Bài tập tổng hợp bất phương trình bậc nhất một ẩn

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Loading [MathJax]/jax/output/HTML‐CSS/jax.js
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI TẬP LIÊN QUAN
1. Giải các bất phương trình
a.  3x − 5 > 2(x − 1) + x
b.  (x + 2)2 − (x − 2)2 > 8x − 2
c.  1 + x −
x − 3
4
>
x + 1
4
−
x − 2
3
d.  2x2 + 2x + 1 −
15(x − 1)
2
≥ 2x(x + 1)
Xem lời giải tại:
2. Giải các bất phương trình
a.  (x + 3)2 − (x − 3)2 ≤ 3(x + 1)
b.  2(x + 3)(x + 4) > (x − 2)2 + (x − 1)2
c.  5x2 − 18x + 19 − (2x − 3)2 > 0
Xem lời giải tại:
3. Giải bất phương trình
a. 
(3x − 2)2
4
−
3(x − 2)
8
− 1 >
−1, 5x(5 − 3x)
2
b.  2x2 + 2x −
15(x − 1)
2
> 2x(x − 2, 75) − 1
c. 
5x2 − 3
5
+
3x − 1
4
<
x(2x + 3)
2
− 5
Xem lời giải tại:
4. Tìm số nguyên dương x thỏa mãn đồng thời hai bất phương trình sau:
x − 1 −
x − 1
3
<
2x + 3
2
+
x
3
− 1 (1)
x + 4
5
− x + 5 >
x + 3
3
−
x − 2
2
(2)
Xem lời giải tại:
5. Tìm các giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương trình 
(x − 3)2
3
−
(2x − 1)2
12
≤ x (1)
2 +
(x + 1)
3
< 3 −
x − 1
4
(2)
Xem lời giải tại:
6. Giải các bất phương trình sau:
a.  x3 − 2x2 + 3x − 6 < 0
b.  x2 − 4x + 3 ≥ 0
c.  x2 − x − 2 < 0
Xem lời giải tại:
7. Giải các bất phương trình
a.  3x2 − 6x + 7 < 0
b. 
4x − 3
x + 2
> 5
c. 
x + 5
x + 6
< 1
d. 
2x + 1
x + 2
≤ 1
Xem lời giải tại:
8. Với giá trị nào của x thì:
a.  Giá trị biểu thức 
3x − 7
21
−
x(x − 3)
7
 không lớn hơn giá trị biểu thức 
x − 2
3
−
x(x + 1)
7
?
b.  Giá trị biểu thức 
x(x − 5)
9
−
x + 5
4
 không nhỏ hơn giá trị của biểu thức 
(x − 1)2
9
−
x + 3
12
?
c.  Biểu thức 
2x − 3
35
+
x(x − 2)
7
 lớn hơn giá trị của biểu thức 
x2
7
−
2x − 3
5
Xem lời giải tại:
9. Giải các bất phương trình sau:
a. 
2x(3x − 3)
x2 + 1
< 0
b. 
x
x − 2
+
x + 2
x
> 2
c. 
2x − 3
x + 5
≥ 3
d. 
x − 1
x − 3
> 1
Xem lời giải tại:
10. Với giá trị nào của m thì biểu thức
a. 
m − 2
4
+
3m + 1
3
 có giá trị âm
b. 
m − 4
6m + 9
 có giá trị dương
c. 
2m − 3
2m + 3
+
2m + 3
2m − 3
 có giá trị âm
Xem lời giải tại:
11. Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a.  |x − 4| + |x − 9| = 5
b.  |x − 3| >
x + 1
2
Xem lời giải tại:
12. Giải bất phương trình
a.  |2x − 1| < x + 1
b.  |x − 2| >
x + 1
2
c.  |x − 1| + |x − 2| > x + 3
Xem lời giải tại:
13. Giải các phương trình
a.  |3x − 2| = 1 − x
b.  ||x + 1| − 1| = 5
c.  |2 − x| = |2x − 3|
d.  |x − 1| + |2 − x| = 3
Xem lời giải tại:
14. Giải phương trình
a.  10x − 10 + |3x − 5| − 5(2x + 3) = 0
b.  (x − 2)2 + |x − 5| − x2 − 14 = 0
c.  (x + 1)2 − |3 − 2x| − (x + 2)2 + 6 = 0
d.  x2 + 4x + 3 + |2x − 5| − (x + 1)(x + 3) − 5 + 2x = 0
Xem lời giải tại:
15. Giải các bất phương trình sau:
a.  2|x − 1| < x + 1
b. 
