Bài tập cơ bản và nâng cao về biểu thức đại số

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
A. BÀI TẬP CƠ BẢN
a.  −
1
5
x3y2 ⋅
5
4
xy3 b.  −3xy4 ⋅ −
1
3
x2y
a.  5xy ⋅ ( − 2bx2y) b.  23abc ⋅
1
4
a2bc3
c.  −
4
5
ab2c ⋅ ( − 20a4bx)
d.  a3b3 ⋅ a2b2c
A. BÀI TẬP CƠ BẢN
ĐƠN THỨC
1. Tìm bậc của các đơn thức sau
Xem lời giải tại:
2. Tính các tích sau
Xem lời giải tại:
3. Tính giá trị của các đơn thức sau
a.  −
2
3
x3y2z tại x = − 3; y = − 2; z =
1
2
b.  −
1
2
x2y2 tại x = − 1; y = −
1
2
c.  −5xy2 tại x = − 2; y = −
1
5
d.  x2yz3 tại x = 1; y = 3; z = − 2
Xem lời giải tại:
4. Thu gọn các đơn thức sau
a.  p2qq3p4
1
22
(pq)2(4p2q)2
( )
( )
b.  −
2
3
a2b b2a
9
4
(a2b2)3
c.  − 2
1
3
cd 1
1
4
c2d −
5
6
cd
2
d. 
1
2
a
1
4
a2
1
8
a3
2
⋅ 2b4b28b3
Xem lời giải tại:
5. Cho hai đơn thức P = − 5xn−2y3z4 và Q = 2x3y2z
Với giá trị nào của n thì thương 
P
Q
 là một đơn thức.
Xem lời giải tại:
6. Cho A = ( − 3x5y3)4; B = (2x2z4)5. Tìm x, y, z biết A + B = 0
Xem lời giải tại:
7. Rút gọn
a.  ( −
3
2
x4y5)2 −
5
2
x8y10
b. 
1
5
x3y5 −
1
2
xy +
1
7
xy −
2
3
x3y5
c.  4ab ⋅
1
3
ac − 2aca − 9a2 ⋅
1
2
b + 10a2 ⋅
1
5
c + a2b − a2bc
d.  2ab − 2bc. c + ab +
1
2
c2b − 4cb2 + 2cb. b
Xem lời giải tại:
( )
( )( )( )
( )
8. Tại giá trị nào của x thì đơn thức −
3
4
x2y3 có giá trị là 
1
9
 biết rằng y =
1
3
Xem lời giải tại:
9. Viết đơn thức 3xn+3ym−2 dưới dạng tích của hai đơn thức trong đó có một
đơn thức bằng 
2
5
xny2(m, n ∈ N, m > 4).
Xem lời giải tại:
ĐA THỨC
10. Tìm bậc của các đa thức sau:
a.  15xyz − 3x5 + 4xyz − y4 + 5x5
b.  4u2v + 6u2v2 − 12u2v − 4u2v2 − 7u + 1
c.  ax3 + 4xy + 8y + 1 (với a là hằng số a ≠ 0)
d.  mx4 + x4 − 1 (m là hằng số m ≠ − 1).
Xem lời giải tại:
11. Xác định các hệ số a, b của đa thức P(x) = ax + b, biết rằng
P(1) = −
5
3
, P( −
1
2
) =
4
3
.
Xem lời giải tại:
12. Tính giá trị của các đa thức sau
a.  5x3y − 4xy3 − 5x3y + 1 với x = 1; y = − 1
b.  −
4
5
uv2 + 3u2v2 −
1
2
v2 +
3
5
uv2 với u = 3; v = − 1
a.  P(x) = (x − 3)(x + 4)
b.  Q(x) =
1
3
x − 1 2x −
3
5
c.  R(x) = x2 − 2 d.  H(x) = x3 − 64
c.  4x3y − 5x2y2 + 3xy3 − 6x3y + 7x2y2 − 12xy3 + 1 với x = 2; y = −
1
2
.
Xem lời giải tại:
13. Tìm các đa thức A, B, C, D biết
a.  A + (x3 − xyz + 3x2y + 3xz2) = y2 − xyz − 3xz2
b.  B − (x2 + xy + y2) = 2x2 − xy + y2
c. 
1
2
xy2 + x2 −
1
2
x2y − C = − xy2 + x2y + 1
d.  D − (25x2y − 15xy2 + y3) = 10x2y + 2y3 − 10xy2
Xem lời giải tại:
14. Tìm nghiệm của các đa thức sau
Xem lời giải tại:
15. Tính giá trị của đa thức 3x4 + 5x2y2 + 2y4 + 2y2, biết x2 + y2 = 2.
Xem lời giải tại:
16. Cho hai đa thức một biến
P(x) = 3x4 − 6x2 − 2x3 + 2 − 4x + 7x2 + 8x3 − 4
Q(x) = √2x4 + 3
1
2
x2 −
1
2
x3 − √2x4 +
7
2
x3 + 2x −
1
2
x2 + 7
a.  Thu gọn các đa thức trên.
b.  Tìm bậc của đa thức P(x) + Q(x) và P(x) − Q(x).
( )
( )( )
Xem lời giải tại:
17. Cho các đa thức
M = 2x2y2 − 3xy2 − 2xy + 1
N = 2xy2 + 3 + xy − x2y2
P = xy +
3
2
+ xy2 + 3x2y2
a.  Tính M + N + P và M − N − P
b.  Chứng tỏ M + N + P luôn nhận giá trị dương với giá trị bất kì của x, y.
Xem lời giải tại:
18. Tìm số 
¯
abc ,biết a, b, c là các chữ số khác nhau và:
a.  Số 
¯
abc bằng 11 lần tổng các chữ số của nó.
b. 
¯
abc +
¯
bca +
¯
cab = 777.
Xem lời giải tại:
19. Tìm các chữ số a, b, c biết: 1 + 2 + 3 + 4 + . . . +
¯
bc =
¯
abc.
Xem lời giải tại:
20. Xác định a, b, c để hai đa thức sau là hai đa thức đồng nhất: 
A = ax2 − 9x + 6x2 − (4x2 − 3x) và B = 2x2 − 3bx + c − 1.
Xem lời giải tại:
21. Chứng minh các cặp đa thức sau đây không thể cùng nhận giá trị âm:
a.  A = 2x2 − 5xy + 7y2; B = − x2 + 5xy − 4y2.
b.  M = − 7x2 − 4xy + 2y2; N = 2x2 + xy −
1
2
y2.
Xem lời giải tại:
22. Tính giá trị của đa thức: M = 10x9 − 14x5 + 2x4 + 2x + 15, biết 
5x8 − 7x4 + x3 + 1 = 0.
Xem lời giải tại:
B. BÀI TẬP NÂNG CAO
B. BÀI TẬP NÂNG CAO
BÀI TẬP TỔNG HỢP
23. Cho F = x3 + y3 + z3 + mxyz, (x, y, z ∈ N). Tìm m để F chia hết cho (x + y + z).
Xem lời giải tại:
24. Cho nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b với a ≠ 0
a.  Tìm các giá trị của a; b để với hai giá trị bất kì x1; x2 ta có: 
f(x1) + f(x2) = f(x1 + x2).
b.  Chứng minh rằng với mọi a ≠ 0 thì f(x) = ax + b có một nghiệm và chỉ có một
nghiệm.
c.  Cho nhị thức g(x) = cx + d. Tìm sự liên hệ của a; b; c; d để f(x) = g(x).
Xem lời giải tại:
25. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của mỗi biểu thức sau:
a.  A = (x + 10)2 + (y − 10)2 + 2015
b.  B = (3x − y)2 + (2x − 1)2 + 7
c.  C = − 2(x + 3)2 + √2
d.  D =
4
(x + 3)2 + 20
Xem lời giải tại:
26. Tính giá trị biểu thức:
a.  A = x5 − 2010x4 + 2010x3 − 2010x2 + 2010x − 2020 tại x = 2009
b.  B = (x + y)(y + z)(x + z) biết x + y + z = 0; xyz = 2010
c.  C = 3x7 − 5y6 + 1 biết (x + 1)2010 + (y − 1)2000 = 0
Xem lời giải tại:
27. Tính giá trị biểu thức:
a.  A = 5x3 − 3x2 + 6x − 7 với x2 = 1
b.  B = 3x4 − 5x3y + 6x2 − 10xy + 2010 với 3x − 5y = 0
c.  C =
2a + 3b
a + 3b
 với 
a
b
=
10
3
Xem lời giải tại:
28. Chứng minh hai đa thức A và B không đồng thời có giá trị dương.
a.  A = 5x4 − 7x2 + 4xy + y2 và B = − 9x4 − 4xy − 7y2
b.  A = − 3x4 + 5x2 − 6xy + 2y2 và B = − 6x2 + 6xy − 8y2
c.  A =
1
2
x3 + 5x2 − 7xy + y2 và B = − x4 −
1
2
x3 − 5x2 + 7xy − 3y2
Xem lời giải tại:
29. Cho đa thức với a; b; c đôi một khác nhau: 
P(x) =
(x − a)(x − b)
(c − a)(c − b)
+
(x − a)(x − c)
(b − a)(b − c)
+
(x − b)(x − c)
(a − b)(a − c)
− 1
a.  Chứng tỏ đa thức P(x) có ít nhất ba nghiệm.
b.  Từ đó suy ra kết luận về giá trị của đa thức P(x).
Xem lời giải tại:
30. Tồn tại hay không đa thức f(x) có tất cả các hệ số nguyên mà 
f(8!) = 2012, f(9!) = 2072.
Xem lời giải tại:
31. Cho ba đa thức: 
P(x) = 4x2 − 7x + 5;
Q(x) = 2x2 + 4x − 3;
R(x) = − 5x2 + 3x − 2.
Chứng minh rằng trong 3 đa thức trên có ít nhất một đa thức có giá trị không
âm.
Xem lời giải tại:
32. Rút gọn các biểu thức:
a.  A =
219.273 + 15.49.94
69.210 + 1210
b.  B =
x24 + x20 + x16 + . . . + x4 + 1
x26 + x24 + x22 + . . . + x2 + 1
Xem lời giải tại:
33. Chứng minh hai đa thức A và B không đồng thời có giá trị âm.
a.  A = 5x2 − 12xy + 2y2 và B = − 4x2 + 12xy − y2
b.  A = 10x2 −
7
3
xy + y2 và B = x2 +
7
3
xy + 2y2
c.  A = − 15x2 + 17xy + 4y2 và B = 15x2 − 17xy + 8y2
Xem lời giải tại:
34. Tìm các giá trị của các đa thức sau:
a.  A = x15 + 3x14 + 5 biết x + 3 = 0
b.  B = x2007 + 3x2006 + 1
2007
 biết x = − 3
c.  C = 21x4 + 12x3 − 3x2 + 24x + 15 biết 7x3 + 4x2 − x + 8 = 0
d.  D = − 16x5 − 28x4 + 16x3 − 20x2 + 32x + 2007 biết 
−4x4 − 7x3 + 4x2 − 5x + 8 = 0
Xem lời giải tại:
( )
35. Chứng minh rằng các đa thức sau có nghiệm:
a.  f(x) = mx2 + 7n với 4m + 7n = 0
b.  g(x) = ax2 + bx + c với 4a − 2b + c = 0
c.  h(x) = ax3 + bx2 + cx + d với −8a + 4b − 2c + d = 0
d.  k(x) = m2x3 − 2mx2 + 4mx − 8m2
Xem lời giải tại:
36. Cho đa thức Q(x) = ax2 + bx + c
a.  Biết 5a + b + 2c = 0. Chứng minh Q(2). Q( − 1) ≤ 0
b.  Biết Q(x) = 0 ∀x. Chứng minh a = b = c = 0
Xem lời giải tại:
37. Chứng minh rằng với n ∈ N∗ :
a.  8.2n + 2n+1 có chữ số tận cùng là 0.
b.  3n+3 − 2.3n + 2n+5 − 7.2n ⋮ 25
c.  4n+3 + 4n+2 − 4n+1 − 4n ⋮ 300
Xem lời giải tại:
38. Tìm hai đa thức f(x), g(x) thỏa mãn cả hai điều kiện sau:
f(x) + g(x) = 2x4 + 5x2 − 3x; (1)
f(x) − g(x) = x4 − x2 + 2x.  (2)
Xem lời giải tại:
39. Tính tổng các hệ số của đa thức thu được sau khi khai triển các biểu thức
sau:
a.  (x2 − 5x + 5)2306.
b.  (x3 − x2 − x + 3)2014.
Xem lời giải tại:
40. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức:
a.  A =
5
4 − x
 có giá trị lớn nhất.
b.  B =
8 − x
x − 3
 có giá trị nhỏ nhất.
c.  C =
9x + 5
3x − 1
 có giá trị lớn nhất.
Xem lời giải tại:
41. Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Chứng minh rằng:
a.  Nếu a + b + c + d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm là x = 1.
Áp dụng: Tìm một nghiệm của đa thức: A(x) = − 17x3 + 8x2 − 3x + 12.
b.  Nếu a − b + c − d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm là x = − 1.
Áp dụng: Tìm một nghiệm của đa thức: B(x) = 11x3 + 5x2 + 4x + 10.
Xem lời giải tại:
42. Tìm x biết:
a.  |x + 2| + |x − 5| = 7
b.  |x + 3| − 2x = |x − 4|
Xem lời giải tại:
43. Tìm x biết:
a.  |10x + 7| < 37
b.  |3 − 8x| ≤ 19
c.  |15x − 1| > 31
d.  |2x − 5| + 4 ≥ 25
Xem lời giải tại:
a.  (6x + 3) − (2x + 1)
b.  x2 − 5x + 5 − (5x + 5)
c.  2x2 − 3x + 1 + 3x2 + 3x − 6
d.  x(2x + 1)
a.  A =
2 + 3x2 + 2y2
(x + 5)(2y − 1)
b.  B =
5x2 + 2x + 1
x2 + y2
c.  C =
x2 + 2x + 3
x2 − 5x + 6
d.  D =
x − 1
x2 + 1
44. Cho hai đa thức:
P(x) = 10x5 + 2x + 1 − 8x4 − 4x2 + 6x3
Q(x) = 10 − 8x − 10x5 + 2x4 + 6x2 − 4x3
a.  Sắp xếp P(x); Q(x) theo thứ tự tăng dần của các số mũ.
b.  Tìm các đa thức f(x) = P(x) + Q(x); g(x) = P(x) − Q(x).
c.  Cho biết bậc của f(x); g(x).
Xem lời giải tại:
45. Tìm nghiệm của mỗi đa thức sau:
Xem lời giải tại:
46. Cho f(x) = ax3 + 4x x2 − 1 + 8
g(x) = x3 − 4x(bx + 1) + c − 3
Trong đó a; b; c là các hằng số. Xác định a; b; c để f(x) = g(x).
Xem lời giải tại:
47. Tìm điều kiện để các biểu thức sau xác định:
( )
( ) ( )
( )
Xem lời giải tại:
48. Tính giá trị của biểu thức:
a.  A =
4m − 2n
4m + 5n
 với 
m
n
=
1
5
b.  B =
2x + 7
3x − y
+
2y − 7
3y − x
 với x − y = 7
c.  C = (a + b)(a + 1)(b + 1) biết a + b = 3; ab = − 5
d.  D = x10 − 2014x9 − 2014x8 − . . . − 2014x − 1 với x = 2015
Xem lời giải tại:
49. Cho f(x) = x2n − x2n−1 + . . . + x2 − x + 1 (x ∈ N)
g(x) = − x2n+1 + x2n − x2n−1 + . . . + x2 − x + 1 (x ∈ N)
Tính giá trị của hiệu f(x) − g(x) tại x =
1
10
.
Xem lời giải tại:
50. Xét đa thức P(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng:
a.  Nếu a + b + c = 0 thì x = 1; x =
c
a
 là hai nghiệm của P(x).
b.  Nếu a − b + c = 0 thì x = − 1; x = −
c
a
 là hai nghiệm của P(x).
c.  Áp dụng tìm hai nghiệm đa thức 
A(x) = √5 − 1 x2 − √5x + 1
d.  Áp dụng tìm hai nghiệm đa thức 
B(x) = 1 + √3 x2 + x − √3
Xem lời giải tại:
( )
( )
a.  |9 − 7x| = 5x − 3 b.  8x − |4x + 1| = x + 2
c.  |17x − 5| − |17x + 5| = 0 d.  |3x + 4| = 2|2x − 9|
a.  |5x + 4| + 7 = 26 b.  3|9 − 2x| − 17 = 16
c.  3 − 4|5 − 6x| = 7 d.  ||x + 5| − 4| = 3
51. Cho các đa thức:
g(x) = 4x2 + 3x + 1
h(x) = 3x2 − 2x − 3
a.  Tính f(x) = g(x) − h(x).
b.  Chứng tỏ x = − 4 là nghiệm của f(x).
c.  Tìm tập hợp nghiệm của f(x).
Xem lời giải tại:
52. Tìm x biết:
Xem lời giải tại:
53. Tìm x biết:
Xem lời giải tại:
54. Cho đa thức P = 2x(x + y − 1) + y2 + 1
a.  Tính giá trị của P với x = − 5; y = 3.
b.  Chứng minh rằng P ≥ 0 ∀x; y.
Xem lời giải tại:
55. A(y) = 4y4 − 5y2 + 3y3 − 2y + 3 − 3y4 + 7y3 − 1
B(y) = √3y4 + 5y − 2y2 − √3y4 + 7y + 2y3 + 1
C(y) =
1
3
y3 + 0, 25y2 + √3y −
1
3
y3 − √3y + 0, 75y2 − 2
a.  Thu gọn các đa thức trên.
b.  Tính A(y) + B(y) + C(y).
c.  Tính A(y) − B(y) − C(y).
a.  x2 + x + 3 > 0 ∀x b.  −2x2 + 3x − 8 < 0 ∀x
Xem lời giải tại:
56. Cho biểu thức A = 3x − 2 − |4x + 5|
a.  Thu gọn biểu thức A.
b.  Tính giá trị của A tại x = − 2; x = 2.
c.  Với giá trị nào của x thì A = − 10
Xem lời giải tại:
57. Tính giá trị của biểu thức:
a.  A = (x − y)2 x2 + y2  tại x = − 2; y = 2
b.  B = x2 − 2xy + 2y3 tại |x| = 1; |y| = 2
c.  C = x2 − 1 x2 − 2 . . . x2 − 2015  tại x = 5
Xem lời giải tại:
58. Chứng minh rằng:
Xem lời giải tại:
59. Cho các đa thức:
M = 2x2y2 − 3xy2 − 2xy + 1
N = 2xy2 + 3 + xy − x2y2
P = xy +
3
2
+ xy2 + 3x2y2
a.  Tính M − N + P; M − N − P
b.  Chứng minh M + N + P > 0 ∀x; y
Xem lời giải tại:
60. Cho hai đa thức: 
( )
( )( ) ( )
P(x) = ax4 −
1
5
x + x3 − 2x + 10 (a là hằng số)
Q(x) = 3x4 − x + x3 − x2 + 5
a.  Tìm P(x) + Q(x); P(x) − Q(x).
b.  Tìm a để P(x) + Q(x); P(x) − Q(x)có bậc là 4.
c.  Tìm a để P(x) + Q(x); P(x) − Q(x)có bậc khác 4.
Xem lời giải tại:
61. Chứng minh rằng mỗi đa thức sau không có nghiệm:
a.  x2 − x + 1
b.  x4 + 2x2 + 1
c.  x8 − x5 + x2 − x + 1
Xem lời giải tại:
62. Cho đa thức: 
f(x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . . + a1x + a0 a0; a1; . . . an ∈ Z
a.  Chứng minh nếu f(x) có nghiệm x = x0 ∈ Z thì a0 ⋮ x0.
b.  Áp dụng chứng tỏ đa thức g(x) = − 4x4 + 2x3 − 3x2 + x + 1 không có nghiệm
nguyên.
Xem lời giải tại:
63. Tìm nghiệm của mỗi đa thức sau:
a.  x3 − 8x
b.  x3 + 64
c.  x2 − 5x + 4
Xem lời giải tại:
64. Cho f(x) = 2x2 + ax + 4
g(x) = x2 − 5x − b
( )
a.  ab + bd − ac − cd b.  ax + by − ay − bx
c.  x2 − xy − xy + y2
Trong đó a; b là các hằng số. Xác định a; b để 
f(1) = g(2)
f( − 1) = g(5)
Xem lời giải tại:
65. Cho hai biểu thức của biến x: f(x) =
1
2
x − 1
2
 và g(x) =
1
4
x2 − 4x + 4
a.  So sánh: f( − 1) với g( − 1); f(0) với g(0); f(1) với g(1).
b.  Chứng minh f(x) = g(x) ∀x ∈ R.
Xem lời giải tại:
66. Đặt thừa số chung để viết các tổng sau thành tích:
Xem lời giải tại:
MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ RỘNG
67. Chứng minh rằng ba đơn thức −
1
2
xy2; −
3
4
x3y; 2y không thể cùng có giá trị
âm.
Xem lời giải tại:
68. Tìm điều kiện của x, y, z để cho các đơn thức −
1
2
xy3; 3x2y5z; − 7(x2y2z)3
cùng có giá trị dương
Xem lời giải tại:
{
( ) ( )
69. Tính tổng các hệ số của các hạng tử của đa thức nhận được sau khi đã khai
triển. Biết P(x) = (10x2 − 10x)2015.
Xem lời giải tại:
70. Cho hai đa thức P = 5x2 − 3xy − y2 và Q = 3xy + 3x2 + 2y2.
Chứng minh rằng không có giá trị nào của x và y để hai đa thức P và Q cùng nhận
giá trị âm.
Xem lời giải tại:
71. Xác định đa thức:
a.  Biết đa thức P(x) có bậc là 2 biết P(x) − P(x − 1) = x ∀x ∈ R.
b.  Áp dụng tính tổng: S = 1 + 2 + 3 + . . . + n.
Xem lời giải tại:
72. Tìm ba chữ số đầu tiên bên trái của số A biết 
A = 1 + 22 + 33 + 44 + . . . + 999999 + 10001000
Xem lời giải tại:
73. Chứng minh rằng đa thức a. x2 − x√a + 2015 không có nghiệm với a là tham
số và a > 0
Xem lời giải tại:
74. Tìm nghiệm nguyên của đa thứcsau: 2x6 + y2 − 2x3y = 320
Xem lời giải tại:
75. Tìm nghiệm nguyên của đa thức sau: 
19x2 + 28y2 = 729 .
Xem lời giải tại:
76. Cho đa thức P(x) = a. x2 + b. x + c trong đó các hệ số a, b, c là các số nguyên.
Biết giá trị của đa thức luôn chia hết cho 3 với mọi giá trị x nguyên. Chứng minh
rằng các hệ số a, b, c cũng chia hết cho 3.
Xem lời giải tại:
77. So sánh giá trị của biểu thức A =
3
4
+
8
9
+
15
16
+ . . . +
9999
10000
 với các số 98 và
99.
Xem lời giải tại:
78. Cho đa thức P(x) thỏa mãn:
P(1) = 1; P
1
x
=
1
x2
P(x) ∀x ≠ 0
P(x1 + x2) = P(x1) + P(x2) ∀x1; x2 ∈ R
Tính P
5
7
.
Xem lời giải tại:
79. Xác định đa thức:
a.  Biết đa thức P(x) có bậc 4 biết P( − 1) = 0 và 
P(x) − P(x − 1) = x(x + 1)(2x + 1) ∀x ∈ R.
b.  Áp dụng tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.5 + . . . + n(n + 1)(2n + 1).
Xem lời giải tại:
( )
( )
80. Chứng minh rằng:
a.  Ba đơn thức −
1
4
x3y4, −
4
5
x4y3,
1
2
xy không thể cùng có giá trị âm.
b.  Các đơn thức ad, − bc, − ac, − bd không thể cùng có giá trị âm hoặc cùng
dương.
Xem lời giải tại:
81. Tính 
A
B
 (kết quả ở dạng phân số tối giản) biết:
A =
1
2.32
+
1
3.33
+ . . . +
1
n(n + 30)
+ . . . +
1
1979.2009
B =
1
2.1980
+
1
3.1981
+ . . . +
1
n(n + 1978)
+ . . . +
1
31.2009
Xem lời giải tại:
82. Tìm x, y ∈ Z biết 1 + x + x2 + x3 = y3
Xem lời giải tại:
83. Tìm các số nguyên dương x, y z sao cho x +
1
y +
1
z
=
10
7
 .
Xem lời giải tại:
84. Cho số tự nhiên 
¯
abc(a > b > c) sao cho 
¯
abc +
¯
bca +
¯
cab = 666 . Tìm ba số tự
nhiên a, b, c đó.
 Xem lời giải tại:
85. Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết rằng 
f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng:
a.  2a và 2b có giá trị nguyên
b.  Với mọi giá trị của n ∈ Z thì f(n) ∈ Z
Xem lời giải tại:
86. Cho biểu thức:
B =
a
a + b
+
b
b + c
+
c
c + a
 với a; b; c ∈ N∗
Chứng minh B không phải là một số nguyên.
Xem lời giải tại:
87. Cho biểu thức:
A = 1 +
1
1.3
1 +
1
2.4
. . . 1 +
1
99.101
Chứng minh A không phải là một số nguyên.
Xem lời giải tại:
88. Tính giá trị của biểu thức 
A = 12 + 22 + . . . + 20162 (a + b)(a + 2b). . . (a + 2015b)(a + 2016b).
Với a =
3
5
; b = − 0, 2
( )( ) ( )
( )
Xem lời giải tại:
89. Chứng minh rằng:
a.  Tổng của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3.
b.  Tổng của 5 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5
c.  Tổng của 2k + 1 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2k + 1
Xem lời giải tại:
90. Tìm nghiệm nguyên của đa thức 
yz
x
+
xz
y
+
xy
z
= 3 .
Xem lời giải tại: