Bài tập bồi dưỡng về hàm số bậc hai và phương trình bậc hai một ẩn

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
HÀM SỐ BẬC HAI
BÀI TẬP
1. Cho hàm số y = − 3x2. Tính f(3 − 2√2); f(3 + 2√2); f
3 − 2√2
3 + 2√2
.
Xem lời giải tại:
2. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (P) : y = (m2 − 2m)x2 đi qua điểm H(2; 12).
Xem lời giải tại:
3. Cho hàm số y = f(x) = −
2
3
x2. Xác định giá trị của m để:
a.  f(m) ≥ − 6.
b.  f(m + 2) − f(m − 1) = 6.
Xem lời giải tại:
4. Cho hàm số y = f(x) = (√m − 5 − 2)x2. Tìm các giá trị của m để:
a.  Hàm số đồng biến với x < 0.
b.  Đồ thị của hàm số đi qua điểm A( − 2; 12).
Xem lời giải tại:
5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = − 1 và điểm F(0 ; 1).
Tìm tập hợp tất cả các điểm I sao cho khoảng cách từ I đến đường thẳng d bằng
IF.
( )
Xem lời giải tại:
6. Tìm
a.  Hệ số a của parabol y = ax2, biết rằng parabol đi qua điểm A( − 2; − 2).
b.  Tọa độ của điểm M thuộc parabol nói trên, biết rằng khoảng cách từ M đến
trục hoành gấp đôi khoảng cách từ M đến trục tung.
Xem lời giải tại:
7. Cho parabol (P) : y = ax2.
a.  Xác định a để (P) đi qua điểm M( − 4; 4). Vẽ (P) ứng với giá trị đó của a.
b.  Lấy điểm A(0; 3) và lấy điểm B tùy ý thuộc đồ thị vừa vẽ. Tìm độ dài nhỏ nhất
của AB.
Xem lời giải tại:
8. Trên parabol (P) : y = x2 ta lấy hai điểm A( − 1; 1) và B(3; 9). Xác định điểm C
thuộc cung nhỏ AB của (P) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Xem lời giải tại:
9. Trong mặt phẳng Oxy, giả sử hai điểm A và B chạy trên parabol (P) : y = x2
sao cho A, B không trùng với gốc tọa độ và OA  ⊥  OB. Giả sử điểm I là trung
điểm của đoạn thẳng AB.
a.  Chứng minh rằng tọa độ của điểm I thỏa mãn phương trình y = 2x2 + 1.
b.  Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
c.  Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
10. Trên Parabol (P): y = x2 ta lấy ba điểm phân biệt A(a; a2), B(b; b2), C(c; c2)
thỏa mãn: a2 − b = b2 − c = c2 − a. Hãy tính tích sau: 
T = (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1).
 Xem lời giải tại:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
BÀI TẬP
11. Giải các phương trình:
a.  (2x + 3)2 = ( − x + 1)(x + 9).
b.  (5 − 3√2)x2 + (√2 − 2)x + 2√2 − 3 = 0.
c.  (2 − √5)x2 + x + √5 − 1 = 0.
d.  √3x2 + (2 + √3)x +
√3
4
+ 1 = 0.
Xem lời giải tại:
12. Cho phương trình ẩn x: (m2 − 4)x2 + 2(m + 2)x + 1 = 0 (*) 
a.  Tìm m để phương trình có nghiệm.
b.  Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
Xem lời giải tại:
13. Cho phương trình: mx2 − (2m + 1)x + (m + 1) = 0. (*)
a.  Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b.  Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm lớn hơn 2.
Xem lời giải tại:
14. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b.
(a + 1)x2 − 2(a + b)x + (b − 1) = 0.
Xem lời giải tại:
15. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm nếu 
2b
a
≥
c
a
+ 4.
Xem lời giải tại:
16. Giải và biện luận phương trình ẩn x: (m − 3)x2 − 2mx + m − 6 = 0. (*)
Xem lời giải tại:
17. Tìm các giá trị của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x2 + ax + 8 = 0
x2 + x + a = 0
Xem lời giải tại:
18. Cho hai phương trình:
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
mx2 + nx + p = 0 (m ≠ 0) (2)
Chứng minh rằng nếu ít nhất một trong hai phương trình trên vô nghiệm thì
phương trình sau luôn có nghiệm:
(an − bm)x2 + 2(ap − mc)x + bp − nc = 0. (3)
Xem lời giải tại:
19. Cho phương trình x2 + mx + n = 0 (1) với m, n là những số nguyên.
a.  Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó là số
nguyên.
b.  Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình khi n = 3
Xem lời giải tại:
20. Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có các hệ số a, b, c là các số nguyên lẻ.
Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số
hữu tỉ.
Xem lời giải tại:
HỆ THỨC VI‐ET VÀ ỨNG DỤNG
BÀI TẬP
21. Không giải phương trình 2x2 − 4x − 1 = 0, hãy tính:
a.  Hiệu hai nghiệm
b.  Hiệu bình phương của hai nghiệm
c.  Hiệu lập phương của hai nghiệm
Xem lời giải tại:
22. Cho phương trình: x2 − 2(m + 3)x + 4m − 1 = 0. (1)
a.  Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương.
b.  Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc
vào m.
Xem lời giải tại:
23. Cho phương trình mx2 − 2(m − 2)x + (m − 3) = 0. Tìm các giá trị của m để
phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x
2
1 + x
2
2 = 1.
Xem lời giải tại:
24. Tìm m để phương trình 5x2 + mx − 28 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
điều kiện 5x1 + 2x2 = 1.
Xem lời giải tại:
25. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x
2 − 3x − 5 = 0. Hãy lập một
phương trình bậc hai nhận 
x1 − 2
x2
 và 
x2 − 2
x1
 làm nghiệm.
 Xem lời giải tại:
26. Cho phương trình: (m2 + m + 1)x2 − (m2 + 2m + 2)x − 1 = 0 (*)
Tìm m để tổng các nghiệm của phương trình đã cho đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị
lớn nhất.
Xem lời giải tại:
27. Cho các phương trình:
ax2 + bx + c = 0 (1)
cx2 + bx + a = 0 (2)
Tìm mối liên hệ giữa các số a, b, c biết rằng các nghiệm x1, x2 của phương trình
(1) và các nghiệm x3, x4 của phương trình (2) thỏa mãn x
2
1 + x
2
2 + x
2
3 + x
2
4 = 4.
Xem lời giải tại:
28. Cho phương trình x2 − px + q = 0 trong đó p, q là các số nguyên tố. Biết rằng
phương trình có 2 nghiệm nguyên dương phân biệt. Chứng minh rằng p2 + q2 là
một số nguyên tố.
Xem lời giải tại:
29. Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P) : y =
1
4
x2. Giả sử đường thẳng đi qua
I(0 ; 1) cắt (P) tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng: 
1
IA
+
1
IB
= 1.
Xem lời giải tại:
30. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) : y = kx +
1
2
 và parabol (P) : 
y =
1
2
x2. Chứng minh rằng:
a.  Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định, và nó cũng luôn cắt (P) tại hai
điểm A, B phân biệt.
b.  Có đúng một điểm M thuộc đường thẳng (d') : y = −
1
2
 để MA  ⊥  MB.
Xem lời giải tại:
PT QUY VỀ PT BẬC HAI
BÀI TẬP
31. Cho phương trình: x4 − (3m − 2)x2 + 1 = 0. (*)
a.  Giải phương trình khi m = 2.
b.  Tìm giá trị của m để phương trình có đúng hai nghiệm.
Xem lời giải tại:
32. Giải phương trình: 
2x
3x2 − x + 2
−
7x
3x2 + 5x + 2
= 1.
Xem lời giải tại:
33. Giải phương trình: 
1
(x2 + x + 1)2
+
1
(x2 + x + 2)2
=
13
36
.
Xem lời giải tại:
34. Giải phương trình: 20
x − 2
x + 1
2
− 5
x + 2
x − 1
2
+ 48.
x2 − 4
x2 − 1
= 0.
Xem lời giải tại:
35. Giải phương trình: (x + 1)4 = 2(x4 + 1).
Xem lời giải tại:
36. Giải phương trình: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2.
( ) ( )
 Xem lời giải tại:
37. Giải phương trình: 
1
x
+
1
√2 − x2
= 2.
Xem lời giải tại:
38. Giải phương trình: 
3
√25x(2x2 + 9) = 4x +
3
x
.
Xem lời giải tại:
39. Xác định những giá trị của m để phương trình: x4 − 2(m + 1)x2 + 2m + 1 = 0
có bốn nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn x2 − x1 = x3 − x2 = x4 − x3 > 0.
Xem lời giải tại:
40. Chứng minh rằng nếu phương trình x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 có nghiệm
thực thì ta sẽ có a2 + b2 ≥
4
5
 và 2a2 + b2 ≥
4
3
.