2x2 − 10x
1 − x
≤ 0
Xem lời giải tại:
16. Cho các phương trình:
|x + 1| + |2 − x| = − 4x2 + 12x − 10 (1)
|x − 3| + |5 − x| = a − 3 (a là hằng số) (2)
a.  Chứng minh rằng với mọi giá trị của x, phương trình (1) vô nghiệm
b.  Với giá trị nào của a thì phương trình (2) vô nghiệm.
Xem lời giải tại:
17. a. Cho 4x + y = 1. Chứng minh rằng: 4x2 + y2 ≥
1
5
b. Cho x + y + z = 1. Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 ≥
1
3
Xem lời giải tại:
18. Chứng minh rằng với mọi số a, b, c ta luôn có
a.  a2 + 5b2 − 4ab + 2a − 6b + 3 > 0
b.  a2 + 2b2 − 2ab + 2a − 4b + 2 ≥ 0
Xem lời giải tại:
19. Cho B =
2 + a
2 − a
−
4a2
a2 − 4
−
2 − a
2 + a
.
a2 − 2a
a2 − a( )
a.  Rút gọn B
b.  Tìm các giá trị nguyên của a để B có giá trị nguyên.
c.  Tìm a để B > 0
Xem lời giải tại:
20. Cho biểu thức
A =
2
x + 1
x + 1
3x
− x − 1 −
2
3x
:
x − 1
x
a.  Rút gọn
b.  Chứng minh khi x > 1 thì A < 0
c.  Tính A khi |2x − 1| = 5
Xem lời giải tại:
21. Tìm x để biểu thức: M =
x2 − 4x + 4
x3 − 2x2 − 4x + 8
 có giá trị dương
Xem lời giải tại:
22. Cho biểu thức: A =
3
2x + 4
+
x
2 − x
+
2x2 + 3
x2 − 4
:
2x − 1
4x − 8
a.  Rút gọn
b.  Tính x để A < 2
c.  Tìm x để |A| = 1
Xem lời giải tại:
23. Cho biểu thức : D =
2x2 + 1
x3 − 1
−
1
x − 1
: 1 −
x2 + 3
x2 + x + 1
a.  Rút gọn D
[ ( ) ]
( )
( ) ( )
b.  Tìm giá trị của x để D = 3
c.  Tìm những giá trị nguyên dương của x để D < 0
d.  Tìm GTNN của biểu thức x.D biết x > 2
Xem lời giải tại:
24. Cho biểu thức: N =
a 1 − a2
2
1 + a2
:
1 − a3
1 − a
+ a
1 + a3
1 + a
− a
a.  Rút gọn
b.  Chứng minh N < 1
Xem lời giải tại:
25. Cho biểu thức: P =
15x − 11
x2 + 2x − 3
+
3x − 2
1 − x
−
2x + 3
x + 3
a.  Rút gọn P
b.  Tìm x để P > 1
Xem lời giải tại:
26. Tìm x để B =
x
x + 2
−
x3 − 8
x3 + 8
.
x2 − 2x + 4
x2 − 4
:
4
x + 2
 có giá trị âm 
Xem lời giải tại:
27. Cho biểu thức: P =
4x
2 + x
+
8x2
4 − x2
:
x − 1
x2 − 2x
−
2
x
a.  Rút gọn P
b.  Tìm x để P = − 1
c.  Với x > 3, tìm giá trị nhỏ nhất của P
( ) [( )( )]
( )
( ) ( )
Xem lời giải tại:
28. Cho biểu thức: A =
x3 + 26x − 19
x2 + 2x − 3
−
2x
x − 1
+
x − 3
x + 3
a.  Rút gọn.
