Bài tập Giải tích 12 - Phương trình bậc hai - Thầy Cường

THẦY CƯỜNG - 0911060820 - FACE: NMC22297 1 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TỔNG QUÁT  2 0 0ax bx c a    (1) 
1. Phương pháp giải 
Phương trình bậc hai  2 0 0ax bx c a    có biệt thức 2 4b ac   
+ Nếu 0  thì (1) vô nghiệm 
+ Nếu 0  thì (1) có nghiệm kép là 
2
b
x
a
  
+ Nếu 0  thì (1) có 2 nghiệm phân biệt 1 2,
2 2
b b
x x
a a
     
  
Đặc biệt: Phương trình bậc hai  2 0 0, 2 'ax bx c a b b     có 2' 'b ac   
+ Nếu ' 0  thì (1) vô nghiệm 
+ Nếu ' 0  thì (1) có nghiệm kép là 
b
x
a
  
+ Nếu ' 0  thì (1) có 2 nghiệm phân biệt 1 2
' ' ' '
,
b b
x x
a a
     
  
⚠ Chú ý: Khi . 0a c  thì phương trình có hai nghiệm trái dấu. 
2. Ví dụ minh họa 
Hướng dẫn giải 
a) Ta có biệt thức ' 19 0    phương trình có hai nghiệm phân biệt là 
1 2
2 19 2 19
,
5 5
x x
   
  
Ta viết lại phương trình thành 
2 2 19
5 4 3 0
5
x x x
 
     
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
2 19
5
x
 
  
Bài 1. Giải các phương trình sau 
2
2
) 5 4 3 0
) 2 2 2 1 0
a x x
b x x
  
  
 
2
2
) 3 6 0
) 3 2 5 1 4 5 8 0
c x x
d x x
  
    
THẦY CƯỜNG - 0911060820 - FACE: NMC22297 2 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
b) Ta có biệt thức ' 0   phương trình có nghiệm kép là 
2
2
x  
Ta viết lại phương trình thành 
2
2 2 2
2 2 2 1 0 2 0
2 2
x x x x
 
         
 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
2
2
x   
c) Ta có biệt thức 33 0    phương trình có hai nghiệm phân biệt là 
1 2
3 33 3 33
,
2 2
x x
   
  
Ta viết lại phương trình thành 
2 3 33
3 6 0
2
x x x
 
     
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
3 33
2
x
 
  
d) Ta có biệt thức  
2
' 5 5 0     phương trình có hai nghiệm phân biệt là 
         
1 2
5 1 5 5 5 1 5 5 2 5 4
2,
3 3 3
x x
         
    
Ta viết lại phương trình thành  2
2
3 2 5 1 4 5 8 0 2 5 4
3
x
x x
x

        

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
2 5 4
; 2
3
x
  
  
  
  
Hướng dẫn giải 
a) Ta có biệt thức    
2 2
1 2 8 9 0m m m         phương trình có hai nghiệm phân biệt 
là 
1 2
1 3 2, 1 3 4x m m x m m          
Bài 2. Giải các phương trình sau 
   
 
2 2
2
a) 2 1 2 8 0 
1
b) 2 2 1 1 0 0;
2
x m x m m m const
mx m x m
      
  
       
  
THẦY CƯỜNG - 0911060820 - FACE: NMC22297 3 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Ta viết lại phương trình thành  2 2
2
2 1 2 8 0
4
x m
x m x m m
x m
 
       
 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là  2; 4x m m    
b) Ta có biệt thức    
2 22
2 1 4.2 .( 1) 4 4 1 2 1 0m m m m m              
Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt là 
   
1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 1
1; 
4 4 2
m m m m
x x
m m m
     
     
Ta viết lại phương trình thành    
1
1 2 1 0 1
2
x
PT x mx
x
m

    
  

Vậy phương trình có nghiệm là 
1
1;
2
x
m
 
  
 
  
⚠ Chú ý: Xét tam thức bậc hai 
2
2
( )
2 4
b
f x ax bx c a x
a a
 
      
 
  0a  
+ Khi 0 ( ) 0f x    hay phương trình ( ) 0f x  vô nghiệm 
+ Khi 
2
0 ( )
2
b
f x a x
a
 
     
 
 hay phương trình ( ) 0f x  có nghiệm kép là 
2
b
x
a
  
+ Khi 0 ( )
2 2
b b
f x a x x
a a
        
           
   
 hay phương trình ( ) 0f x  có hai 
nghiệm là 
2
b
x
a
  
 
3. Bài tập vận dụng 
Đáp số 
3
1 5 3 3 33 1
a) ; b) ; c) ; d) 3; e) ; f) 1; .
2 2 6 2
x x x x x x
     
         
 
Bài 3. Giải các phương trình sau 
2
2
) 1 0
) 4 3 0
a x x
b x
  
 
2
2
c) 7 5 2 0
) 6 9 0
x x
d x x
  
  
 
2
23 3
e) 3 3 2 0
) 2 2 1 1 0
x x
f x x
  
   
THẦY CƯỜNG - 0911060820 - FACE: NMC22297 4 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Đáp số 
a) Phương trình có  
2
' 2a   nên có hai nghiệm là  3; 2 1x a  
b) Phương trình có  
2
1m   nên có hai nghiệm là  ; 2 1x m m  
⚠ Chú ý: Ta dùng chức năng ENQ của MTCT để kiểm tra nghiệm của phương trình bậc hai 
bằng cách sau 
Ví dụ đi gải phương trình 2 2 1 0x x   , thao tác bấm máy như sau 
THAO TÁC - MỤC ĐÍCH MÀN HÌNH MÁY 
Vào chức năng EQN giải phương trình bậc hai 
Xác định hệ số đã 1, 2, 1a b c     . Nhập các hệ số vào máy 
Ra kết kết quả nghiệm x1, x2 
Như vậy, phương trình có hai nghiệm là 1 2x   
II. ĐỊNH LÝ VI – ET VÀ ỨNG DỤNG 
1. Phương pháp giải 
II.1. ĐỊNH LÝ VI – ET 
Phương trình bậc hai 2 0ax bx c    0a  
Nếu 
1 2
,x x là hai nghiệm thì 
1 2
1 2
.
b
x x
a
c
x x
a

  

 

II.2. ỨNG DỤNG 
+ Nếu 0a b c   thì (1) có nghiệm là 
1 2
1,
c
x x
a
  
Bài 4. Giải các phương trình sau 
   
   
2
2 2
a) 2 1 6 3 0 
) 3 1 2 0 
x a x a a const
b x m x m m m const
     
     
THẦY CƯỜNG - 0911060820 - FACE: NMC22297 5 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
+ Nếu 0a b c   thì (1) có nghiệm là 
1 2
1,
c
x x
a
    
+ Nếu u, v là hai số thỏa mãn  2 4
.
u v S
S P
u v P
 


 thì u, v là hai nghiệm của phương trình bậc 
hai 2 . 0x S x P   
Một số hệ thức thường gặp trong dạng bài liên quan tới Vi-et 
 
     
     
 
22 2 2
1 2 1 2 1 2
3 3 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 224 4 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1) 2 2
2) 3
3) 2 2 2
4) 2 4
x x x x x x S P
x x x x x x x x S S P
x x x x x x S P P
x x x x x x x x S P
     
      
      
       
2. Ví dụ minh họa 
Hướng dẫn giải 
a) Ta có 
18 7 11
77 7.11
 


 nên phương trình đã cho có hai nghiệm là 7 và 11 
Vậy phương trình có nghiệm là  7;11x   
b) Ta có      3 1 2 3 3 1 0a b c         
Do đó phương trình có hau nghiệm là 
1 2
3 1
1; 2 3
3 1
x x

   

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là  2 3;1x    
c) Ta có       0a b c m n n p p m         
Do đó phương trình có hau nghiệm là 
1 2
1; 
p m
x x
m n

 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là ;1
p m
x
m n
 
  
 
  
Bài 5. Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm 
 
2
2
) 18 77 0
) 3 1 2 3 3 1 0
a x x
b x x
  
    
     2
2
) 0 
d) 3 21 36 0
c m n x n p x p m m n
x x
      
  
THẦY CƯỜNG - 0911060820 - FACE: NMC22297 6 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
d) Ta có 
21
7 3 4
3
36
12 3.4
3

  

  

 nên nên phương trình đã cho có hai nghiệm là 3 và 4 
Vậy phương trình có nghiệm là  3; 4x   
Hướng dẫn giải 
a) Ta có 
5
,
. 4
x y
x y
x y
 


 là nghiệm của phương trình 2
1
5 4 0
4
X
X X
X

    

Vậy       ; 1; 4 ; 4;1x y   
b) Ta có 
5
5
,1 1 1
10
2
x y
x y
x yx y
xy
x y xy
 
 
  
     

 là nghiệm của phương trình 
2 5 65
5 10 0
2
X X X

     
Vậy  
5 65 5 65 5 65 5 65
; ; ; ;
2 2 2 2
x y
        
        
     
  
3. Bài tập vận dụng 
Hướng dẫn giải & Đáp số 
a) Do các hệ số thỏa mãn 0a b c   nên phương trình có nghiệm   1; 1 2 2x     
b) Do 
11 5 6
30 5.6
 


 nên phương trình có nghiệm là  5;6x  
Bài 6. Tìm hai số x và y biết: 
a) Tổng của chúng bằng 5 và tích của chúng bằng 4 
b) Tổng của chúng bằng 5 và tổng nghịch đảo chúng bằng 
1
2
 
Bài 7. Giải các phương trình sau 
 2
2
) 2 2 1 1 2 2 0
) 11 30 0
a x x
b x x
    
  
     
   
2 2 2
2
) 2 1 0 
) 2 3 1 3 1 0
c x a a x a a a const
d x x
     
    
THẦY CƯỜNG - 0911060820 - FACE: NMC22297 7 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
c) Do 
 
   
2 2
2 2
2
2 1 .2
S a a a a a
P a a a a a
     

   
 nên phương trình có nghiệm  2 ; 2x a a a  
d) Do các hệ số thỏa mãn 0a b c   nên phương trình có nghiệm 
3 1
1;
2
x
  
  
  
Hướng dẫn giải & Đáp số 
Ta có 
    2
22 2 2
4
.65 2 652 65
7 77
x y S
S P
x y Px y S Px y xy
xy x y P Sxy x y
 


      
   
       
Đáp số:           ; 1; 8 ; 8; 1 ; 4;7 ; 7; 4x y      
III. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÔ NGHIỆM 
1. Phương pháp giải 
Như phần trên ta đã biết, phương trình bậc hai vô nghiệm thì biệt thức 0  ,nhưng trình bày 
như thế chưa thuyết phục. Chính vì vậy ta sẽ tách VT của phương trình thành một biểu thức 
bậc hai luôn dương cộng với một số luôn dương như sau 
2 22
2 2 4
( )
2 4 2 4
b b b ac b
f x ax bx c a x x c a x a x
a a a a a
      
                
     
Luôn đưa về 0 ( ) 0,a f x x    
Và tất nhiên không tồn tại ( ) 0f x  nên phương trình vô nghiệm. 
2. Ví dụ minh họa 
Hướng dẫn giải 
a) Ta thấy ' 1 0     phương trình vô nghiệm 
Ta viết lại phương trình thành  
22
4 5 0 2 1 0x x x       (*) 
Do (*) 0,VT x  nên (*) vô nghiệm  
b) Ta thấy ' 2 8 2 0     phương trình vô nghiệm 
Bài 8. Tìm x và y, biết tổng bình phương bằng 65 và tích trừ đi 7 bằng tổng 
Bài 9. Giải phương trình 
2
) 4 5 0a x x   2) 2 2 2 4 2 0b x x   2) 2 3 9 0c x x    
THẦY CƯỜNG - 0911060820 - FACE: NMC22297 8 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
Ta viết lại phương trình thành 
2
2 2
2 2 2 4 2 0 2 4 2 1 0
2
x x x
 
         
 
 (*) 
Do (*) 0,VT x  nên (*) vô nghiệm  
c) Ta thấy ' 63 0     phương trình vô nghiệm 
Ta viết lại phương trình thành 
2
2 3 63
2 3 9 0 2 0
4 8
x x x
 
       
 
 (*) 
Do (*) 0,VT x  nên (*) vô nghiệm  
3. Bài tập vận dụng 
Bạn đọc tự giải 
⚠ Chú ý: Để chứng minh phương trình bậc hai vô nghiệm một cách nhanh chóng ta sẽ dùng 
chức năng tính cực trị của hàm parabol như sau (luôn đưa hệ số a>0) 
Ví dụ để chứng minh 2( ) 7 4 3 0,f x x x x     thì việc áp dụng công thức đã nói trên
 
2
2
( ) 0, 0
2 4
b
f x ax bx c a x x do
a a
 
          
 
, nhưng ta sẽ dùng MTCT để làm như 
vậy mà không cần phải tách bằng cách sau 
THAO TÁC – MỤC ĐÍCH MÀN HÌNH MÁY 
Bấm SHIFT 6 6 đối với máy vinacal hoặc bấm MODE 5 3 đối với 
máy casio fx-570VN (không áp dụng cho casio fx-570ES) 
Nhập các hệ số 
Máy hiện giá trị nhỏ nhất của hàm số xảy ra khi 
2
7
x   
Máy hiện giá trị nhỏ nhất của hàm số 
17
( )
7
y f x  
Như vậy, 
2
2 2 17
( ) 7 4 3 7 0,
7 7
f x x x x x
 
        
 
IV. TỔNG KẾT 
❶ Để giải phương trình bậc hai  2 0 0ax bx c a    trước hết ta phải làm các bước sau 
Bài 10. Giải các phương trình 
2
) 7 4 3 0a x x   2) 2 4 0b x x   2) 6 5 5 0c x x   
THẦY CƯỜNG - 0911060820 - FACE: NMC22297 9 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
B1: Tìm biệt thức 2 4b ac   hoặc 2' 'b ac   
B2: Xét dấu của  hoặc ' 
TH1. 0   PT vô nghiệm 
TH2. 0   PT có nghiệm kép 
2
b
x
a
  
TH3. 0   PT có hai nghiệm phân biệt 
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
     
  
❷ Khi phương trình bậc hai  2 0 0ax bx c a    có hai nghiệm phân biệt 1 2;x x thì thỏa 
mãn định lý Vi-ét 
1 2
1 2
.
b
x x
a
c
x x
a

  

 

❸ Khi biệt thức 0   PT vô nghiệm và ta viết VT của phương trình bậc hai sau khi chuyển 
các hạng tử về một vế 
2
2
0,
2 4
b
VT ax bx c a x x R
a a
 
         
 