Bài tập thể tích

BÀI TẬP THỂ TÍCH
Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách giữa AA’ 
 và BC là 
Bài giải
A
B
C
C’
B’
A’
H
O
M
Gọi M là trung điểm BC ta thấy: 
Kẻ (do nhọn nên H thuộc trong đoạn AA’.)
Do .
Vậy HM là đọan vông góc chung củaAA’và BC, do đó .
Xét 2 tam giác đồng dạng AA’O và AMH, ta có: 
 suy ra 
Thể tích khối lăng trụ: 
Câu 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của AA’. Tính thể tích của khối tứ diện BMB’C’ theo a và chứng minh rằng BM vuông góc với B’C.
Lấy B’ trên OB; C’ trên OC sao cho 
Lấy M là trung điểm của B’C’ Kẻ 
Ta có 
Vậy 
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng .
Bài giải
M
N
O
C
A
D
B
S
G
+ Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC tại M, trong mp(SBD) kẻ BG cắt SD tại N.
+ Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên dễ có
 suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD.
 Từ đó suy ra M, N lần lượt là trung điểm của 
SC, SD. 
+ Dễ có: .
 Theo công thức tỷ số thể tích ta có:
Từ đó suy ra:
+ Ta có: ; mà theo giả thiết nên góc hợp bởi AN với mp(ABCD) chính là góc , lại có N là trung điểm của SC nên tam giác NAD cân tại N, suy ra 
 Suy ra: .
Suy ra: .
Câu 4: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N là các điểm lần lượt di động trên các cạnh AB, AC sao cho . Đặt AM = x, AN = y. Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y. Chứng minh rằng: 
Dựng 
Do mà là 
tứ diện đều nên là tâm tam giác đều .
Trong tam giác vuông DHA: 
Diện tích tam giác là 
Thể tích tứ diện là 
Ta có: 
Û
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy (ABC) là tam giác đều cạnh a. Chân đường vuông góc hạ từ 
S xuống mặt phẳng (ABC) là một điểm thuộc BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA 
biết SA=a và SA tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 300. 
Bài giải
Gọi chân đường vuông góc hạ từ S xuống BC là H.
Xét DSHA(vuông tại H), 
Mà DABC đều cạnh a, mà cạnh 
=> H là trung điểm của cạnh BC
=> AH ^ BC, mà SH ^ BC => BC^(SAH)
Từ H hạ đường vuông góc xuống SA tại K
=> HK là khoảng cách giữa BC và SA
=> 
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA bằng 
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, các mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh S. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 600. Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) .
Bài giải
*Gọi H là trung điểm BC , chứng minh 
*Xác định đúng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) , (SAC) với mặt đáy là 
*Kẻ , lập luận suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng .
*Lập luận và tính được AC=AB=a ,, 
*Tam giác SHK vuông tại H có 
 *Tam giác AHK vuông tại H có 
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC = . , . Tính thể tích khối chóp S.ABC. 
Bài giải
S
A
B
C
M
N
Theo định lí côsin ta có: 
Suy ra . Tương tự ta cũng có SC = a. 
Gọi M là trung điểm của SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB ^ SA, MC ^ SA. Suy ra SA ^ (MBC).
Ta có 
Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau. Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân tại M. Gọi N là trung điểm của BC suy ra MN ^ BC. Tương tự ta cũng có MN ^ SA. 
. 
Do đó 
Câu 8: Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai đỉnh S và S’ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lượt là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC. Tính thể tích phần chung của hai hình chóp, biết rằng SH = S’K =h. 
Bài giải
SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung điểm SB, S’D : 
 ;
;
Câu 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA vuông góc với mp (ABCD) và SA = a; M là trung điểm cạnh SD.
a) Mặt phẳng (a) đi qua OM và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) cắt hình chóp SABCD theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a.
b) Gọi H là trung điểm của CM; I là điểm thay đổi trên SD. Chứng minh OH ^ (SCD); và hình chiếu của O trên CI thuộc đường tròn cố định.
Bài giải
a. Kẻ MQ//SA => 
Thiết diện là hình thang vuông MNPQ (MN//PQ)
 (đvdt)
b. 
Gọi K là hình chiếu của O trên CI 
Trong mp(SCD) : H, K cố định, góc HKC vuông => K thuộc đường tròn đg kính HC
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng đường cao, bằng a.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB
Bài giải
Vì AB//mp(SDC) d(AB,SC) = d(AB,mp(SDC))
Lấy M,N lần lượt là trung điểm của AB,DC;Gọi O = ACBDmp(SMN)mp(SDC)
Hạ MHSN , (HSN) MHmp(SDC) MH = d(M;(SDC)) 
 = d(AB;(SDC))= d(AB;SC)
 * Tính MH: Hạ OISN MH = 2.OI
 SNO vuông có: 
Với ON = ; OS = . Ta tính được OI = MH= 
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = , BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài giải
Từ giả thiết AC = ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = ; BO = a , do đó 
Hay tam giác ABD đều.
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ^ (ABCD).
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có và DH = ; OK // DH và Þ OK ^ AB Þ AB ^ (SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ^ SK; AB ^ OI Þ OI ^ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
S
A
B
K
H
C
O
I
D
a
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao Þ 
Diện tích đáy ; 
đường cao của hình chóp .
Thể tích khối chóp S.ABCD: 
Câu 12: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a; cạnh bên AA’ = b. Gọi là góc giữa hai mp(ABC) và mp(A’BC). Tính và thể tích chóp A’.BCC’B’.
Bài giải 
Gọi O là tâm đáy suy ra và góc 
*)Tính 
 với 
*)Tính 
Câu 13: 
Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A1B1C1 cã tÊt c¶ c¸c c¹nh b»ng a, gãc t¹o bëi c¹nh bªn vµ mÆt ph¼ng ®¸y b»ng 300. H×nh chiÕu H cña ®iÓm A trªn mÆt ph¼ng (A1B1C1) thuéc ®êng th¼ng B1C1. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng AA1 vµ B1C1 theo a.Bài giải
A1
A
B
C
C1
B1
K
H
Do nªn gãc lµ gãc gi÷a AA1 vµ (A1B1C1), theo gi¶ thiÕt th× gãc b»ng 300. XÐt tam gi¸c vu«ng AHA1 cã AA1 = a, gãc =300 . Do tam gi¸c A1B1C1 lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, H thuéc B1C1 vµ nªn A1H vu«ng gãc víi B1C1. MÆt kh¸c nªn 
KÎ ®êng cao HK cña tam gi¸c AA1H th× HK chÝnh lµ kho¶ng c¸ch gi÷a AA1 vµ B1C1
Ta cã AA1.HK = A1H.AH 
Câu 14: 
A
S
B
C
M
N
D
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 600 .Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =, mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N .Tính thể tích khối chóp S.BCNM 
Bài giải 
 Tính thể tích hình chóp SBCMN
	( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD 
	Ta có : . Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao 
	Ta có SA = AB tan600 = a , 
	Suy ra MN = . BM = 	Diện tích hình thang BCMN là : 
 S = 
	Hạ AH BM . Ta có SHBM và BC (SAB) BC SH . Vậy SH ( BCNM) 
 SH là đường cao của khối chóp SBCNM 
 Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , = . 
Vậy BM là phân giác của góc SBA SH = SB.sin300 = a 
	Gọi V là thể tích chóp SBCNM ta có V = = 
Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A (= 90o), AB=AC=a. Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc 60o. Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABC.
I
H
J
S
B
C
A
Bài giải
Kẻ SH vuông góc với BC. Suy ra SH ^ mp (ABC)
Kẻ SI vuông góc với AB và SJ ^ AC
Þgóc SIH=góc SJH = 60o Þ tam giác SHI = tam giác SHJ
Þ HI = HJ Þ AIHJ là hình vuông
Þ I là trung điểm AB Þ IH = a/2 
Trong tam giác vuông SHI ta có SH = 
V(SABC) = (đvtt)
Câu 16: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM
Bài giải 
Đặt V1=VS.AMN; V2=VA..BCNM; V=VS.ABC; 
	Þ 
	 Þ 
Câu 17: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có, hình chiếu vuông góc 
 của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng 
 (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp A’.ABC và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (A’BC).
Bài giải
Từ là hình chiếu của lên 
Gọi M là trung điểm BC. Từ giả thiết ta có: 
Vì 
Mặt khác vuông tại A
Và nên là chiều cao của khối chóp 
Thể tích của khối chóp được tính bởi:
(đvtt)
Kẻ AK ^ BC tại K và GI ^ BC tại I Þ GI // AK
Kẻ GH ^ A’I tại H (1)
Do: . Từ (1) và (2) Þ GH ^ (A’BC) 
 Ta có vuông tại có là đường cao nên :
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc .
O là giao điểm của AC và BD, H là trung điểm của BO, . Tìm thể tích của S.AHCD và tìm khoảng cách giữa AB và SC.
Bài giải 
Hình vẽ
S
A
B
C
D
O
K
H
I
N
J
L
 ta có đều nên BD=a 
Kẻ HN song song AB NAD kẻ HK vuông góc với HN, KCD 
kẻ HI vuông góc với SK , I thuộc SKkhoảng cách từ H tới (SCD) là HI , 
Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông cân tại C, AB =3a, . Gọi G là trọng tâm ∆ABC, SG (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC).
Bài giải 
NỘI DUNG
 S
 I B
 A G-
 K C
Gọi I là trung điểm của AB => 
∆IGB vuông tại I => GB2 = IG2 + IB2 = 
∆SGB vuông tại G => SG2 = SB2 - GB2 = a2 => SG = a.
Kẻ GK//BC (KÎAC) Þ AC ^ (SGK) Þ SK ^ AC
∆GKC vuông cân tại K Þ GK =GCsin450 = 
∆SGK vuông tại G Þ 
∆AIC vuông tại I Þ 
S∆SAC 
Câu 20: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng , góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng . Tính thể tích khối chóp
Bài giải
 	Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có 
Gọi I là trung điểm cạnh BC ta có (gt) suy ra . Gọi cạnh của tam giác đều ABC là
Ta có , và 
Lại có : (2)
Từ (1) và (2) ta có 
Vậy ta có : 
Và (Do tam giác ABC vuông cân )
Câu 21: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = a, AB=2a,
SA ^ (ABC). Góc giữa SC và (ABC) bằng 60o. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và chứng minh tam giác AHK vuông tại K.
Bài giải 
Ta có 
Góc giữa SC và (ABC) là nên ta có 
(đvtt)
Vì , 
mà suy ra , do đó , hay AHK vuông tại K. (đpcm)
Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có tạo với mặt phẳng đáy (ABC) một góc bằng . Tam giác ABC vuông tại B, ; G là trọng tâm của tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB) và (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Bài giải 
Gọi M là trung điểm của BC. Ta có 
(SGB) và (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) suy ra , SG là chiều cao của chóp S.ABC.
; (1)
 vuông tại B có . Đặt suy ra 
; (2)
Từ (1) và (2)suy ra 
;(đvtt).
Câu 23: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt bên kề nhau có độ dài bằng a. Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'D'.
Bài giải 
 B C
A D
 M K
 N 
 B' C'
 I
A' D'
+ Gọi M,N lần lượt là 2 tâm của 2 hình vuông ABB'A'; ADD'A'
 (đvtt)
+ Gọi I là giao của B'D' và A'C' 
Trong (AA'C') kẻ 
Vì 
Vậy: 
đồng dạng với.
Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’D’ bằng .
Câu 24: Cho hình lăng trụ có là hình chóp tam giác đều, , . Tính theo thể tích của khối chóp .
Bài giải 
Gọi E là trung điểm của BC, H là tâm của tam giác đều ABC 
Ta có 
 (đvtt).
Câu 25: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền bằng 3a, G là trọng tâm tam giác ABC, . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng theo a.
Bài giải 
Vì tam giác ABC vuông cân tại C, 
Gọi M là trung điểm AC
 (đvtt)
Kẻ 
Ta có . Kẻ 
Ta có 
Câu 26: Cho hình chóp có , tứ giác là hình thang cân với đáy lớn là , , . Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng thuộc đoạn thẳng , mặt bên tạo với mặt phẳng () một góc . Tính theo thể tích khối chóp .
Bài giải 
Kẻ tại 
Kẻ tại 
 Vì thuộc đoạn nên thuộc tia 
Đặt ; 
Mặt khác 
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên ; 
 (đvtt)
Câu 27: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và SA tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 300. Chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đường thẳng BC, điểm M thuộc cạnh SA sao cho Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC, SA và thể tích tứ diện SMHC theo a.
Bài giải 
 A
S
H
B
C
K
M
Xét DSHA(vuông tại H), có. Mà DABC đều cạnh a suy ra H là trung điểm cạnh BC, vậy AH ^ BC. 
Lại có SH ^ BC suy ra BC^(SAH). Hạ HK vuông góc với SA suy ra HK là khoảng cách giữa BC và SA. Ta có , vậy d(BC,SA)=
Dễ thấy 
Mà .
Câu 28: Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng 2a và góc . Mặt phẳng tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và .
Bài giải 
Thể tích và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và .
Gọi M là trung điểm của AB. Tam giác CAB cân tại C suy ra AB ^ CM. Mặt khác AB ^ . Gọi V là thể tích lăng trụ thì 
Ta có 
Mặt phẳng chứa và song song AB nên
, với N là trung điểm của và H là hình chiếu của M trên CN.
Do 
Tam giác vuông tại M nên
Câu 29: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trọng tâm G của ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC bằng . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
Bài giải 
Diện tích đáy là 
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có 
Gọi E là trung điểm của BC. Ta có 
Gọi D là hình chiếu vuông góc của E lên AA’. Suy ra 
. Vậy DE là khoảng cách giữa 2 đt
AA’ và BC 
Tam giác ADE vuông tại D suy ra 
Xét tam giác A’AG vuông tại G ta có 
Câu 30: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi K là trung điểm cạnh CD, góc giữa hai mặt phắng (SBK) và (ABCD) bằng 600. Chứng minh BK vuông góc với mặt phẳng (SAC).Tính thể tích khối chóp S. BCK theo a.
Bài giải 
Gọi I là giao điểm của AC và BK
Bằng lập luận chứng minh , từ đó suy ra được 
Góc giữa hai mp(SBK) và (ABCD) bằng góc 
Câu 31: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác 
 SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC).Hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với nhau một góc bằng .Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a .
Bài giải 
Gọi H là trung điểm của AB
Kẻ 
Nếu thì dễ thấy đều (vô lí) Vậy 
cân tại K 
Trong vuông tại H,đường cao 
KH có thay và vào ta được