b.  Tính giá trị của x để A = 4; A > 0; A < 4
c.  Tìm giá trị của x để biểu thức B = A(x + 3) − 7x đạt giá trị nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
29. Cho biểu thức: P =
4
x2 − 2x + 1
−
x
x2 − 1
−
1
x3 − x
:
x2 − 2x + 1
x3 + x
a.  Rút gọn P
b.  So sánh P với – 2
c.  Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Xem lời giải tại:
30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
a.  A = |x − 2| + |x − 5|
b.  B = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
c.  C =
1
2x − x2 − 4
Xem lời giải tại:
31. Tìm giá trị của m để:
a.  Nghiệm phương trình 
m − 2
x − 2
= 2 + m lớn hơn 2.
b.  Phương trình 
5
x − 1
= 3 − m có nghiệm âm.
( )
Xem lời giải tại:
32. Giải và biện luận bất phương trình 
x + 3
m
+ m > x + 4
Xem lời giải tại:
33. Tìm m để bất phương trình
a.  m2 + m + 1 x + 3m ≥ m2 + 2 x + 5m − 1 vô nghiệm
b.  m2x ≥ 9x + m2 + 3m có nghiệm đúng ∀x ∈ R
Xem lời giải tại:
34. Cho x và y thỏa mãn điều kiện x + y = 2. Chứng minh rằng: x4 + y4 ≥ 2
Xem lời giải tại:
35. a. Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1. Chứng minh rằng :
(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
b. Cho a, b là các số không âm. Chứng minh rằng :
(a + b)(ab + 1) ≥ 4ab
Xem lời giải tại:
36. Giải các bất phương trình
a. 
2x − 100
900
+
2x − 200
800
>
2x − 500
500
+
2x − 900
100
( ) ( )
b.  1 +
2
4
1 +
2
10
1 +
2
18
. . . 1 +
2
108
x >
x2
2
+ 3
Xem lời giải tại:
BẤT ĐẲNG THỨC
( )( )( ) ( )
BẤT ĐẲNG THỨC
BÀI TẬP LIÊN QUAN
37. Với các số dương a, b, c chứng minh rằng:
a.  (a + b)
1
a
+
1
b
≥ 4.
b.  (a + b + c)
1
a
+
1
b
+
1
c
≥ 9.
Xem lời giải tại:
38. Chứng minh (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz với x, y, z không âm.
Xem lời giải tại:
39. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, chứng minh rằng: 
abc ≥ (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c).
Xem lời giải tại:
40. Với mọi số thực x, chứng minh rằng:
a.  | x + 1002 | + | x − 1002 | ≥ 2014
b.  | x + 1945 | − | x − 30 | ≤ 1975
Xem lời giải tại:
41. Chứng minh rằng với các số dương a, b, c ta có: 
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
≥ a + b + c.
( )
( )
Xem lời giải tại:
42. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
a
2a2 + bc
+
b
2b2 + ac
+
c
2c2 + ab
≥ abc.
Xem lời giải tại:
43. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có:
Sn =
1
n + 1
+
1
n + 2
+
1
n + 3
+ . . . +
1
2n
>
13
24
.
Xem lời giải tại:
44. Cho ba số a, b, c thỏa mãn 0 < a ≤ b ≤ c. Chứng minh rằng: 
a
b
+
c
c
+
c
a
≥
b
a
+
c
b
+
a
c
.
Xem lời giải tại:
45. Cho các số thực a, b, c và x, y, z thỏa mãn a ≥ b ≥ c và x ≥ y ≥ z.
Chứng minh rằng: 3(ax + by + cz) ≥ (a + b + c)(x + y + z).
Xem lời giải tại:
46. Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có:
| x + y − z | + | y + z − x | + | z + x − y | + | x + y + z | ≥ 2( | x | + | y | + | z | )
Xem lời giải tại:
47. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a.  |x + 2| + |3 − x| ≥ 5
b.  |x + 2| + |x − 5| ≥ 7
c.  |3x + 8| ≥ 6 − |3x + 2|
d.  |997 − x| + |999 − x| ≥ 2
Xem lời giải tại:
48. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a.  x2 + 4x + 8 > 0
b.  x2 + 3x + 3 > 0
c.  −x2 + 5x − 10 < 0
d.  −4x2 + 8x − 9 < 0
Xem lời giải tại:
49. Chứng minh rằng
a. 
a + b
2
2
≥ ab
b.  a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc
c.  a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2a + 2b + 2c
d. 
a
b
+
b
a
≥ 2 với ab > 0
Xem lời giải tại:
50. Chứng minh bất đẳng thức
a.  (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + xz)
b.  x2 1 + y2 + y2 1 + z2 + z2 1 + x2 ≥ 6xyz
( )
( ) ( ) ( )
Xem lời giải tại:
51. Cho a; b là hai số dương. Chứng minh
a.  (a + b) a3 + b3 ≤ 2 a4 + b4
b.  (a + b) a4 + b4 ≥ a2 + b2 a3 + b3
Xem lời giải tại:
52. Cho a2 + b2 ≤ 2. Chứng minh: a +  b  ≤ 2
Xem lời giải tại:
53. Cho hai số a và b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. Chứng minh:
a.  a2 + b2 ≥
1
2
b.  a4 + b4 ≥
1
8
Xem lời giải tại:
54. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng 1 <
a
a + b
+
b
b + c
+
c
c + a
< 2
Xem lời giải tại:
55. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh
a. 
1
a
+
1
b
+
1
c
≥ 9
b.  a2 + b2 + c2 ≥
1
3
( ) ( )
( ) ( )( )
Xem lời giải tại:
56. Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng
a.  (a + b)
1
a
+
1
b
≥ 4
b.  (a + b + c)
1
a
+
1
b
+
1
c
≥ 9
Xem lời giải tại:
57. Chứng minh rằng:
a.  A =
1
5.8
+
1
8.11
+ . . . +
1
(3n + 2)(3n + 5)
<
1
15
 với n ∈ N∗
b.  B =
1
32
+
1
52
+
1
72
+ . . . +
1
(2n + 1)2
<
1
4
Xem lời giải tại:
58. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh 
1
a + b − c
+
1
b + c − a
+
1
c + a − b
≥
1
a
+
1
b
+
1
c
Xem lời giải tại:
59. Cho x > 0; y > 0; z > 0. Chứng minh
a. 
1
x
+
1
y
−
1
z
<
1
xyz
 với x2 + y2 + z2 =
5
3
b. 
x4
y4
+
y4
x4
−
x2
y2
−
y2
x2
+
x
y
+
y
x
≥ 2
Xem lời giải tại:
( )
( )
60. Chứng minh rằng không có ba số dương a, b, c nào thỏa mãn cả ba bất đẳng
thức
a +
1
b
< 2; b +
1
c
< 2; c +
1
a
< 2
Xem lời giải tại:
61. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2
Sn =
1
n + 1
+
1
n + 2
+
1
n + 3
+ . . . +
1
2n
>
13
24
Xem lời giải tại:
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ‐ GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT
BÀI TẬP LIÊN QUAN
62. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
a.  A = |x − 2| + |x − 5|
b.  B = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
c.  C =
1
2x − x2 − 4
Xem lời giải tại:
63. Tìm giá trị của x để
a.  Biểu thức D =
x2 − 2x + 2013
x2
(x ≠ 0) đạt giá trị nhỏ nhất.
b.  Biểu thức E =
−x2 + x − 10
x2 − 2x + 1
(x ≠ 1) đạt giá trị lớn nhất.
Xem lời giải tại:
64. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =
8x + 12
x2 + 4
Xem lời giải tại:
65. Tìm:
a.  Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 − 4x + 24.
b.  Tìm giá trị lớn nhất của : B = − 3x2 − 2x + 1.
Xem lời giải tại:
66. Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện : 3x + y = 1.
a.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = 3x2 + y2.
b.  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = xy.
Xem lời giải tại:
67. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3.
a.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a2 + b2 + c2
b.  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = ab + bc + ca
c.  Tìm giá trị nhỏ nhất của C = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca.
Xem lời giải tại:
68. Tìm:
a.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x(x + 1)(x2 + x − 4).
b.  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = − x2 − y2 + xy + 2x + 2y.
Xem lời giải tại:
69. Tìm giá trị nhỏ nhất:
a.  A ( x , y ) = x
2 − 2x + 4y2 + 4y + 2014.
b.  B ( x , y , z ) = 2x
2 + 2y2 + z2 + 2xy − 2xz − 2yz − 2x − 4y.
Xem lời giải tại:
70. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
x2 + x + 1
x2 + 2x + 1
 (x ≠ − 1).
Xem lời giải tại:
71. Tìm giá trị lớn nhất của B =
x2 + 2x + 3
x2 + 2
.
Xem lời giải tại:
72. Cho a, b > 1 và a + b = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của: B =
a
a − 1
.
b
b − 1
.
Xem lời giải tại:
73. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = | x − 2035 | + | x − 2036 | .
Xem lời giải tại:
74. Cho a, b, c > 0, tính giá trị nhỏ nhất của:
A =
a
b + c
+
b + c
a
+
b
c + a
+
c + a
b
+
c
a + b
+
a + b
c
.
Xem lời giải tại:
NÂNG CAO VÀ MỞ RỘNG
BÀI TẬP LIÊN QUAN
75. Cho a là số thực bất kì, chứng minh rằng: 
a2010 + 2010
√a2010 + 2009
> 2
Xem lời giải tại:
76. Với x > 0, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 3x2 +
2
x3
Xem lời giải tại:
77. Với x ≥ 9, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
√x − 9
5x
Xem lời giải tại:
78. Cho 36x2 + 16y2 = 9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = y − 2x + 5
Xem lời giải tại:
79. Cho a, b > c và c > 0. Chứng minh rằng: √c(a − c) + √c(b − c) ≤ √ab
Xem lời giải tại:
80. Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
ab
a5 + b5 + ab
+
bc
b5 + c5 + bc
+
ca
c5 + a5 + ca
≤ 1
Xem lời giải tại:
81. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
ab
c
+
bc
a
+
ca
b
≥ a + b + c
Xem lời giải tại:
82. Cho a > b ≥ 0. Chứng minh rằng a +
4
(a − b)(b + 1)2
≥ 3
Xem lời giải tại:
83. Cho a2 + b2 + 9 = 6a + 4b. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
Q = 3a + 4b
Xem lời giải tại:
84. Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:
a
b + c + d
+
b
c + d + a
+
c
d + a + b
+
d
a + b + c
> 2
Xem lời giải tại:
√ √ √ √
85. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh 
(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) ≤ abc
Xem lời giải tại:
86. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a3 + b3
2ab
+
b3 + c3
2bc
+
c3 + a3
2ca
≥ a + b + c
Xem lời giải tại:
87. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
1
x2 + y2
+
2
xy
+ 4xy
Với x > 0; y > 0; x + y ≤ 1
Xem lời giải tại:
88. Cho 3 số a, b, c ≠ 0 thỏa mãn: abc = 1 và 
a
b3
+
b
c3
+
c
a3
=
b3
a
+
c3
b
+
a3
c
. 
Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c luôn tồn tại một số là lập phương của một
trong hai số còn lại.
Xem lời giải tại:
89. Cho x, y, z là 3 số thực dương thoả mãn x2 + y2 + z2 = 2. Chứng minh: 
2
x2 + y2
 + 
2
y2 + z2
 +
2
z2 + x2
  ≤  
x3 + y3 + z3
2 xyz
 + 3.
 Xem lời giải tại:
90. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
P =
1
16x
+
1
4y
+
1
z
Xem lời giải tại:
91. Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng :
1
a
+
1
b
+
4
c
+
16
d
≥
64
a + b + c + d
Xem lời giải tại:
92. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và chu vi bằng 3
Chứng minh rằng 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13
Xem lời giải tại: