Bài tập nhóm Tìm hiểu về thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng

I. Phân loại các dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng. 
Dạng 1: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng biết qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng.
Phương pháp giải:
- Xác định giao tuyến của mặt phẳng với từng mặt của hình đa diện.
- Từ các giao tuyến suy ra các đoạn giao tuyến.
- Nối các đoạn giao tuyến lại cho đến khi được một đa giác phẳng khép kín.
Ví dụ 1: Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và ; là một điểm thuộc cạnh khác với và . Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng .
Giải
Ta có:
* Tìm 
 (vì là đường trung bình của tam giác )
 với là đường thẳng qua và song song với và .
Gọi 
Khi đó: 
Ta có: 
Từ suy ra thiết diện là hình thang .
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ . Gọi lần lượt là trung điểm của . Dựng thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng .
Giải
* Tìm 
Gọi 
Suy ra (với )
Khi đó: 
Từ suy ra thiết diện là tứ giác .
Dạng 2: Thiết diện của một hình đa diện với mặt phẳng , biết chứa và song song với đường thẳng .
Phương pháp giải:
- Bước 1: Chọn mặt phẳng .
- Bước 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và .
- Bước 3: Tìm khi đó .
- Bước 4: Xác định giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình đa diện.
- Bước 5: Nối mỗi đoạn giao tuyến lại ta được thiết diện cần tìm.
Ví dụ 1: Cho hình chóp đáy là hình thang với các cạnh đáy là và . Gọi lần lượt là trung điểm của và . là trọng tâm của . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .
Giải.
Do lần lượt là trung điểm của và nên suy ra .
Vậy là mặt phẳng có chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước .
Chọn mặt phẳng .
G là điểm chung của hai mặt phẳng và .
Ta có:
Giải sử cắt tại và cắt tại , khi đó:
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang MNIJ.
Ví dụ 2: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Gọi là một điểm trên cạnh . Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng .
Giải.
Do I,J lần lượt là trung điểm của và . Nên suy ra .
Vậy là mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước .
* Chọn mặt phẳng 
* 
Vậy là điểm chung của hai mặt phẳng và .
Ta có:
Giả sử cắt tại khi đó:
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang .
Dạng 3: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng , biết mặt phẳng qua và song song với hai đường thẳng và.
Phương pháp:
Bước 1:Qua kẻ hai đường thẳng lần lượt song song với hai đường thẳng 
Bước 2:Tìm điểm chung của với một mặt nào đó của hình đa diện
Bước 3:Mặt phẳng nào chứa điểm chung và chứa đường thẳng hoặc thì tiếp tục kẻ đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng hoặc cho đến khi thiết diện được hình thành.
Ví dụ 1:
 Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành. Một mặt phẳng qua , song song với . Tìm thiết diện tạo bởi và hình chóp.
Giải
Tìm 
Ta có: 
 với là đoạn thẳng qua và song song , .
Tìm 
Ta có: 
 với .
Tìm 
Ta có: 
 với .
Ta có 
Từ suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác .
Ta lại có: 
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang 
Ví dụ 2 :Cho hình chóp , đáy là hình thang cân có không song song với . Gọi là trung điểm của và là mặt phẳng qua , song song với .
Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .
Giải
Tìm 
Ta có: 
 với.
(Ta có là trung điểm của suy ra là trung điểm của ).
Tìm 
Ta có: 
 với.
(là trung điểm của )
Tìm 
Ta có: 
 với.
(là trung điểm của ).
Tìm 
Gọi là giao điểm của với 
Chọn mặt phẳng phụ 
Tìm 
Ta có: 
với.
Suy ra 
Do đó ta có:
Từ suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giác .
Dạng 4: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng biết đi qua một điểm cho trước và song song với mặt phẳng 
Phương pháp giải:
Chọn mặt phẳng chứa điểm thuộc mặt phẳng sao cho giao tuyến của và là dễ tìm.
Xác định giao tuyến 
Kết luận giao tuyến của và là đường thẳng qua điểm thuộc và song song d.
Tiếp tục làm quá trình này cho đến khi thiết diện được hình thành.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi E là một điểm nằm trên cạnh AB. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng với là mặt phẳng qua E và 
Tìm 
Ta có: 
Với EF là đoạn thẳng qua E và song song với BC.
Tìm 
Ta có: 
Với EG là đoạn thẳng qua E và song song BD.
Nối đoạn FG ta có (3)
Từ (1)(2)(3) suy ra thiết diện cần tìm là tam giác EFG.
Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang, cạnh đáy AD, AD<BC. là mặt phẳng qua M trên cạnh AB và song song với mặt phẳng (SAD).
Tìm thiết diện của hình chóp với 
Tìm 
Ta có: 
Với MN là đoạn thẳng qua M song song AD.
Tìm 
Ta có: 
Với MK là đoạn thẳng qua M song song SA.
Tìm 
Ta có: 
Với NP là đoạn thẳng qua N song song SD.
Nối đoạn KP ta có 
Từ (1)(2)(3)(4) suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác MNPK.
Dạng 5 : Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng biết qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Phương pháp giải:
Để tìm thiết diện của khối đa diện với mặt phẳng , biết qua điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước, làm như sau:
Bước 1: Tìm hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau cùng vuông góc với .
Bước 2: Xác định mặt phẳng theo một trong bốn trường hợp:
i) ii) iii) iiii) 
Bước 3: Xác định thiết diện theo phương pháp đã học.
Ví dụ 1: Cho hình tứ diện có là tam giác đều. vuông góc với mặt phẳng . Gọi là trung điểm của , là một điểm thuộc . Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện và mặt phẳng , biết là mặt phẳng qua điểm và vuông góc với .
Giải
Tìm hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với .
Ta có: 
Xét tam giác đều , ta có là trung điểm của nên sẽ vuông góc với .
Vậy ta có hai đường thẳng và là hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với .
Xác định mặt phẳng :
Do qua và , nên sẽ được xác định theo cách :.
Khi đó :
Trong dựng cắt tại ( ta được ).
Trong dựng cắt tại ( ta được ).
Trong dựng cắt tại ( ta được ).
Xác định thiết của với tứ diện :
Ta có: 
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang vuông .
Ví dụ 2: Cho hình tứ diện có là tam giác đều. vuông góc với mặt phẳng . Lấy một điểm bất kì trên cạnh , gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với . Hãy xác định thiết diện tạo bởi tứ diện và mặt phẳng .
Giải
Tìm hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với .
Ta có: 
Xét tam giác đều , ta có là trung điểm của nên sẽ vuông góc với .
Vậy ta có hai đường thẳng và là hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với .
Xác định mặt phẳng :
Do qua và , nên sẽ được xác định theo cách :.
Khi đó :
Trong dựng cắt tại ( ta được ).
Trong dựng cắt tại ( ta được ).
Trong dựng cắt tại ( ta được ).
Xác định thiết của với tứ diện :
Ta có: 
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang vuông .
Dạng 6: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng biết chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng .
Phương pháp giải:
Từ một điểm ta dựng đường thẳng qua và vuông góc với .
Khi đó: 
Tìm giao tuyến của với các mặt của hình đa diện (sử dụng một trong các dạng trên sao cho giao tuyến dễ tìm).
Ví dụ 1: Cho tứ diện có đáy là tam giác vuông tại . Gọi là trung điểm cạnh là một điểm trên cạnh . Gọi là mặt phẳng chứa và vuông góc với . Xác định thiết diện của và tứ diện.
Giải:
Ta có: 
Ta lại có: 
Kẻ 
Nối ta được thiết diện cần tìm là hình thang .
Ví dụ 2: Cho hình chóp , là hình chữ nhật, . Gọi lần lượt là trung điểm của . Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với mặt . Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .Giải:
NHI VE HINH SAI QUYAC PHAI VUONG GOC
Ta có 
Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với SB tại K.
Do đó 
Ta có
Vậy giao tuyến là hình thang KNIJ. 
Dạng 7: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng biếtchứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng một góc 
Phương pháp giải:
Đối với các bài toán yêu cầu tìm thiết diện khi cho biết các điều kiện về góc nhị diện với các cạnh hay các mặt thì ta sử dụng các công thức lượng giác, tính chất giao điểm và trung tuyến từ đó xác định các đoạn giao tuyến và tìm được thiết diện.
Ví dụ 1:Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh .Mặt bên hợp với đáy một góc .Cho là mặt phẳng qua và vuông góc với cắt lần lượt tại cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính thiết diện theo .
Giải
Gọi lần lượt là trung điểm của 
Ta có qua tâm của hình vuông 
Ta có 
(Vì là góc giữa mặt bên và mặt đáy hình chóp).
Suy ra là tam giác đều.
Hạ đường cao của 
Ta có 
Do đó mặt phẳng qua và vuông góclà mặt phẳng .
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác 
Ta có 
Mặt khác là đường trung bình của ,do đó 
Vậy thiết diện là hình thang cân.
Ta có (đường cao của đều cạnh )
Vậy diện tích thiết diện là 
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh . Mặt bên tạo với đáy một góc Mặt phẳng qua cắt lần lượt tại . Cho biết góc tạo bởi mặt phẳng với mặt đáy là 
Hãy xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình chóp.
Giải
Ta có
Ta có:
Vậy thiết diện cần dựng là hình thang 
Mặc khác 
Vậy là hình thang cân.
2. Các khó khăn cơ bản khi giải các bài toán thiết diện.
- Hình vẽ khó nhìn, khó nhận ra các yếu tố để tạo thành thiết diện.
- Học sinh không có trí tưởng tượng về hình học không gian.
- Học sinh chưa nắm vững các phương pháp: xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng, giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng, thiết diện của khối đa diện bị cắt bởi một mặt phẳng cho trước. Hoặc học sinh đã nắm được các phương pháp nhưng chưa xác định được các mặt phẳng phụ, đường thẳng phụ thích hợp.
- Học sinh không quen với việc trải rộng mặt phẳng ra để xác định các giao tuyến, giao điểm.
- Học sinh không vững các kiến thức cơ sở về song song, sự vuông góc trong không gian, các tính chất hình học phẳng.
- Không nắm được định nghĩa về thiết diện của khối đa diện dẫn đến tìm sai thiết diện.
- Học sinh biết được phương pháp giải của từng dạng nhưng không biết ứng dụng phương pháp của dạng nào để giải.
3. Các biện pháp khắc phục những khó khăn cơ bản đã đề xuất.
- Vẽ hình minh họa vào nháp trước khi vẽ vào tập và vẽ hình với nhiều màu mực khác nhau nhằm xác định rõ các yếu tố trong hình vẽ. Ngoài ra, vẽ hình với những góc cạnh khác nhau để chọn ra hình dễ nhìn nhất. Lưu ý cho học sinh nắm các quy tắc vẽ hình trong không gian.
- Ở từng dạng toán, cho học sinh làm nhiều bài tập với mức độ từ dễ đến khó.
- Yêu cầu học sinh nắm vững định nghĩa thiết diện là một đa giác kín.
- Phân dạng các dạng toán tìm thiết diện, đồng thời giúp học sinh nắm được đặc điểm của từng dạng.
- Cần đưa ra những hình ảnh trực quan về khối đa diện những mặt cắt khối đa diện.
4. Những kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh trong quá trình giải các bài toán thiết diện.
- Vẽ hình.
- Khả năng tư duy, tưởng tượng.
- Kỹ năng xác định giao điểm, giao tuyến.
- Kỹ năng trình bày bày giải một cách logic, rõ ràng.
5. Bài tập về thiết diện.
1) Cho hình lập phương có cạnh bằng . Trên cạnh lấy một điểm sao cho , trên cạnh lấy một điểm sao cho . Tìm diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng . Tìm tỉ số thể tích hai phần của hình lập phương do mặt phẳng đó cắt ra.
2) Cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi là điểm thuộc cạnh , đặt .
a) Xác định thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng .
b) Tìm diện tích thiết diện theo . Tìm để diện tích ấy là nhỏ nhất. 
3/ Cho tứ diện , có các cạnh bằng nhau và bằng . lần lượt là trung điểm của ,. Gọi là một điểm trên cạnh với 
a/ Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng .
b/ Tính diện tích của thiết diện theo .
4/ Cho hình chóp có đáy là hình hình hành và . Gọi lần lượt là trung điểm của . Gọi là mặt phẳng đi qua và song song với .
a/ Xác định mặt phẳng .
b/ Tìm thiết diện tạo bởi và hình chóp . Hỏi thiết diện là hình gì ?
5/ Cho hình chóp có đáy là hình thang, với đáy lớn là , là giao điểm của và . Gọi là mặt phẳng đi qua , song song với và .
a) Tìm thiết diện của mặt phẳng với hình chóp.
b) Thiết diện tìm được là hình gì?
6/Cho hình chóp đáy là hình thang có đáy lớn , . là tam giác đều. là mặt phẳng qua trên cạnh và song song với . Tìm thiết diện tạo bởi và hình chóp. Chứng minh rằng thiết diện đó là hình thang cân.
7/Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang Điểm M thuộc cạnh BC không trùng với B và C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và song song với mp(SAB). Thiết diện là hình gì?
8/Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I là điểm thuộc cạnh AC sao cho Một mặt phẳng đi qua I và song song với mặt phẳng (SBD). Tìm thiết diện của với hình chóp S.ABCD. 
9/ Cho hình chóp có đáy là hình vuông , vuông góc với mặt đáy. Gọi là điểm nằm trên cạnh , là mặt phẳng qua và vuông góc với . Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng .
10/ Cho hình tứ diện có là tam giác đều cạnh bằng . và vuông góc với mặt phẳng . Gọi là trung điểm của , là một điểm thuộc , là mặt phẳng qua điểm và vuông góc với .
a) Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện và mặt phẳng .
b) Đặt , . Tính diện tích thiết diện theo và .
11/ Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). ABCD là hình chữ nhật tâm O. Gọi (P) là mặt phẳng qua SO và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Hãy tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD và mặt phẳng (P).
12/ Cho hình chóp có đáy là hình vuông, . Gọi là tâm của hình vuông , là trung điểm của cạnh . Một mặt phẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng . Hãy xác định thiết diện tạo bởi và hình chóp. 
13/Cho hình chóp tứ giác đều , các mặt bên hợp với mặt đáy một góc bằng sao cho Tìm thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng đi qua cạnh và tạo với đáy một góc bằng với