1
b
−
1
a
=
b
(a + b)2
Xem lời giải tại:
71. Cho ΔABD có Aˆ = 900. Vẽ đường cao AH. Gọi M là điểm đối xứng với A qua
H. Trên đoạn thẳng MH lấy điểm E bất kỳ, qua điểm D kẻ đường thẳng vuông góc
với tia BE tại C và cắt AH tại F.
a.  Chứng minh rằng: AH2 = BH. HD = HE. HF
b.  Chứng minh rằng: 
AF
AE
=
MF
ME
Xem lời giải tại:
72. Từ điểm M nằm trong ΔABC lần lượt vẽ các đường thẳng vuông góc với BC,
CA, AB tại D, E, F. Trên các tia MD, ME, MF lần lượt lấy các điểm A ′ , B ′ , C ′  sao
cho 
MA ′
BC
=
MB ′
CA
=
MC ′
AB
. Chứng minh rằng M là trọng tâm của ΔA ′B ′C ′
Xem lời giải tại:
73. Cho ΔABC không cân, M là điểm nằm trong ΔABC sao cho 
^
AMB − Cˆ =
^
AMC − Bˆ. Chứng minh rằng 
MB
MC
=
AB
AC
Xem lời giải tại:
74. Cho ΔABC(AB = c; AC = b; BC = a). I là giao điểm của các đường phân giác
trong của ΔABC. Chứng minh rằng 
IA2
bc
+
IB2
ca
+
IC2
ab
= 1
Xem lời giải tại:
75. Cho ΔABC. Gọi AM và AD lần lượt là đường trung tuyến và đường phân giác
của ΔABC. Đường thẳng đối xứng với AM qua AD cắt BC tại N. Chứng minh rằng 
BN
CN
=
AB2
AC2
.
Xem lời giải tại:
76. Cho ΔABC cân, có Aˆ = 200; AB = AC = b; BC = a. Chứng minh rằng 
a3 + b3 = 3ab2
Xem lời giải tại:
77. Cho hình bình hành ABCD và điểm M nằm trong hình hình bình hành. Giả sử 
^
MAB =
^
MCB. Chứng minh rằng 
^
MDC =
^
MBC.
Xem lời giải tại:
78. Cho tứ giác ABCD trong đó có 
^
ABC =
^
ADC;
^
ABC +
^
BCD < 1800. Gọi E là giao
điểm của hai đường thẳng AB, CD. Chứng minh rằng AC2 = CD. CE − AB. AE
Xem lời giải tại:
79. Cho ΔABC, một đường thẳng d không đi qua các đỉnh của tam giác, cắt các
đường thẳng BC, AC, AB thứ tự ở A’, B’, C’. Chứng minh rằng 
B ′A
B ′C
.
A ′C
A ′B
.
C ′B
C ′A
= 1
Xem lời giải tại:
80. Cho ΔABC, các điểm A’, B’, C’ theo thứ tự thuộc các cạnh BC, AC, AB sao cho
AA’, BB’, CC’ đồng quy ở O. Chứng minh rằng: 
B ′A
B ′C
.
A ′C
A ′B
.
C ′B
C ′A
= 1
Xem lời giải tại:
81. Cho ΔABC, M là điểm bất kỳ trong tam giác, các đường thẳng AM, BM, CM
theo thứ tự cắt các cạnh BC, CA, AB tại N, P, Q. Gọi R là giao điểm của PQ và BC.
Chứng minh rằng 
NB
NC
=
RB
RC
.
Xem lời giải tại:
82. Cho ΔABC, I là điểm nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI lần lượt cắt BC, AC,
AB tại A’, B’, C’. Xác định vị trí I để tích AB ′ . CA ′ . BC ′  có giá trị lớn nhất.
Xem lời giải tại:
83. Cho ba điểm phân biệt và thẳng hàng A, B, C. Chứng minh rằng điều kiện cần
và đủ để A là trung điểm của BC là: (A, B, C) = (A, C, B).
Xem lời giải tại:
84. Cho ba điểm phân biệt và thẳng hàng A, B, C với (A, B, C) = k. Hãy tính các tỉ
số (B, CA), (C, A, B)
Xem lời giải tại:
85. Cho hai hình bình hành ABCD và AB'C'D' trong đó ba điểm A, B, B' thẳng
hàng, ba điểm A, D, D' thẳng hàng. Gọi I là giao điểm của