Xem lời giải tại:
a.  x4 = 4x + 1 b.  x3 − x2 − x =
1
3
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 MỘT ẨN
BÀI TẬP
41. Giải phương trình: (x − 1)3 + x3 + (x + 1)3 = (x + 2)3
Xem lời giải tại:
42. Giải phương trình: x4 − 4x3 − 1 = 0. (*)
Xem lời giải tại:
43. Giải phương trình x4 + 3x3 − 2x2 − 6x + 4 = 0.
Xem lời giải tại:
44. Giải phương trình: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) = 24.
Xem lời giải tại:
45. Giải phương trình: (3x + 4)(x + 1)(6x + 7)2 = 6.
Xem lời giải tại:
46. Giải các phương trình:
Xem lời giải tại:
47. Giải phương trình: (x − √2)3 + (x + √3)3 + (√2 − √3 − 2x)3 = 0.
Xem lời giải tại:
48. Giải phương trình ẩn x sau: (a + b + x)3 − 4(a3 + b3 + x3) − 12abx = 0.
Xem lời giải tại:
49. Giải phương trình: x4 + 8x3 + 15x2 − 4x − 2 = 0. (1)
Xem lời giải tại:
50. Tìm a để phương trình sau có nghiệm: (x2 − a)2 − 6x2 + 4x + 2a = 0.
Xem lời giải tại:
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT
BẬC HAI
BÀI TẬP
51. Một ca nô xuôi dòng 80 km và ngược dòng 64 km hết 8 giờ với vận tốc riêng
không đổi. Biết vận tốc xuôi dòng hơn vận tốc ngược dòng là 4 km/h. Tính vận
tốc riêng của ca nô.
Xem lời giải tại:
52. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 11 và tổng bình phương của chúng
bằng 61.
Xem lời giải tại:
53. Một buổi tổng kết thi đua có 55 đại biểu tham dự. Lúc đầu các đại biểu được
chia ngồi đều trên các ghế dài (mỗi ghế có số người ngồi như nhau). Về sau, có
thêm 3 ghế dài nên bây giờ mỗi ghế ngồi bớt đi 1 đại biểu và chiếc ghế cuối cùng
chỉ có 3 đại biểu. Hỏi ban đầu có mấy ghế dài.
Xem lời giải tại:
54. Tính độ dài các cạnh của một hình chữ nhật có chu vi bằng 408 m và có
đường chéo bằng 156 m.
Xem lời giải tại:
55. Một xí nghiệp đặt kế hoạch sản xuất 3000 sản phẩm trong một thời gian.
Trong 6 ngày đầu, họ thực hiện đúng tiến độ, những ngày sau đó mỗi ngày vượt
10 sản phẩm nên chẳng những hoàn thành sớm 1 ngày mà còn vượt mức 60 sản
phẩm nữa. Tính năng suất dự kiến theo kế hoạch.
 Xem lời giải tại:
56. Quãng đường AB dài 200 km. Cùng một lúc, một xe tải khởi hành từ A đi đến
B và một xe con khởi hành từ B đi về A. Sau khi hai xe gặp nhau, xe tải phải đi
thêm 3 giờ nữa mới tới B. Biết vận tốc xe tải kém vận tốc xe con là 20 km/h, tính
vận tốc của mỗi xe.
Xem lời giải tại:
57. Hai người ra chợ bán tổng cộng 100 quả trứng gà. Số trứng của mỗi người
không bằng nhau nhưng số tiền thu được lại bằng nhau. Người thứ nhất nói với
người thứ hai: "Nếu tôi có số trứng như bà tôi sẽ thu được 15 đồng". Người thứ
hai lại nói: "Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của bà, tôi chỉ bán được 6
2
3
đồng". Hỏi mỗi người có bao nhiêu quả trứng mang đi bán?
Xem lời giải tại:
58. Tìm ba số dương. Biết rằng tích các số đó bằng 1,25; tích của số thứ nhất với
bình phương số thứ hai là 5 và tổng của ba số đó đạt giá trị nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
59. Có ba đội xây dựng I, II và III cùng làm một công việc. Làm chung được 4
ngày thì đội III được điều động đi làm việc khác, hai đội còn lại làm thêm 12
ngày nữa thì hoàn thành công việc. Biết rằng năng suất của đội I cao hơn năng
suất đội II, năng suất đội III bằng trung bình cộng của năng suất hai đội kia và
nếu mỗi đội làm 
1
3
 công việc thì mất 37 ngày mới xong. Hỏi nếu mỗi đội làm một
mình thì bao nhiêu ngày xong công việc trên?
Xem lời giải tại:
60. Một người đi từ A đến B cách A 17km theo đường thẳng, B cách một xa lộ
8km. Lúc khởi hành người đó đi trên xa lộ với vận tốc 5 km/h. Hỏi người đó
phải rời xa lộ chỗ nào để đi đến B trên đường đất sao cho thời gian đi từ A đến B
là ít nhất? Biết rằng vận tốc của người đó trên đường đất là 3 km/h.
Xem lời giải tại: