Bài tập Hình học 7 - Chương III - Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy trong tam giác

CHƯƠNG III - QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC.
CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC.
%1. QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG TAM GIÁC.
I. Kiến thức cần nhớ:
- Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
- Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. 
II. Bài tập.
Bài 1: Cho DABC, biết + = 1200, - = 300.
a) So sánh các cạnh của tam giác.
b) Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. So sánh độ dài của đoạn BD và CD.
Bài 2: Cho DABC, AB < AC, phân giác AD. Chứng tỏ rằng:
a) Góc ACD là góc tù.
b) DC > DB. 
Bài 3: Cho DABC, M là trung điểm của BC.
 a) Cho biết > , chứng minh rằng AC > AB.
b) Cho biết AC > AB. Chứng minh rằng MAB > MAC. 
Bài 4: Cho DABC, góc A tù. Trên cạnh AC lấy hai điểm D và E (D nằm giữa A và E ). Chứng minh BA < BD < BE < BC.
Bài 5: Cho DABC vuông ở B, phân giác CD. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AC ở E. Chứng minh rằng:
a) DE = DB.	b) DA > DB.
Bài 6: Cho ABC có > 
a) So sánh độ dài các cạnh AB và AC;
b) Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh rằng > .
c) Chứng minh rằng tia phân giác của góc BAC nằm trong góc BAM.
Bài 7. Cho DABC cân ở A. Trên cạnh BC lấy điểm D và E (D nằm giữa A và E) sao cho BD = DE = EC.
Chứng minh rằng: = < .
Bài 8: Cho DABC có AC > AB. Tia phân giác của cắt BC ở D. Kẻ AH ^ BC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tia AD nằm giữa hai tia AH và AM.
%2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU.
I. Kiến thức cần nhớ:
Xét các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm ở ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó ta có các định lý:
- Đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.
- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
- Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
- Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau. Đảo lại nếu 2 hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
II. Bài tập
Bài 1: Cho O là một điểm nằm trong DABC. Biết AO = AC, chứng minh rằng DABC không thể cân tại A.
Bài 2: Cho DABC vuông ở A. Trên tia đối của CA lấy điểm E, trên tia đối của AC lấy điểm F sao cho AF = AC. So sánh BC, BF và BE.
Bài 3: Cho đường thẳng a và điểm A nằm ngoài đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu của điểm A xuống đường thẳng a. Trên đường thẳng a lấy 2 điểm B và C.
Tính độ dài các đường xiên AB, AC biết AH = 6cm, HB = 8cm và HC = 10cm.
Bài 4: Cho DABC, (AB ≠ AC). Gọi M là điểm nằm giữa B và C. Gọi E và F là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AM. So sánh tổng BE + CF với BC.
Bài 5: Cho DABC, biết < < 900. Kẻ AH ^ BC( H Î BC). Gọi M là một điểm nằm giữa H và B, N là một điểm nằm trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn BC. Chứng minh:
a) HB < HC	b) AM < AB < AN.
Bài 6: Cho DABC. Vẽ AH ^ BC (H Î BC). Gọi D, E, F lần lượt là các điểm nằm giữa A và H, nằm giữa B và H, nằm giữa C và H. Chứng minh rằng chu vi DDEF nhỏ hơn chu vi DABC. Với vị trí nào của các điểm D, E, F thì chu vi DDEF bằng chu vi DABC. 
Bài 7: Cho DABC có AC > AB, M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh BC. Tìm vị trí của điểm M để AM có độ dài nhỏ nhất.
Bài 8: Cho AB và CD là hai đoạn thẳng song song và bằng nhau. A'B' và C'D' là các hình chiếu của chúng trên cùng một đường thẳng. Chứng minh rằng A'B' = C'D'.
Bài 9: Cho DABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng:
BC + AH > AB + AC.