Bài tập Bất phương trình lớp 10

m m x m⇔ + − + + > 
ðặt f(x) = (m2 + m – 2 )x + m + 2 
Bài toán thỏa mãn: 
2 2
2 2
3( 2) 0 ( 2)( 2) 2 0 2 6 0 2 3
 02(1) 0 2( 2)(1) 2 0 2 0 2 0
 − > + − − + + > − − + > − < <   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <   
> + − + + > + >     
f m m m m m m
mf m m m m m
m m
Bài 2: Tìm m ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x : 2 22 1 0x x m− + − > 
Bài giải : 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Do a = 1 > 0 Vậy bài toán thỏa mãn: 2 2 2' 1 1 0 2 0
2
 < −
⇔ ∆ = − + < ⇔ − < ⇔ 
>
m
m m
m
Bài 3: Tìm a nhỏ nhất ñể bpt sau thỏa mãn [ ]0;1x∈∀ : 
2 2 2( 1) ( 1)a x x x x+ − ≤ + + (1) 
Bài giải : 
ðăt : 2 1t x x= + + = f(x) 
Lập bbt f(x) trên [0;1] Suy ra f(x) 1 3t⇒ ≤ ≤ 
2 2
 1;3 1;3(1) ( 2) 2 0 (2)      ∈ ∈⇔ − ≤ ∀ ⇔ − + ≥ ∀t ta t t t at a 
ðặt f(t) = t2 – at + 2a 
2 8 0
2 8 0
(2) 1. (1) 0 1 9
1
2 2
2 8 0
1. (3) 0
3
2 2





















∆ = − ≤
∆ = − >
⇔ ≥ ⇔ − ≤ ≤
−
= <
∆ = − >
≥
−
= >
a a
a a
f a
b a
a
a a
f
b a
a
Suy ra a cần tìm là : a = -1 
BÀI TP TUYN SINH 
Bài 1:Tìm a ñể hai bpt sau tương ñương :( a-1).x – a + 3 > 0 (1) và (a+1).x – a + 2 >0 (2) 
Bài giải : 
TH1: a = 1± thay trực tiếp vào (1) và (2) thấy không tương ñương. 
TH2: a > 1 : 1 2
3 2(1) ; (2)
1 1
− −
⇔ > = ⇔ > =
− +
a a
x x x x
a a
(1) 1 2(2) 5x x a⇔ ⇔ = ⇔ = 
TH3: a < -1 : 
1
2
(1)
(2)
x x
x x
⇔ <
⇔ <
 ðể 1 2(1) (2) 5x x a⇔ ⇔ = ⇔ = ( loại) 
TH4: -1 < a < 1 : (1) Và (2) không tương ñương 
Kết luận :a = 5 thỏa mãn bài toán . 
Bài 2: (ðHLHN): Cho f(x) = 2x2 + x -2 . Giải BPT f[f(x)] < x (1) 
Bài giải : 
Vì f[f(x)] – x = f[f(x)] – f(x) +f(x) – x = [2f2(x) + f(x) -2] – (2x2 + x – 2) + f(x) – x = 
= 2[f2(x) – x2 ] + 2 [f(x) – x ] = 2 [f(x) – x ][f(x) + x +1] = 2(2x2 – 2)( 2x2 +2x-1) 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Vậy (1) 2 2
1 3 1
22(2 2)(2 2 1) 0 
1 3 1
2

− −
< < −
⇔ − + − < ⇔

− +
< <

x
x x x
x
Bài 3: (ðHKD-2009). Tìm m ñể ñường thẳng (d) : y = -2x + m cắt ñường cong (C): y = 
2 1x x
x
+ −
 tại 
2 ñiểm pb A ,B sao cho trung ñiểm I của ñoạn AB thuộc oy 
Bài giải : 
Xét pt hoành ñộ : 
2 12 (1)x xx m
x
+ −
− + = 
ðể (d) cắt (C) tại 2 ñiểm pb (1)⇔ có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 0 
2(1) 3 (1 ) 1 0 ( )x m x f x⇔ + − − = = 
Do a .c = -3 <0 ,f(0) = -1 Vậy (1) luôn có 2 nghiệm phân biêt khác 0 . 
ðể I thuộc oy 1 2 10 0 1
2 6
x x m
m
+ −
⇔ = ⇔ = ⇔ = 
Bài 4: Tìm m ñể (d) : y = -x + m cắt (C )y = 
2 1x
x
−
 tại 2 ñiểm pb A,B sao cho AB = 4. 
Bài giải : 
Xét pt hoành ñộ :
2 1x
x m
x
−
− + = (1) 
ðể (d) cắt (C ) tại 2 ñiểm pb (1)⇔ có 2 nghiệm pb khác 0 22 1 ( ) 0x mx f x⇔ − − = = có 2 nghiệm pb 
khác 0. 
Do a.c = -2 < 0 , f(0) = -1 Vậy (1) luôn có 2 nghiệm pb x1 , x2 khác 0. 
ðể AB = 4 2 2 22 1 2 116 ( ) ( ) 16AB x x y y⇔ = ⇔ − + − = 
2
2 2
2 1 2 1 1 2
12( ) 16 2 ( ) 4 2( 4.( )) 16 2 6
4 2
 ⇔ − = ⇔ + − = − − = ⇔ = ± 
m
x x x x x x m 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
II -- BT PHuchoaNG TRÌNH CHuchoasacA TR TUYT  I 
A - LÝ THUT 
1.
2.
3. ( )( ) 0
A B B A B
A B
A B
A B
A B A B A B
< ⇔ − < <
>
> ⇔  < −
> ⇔ − + >
Các tính chất : 
,
,
1.
2. . 0
3. ,
4. ( ). 0
A B
A B
A B A B
A B A B A B
A B A B
A B A B A B B
+ ≤ + ∀
+ < + ⇔ <
− ≥ − ∀
− > − ⇔ − >
B - BÀI TP 
Bài 1:Giải các bpt sau : 
2 2 2
2
2
1) 2 3 3 3 2) 3 2 2
5 43) 2 5 7 4 4) 1
4
− − ≤ − − + + >
− +
+ > − ≤
−
x x x x x x x
x x
x x
x
Bài giải : 
2 2
2 2
2 3 3 3 6 0 3 2(1) 2 5
0 52 3 3 3 5 0
 − − ≥ − + + − ≥ ≤ − ∪ ≥ 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤   ≤ ≤
− − ≤ − − ≤   
x x x x x x x
x
xx x x x x
2 2 2
2 2
2 2
3 2 2 2 5 2 0(2) 3 2 2 
2 03 2 2
1 12
 2 2
2 2
 − + > −  − + >
⇔ − + > − ⇔ ⇔ 
− >
− + < − 
 
 < ⇔ ⇔
 
> > 
x x x x x x
x x x x
xx x x x
x x x
x x
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
[ ][ ]2 2 2 2(3) (2 5) (7 4 ) (2 5) (7 4 ) 0 (2 5) (7 4 ) (2 5) (7 4 ) 0
1(12 2 )(6 2) 0 (6 )(3 1) 0 6
3
⇔ + > − ⇔ + − − > ⇔ + + − + − − >
⇔ − − > ⇔ − − > ⇔ < <
x x x x x x x x
x x x x x
(4). ðk: x 2≠ ± 
2 2 2 2 2 2 2(4) 5 4 4 ( 5 4) ( 4) (8 5 )(2 5 ) 0
80
5
5
2
⇔ − + ≤ − ⇔ − + ≤ − ⇔ − − ≤
 ≤ ≤
⇔ 
 ≥

x x x x x x x x x
x
x
Bài 2:Giải các bpt sau : 
2
2 2
2
4 3
1) 1 2) 1 2 8
5
− +
≥ − ≤ − +
+ −
x x
x x x
x x
Bài giải: 
1) Bảng xét dấu : 
x −∞ 0 +∞ 
 4 5 
X2 – 4x + - + + 
X - 5 - - - + 
+) Xét : 0
4 5
x
x
<
 ≤ <
2
2 2
4 3 3 2 2(1) 1 0 
5 5 3
− + +
⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ −
− + − +
x x x
x
x x x x
 (do 2 5 0, x Rx x ∈− + > ∀ ) 
+) Xét : 0 4x≤ < : 
2
2
2
4 3 1(1) 1 2 5 2 0 2
5 2
− + +
⇔ ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
− +
x x
x x x
x x
+) Xét : 5x ≥ : 
2
2 2
4 3 5 8 1 21 8 1 21(1) 1 0 
5 5 2 5 2
− + − − − − +
⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ∪ ≤ ≤
+ − + −
x x x
x x
x x x x
 (ktm) 
Vậy nghiệm bpt là :
2
3
1 2
2
x
x
− ≤

 ≤ ≤

2. ðặt t = , 0x t ≥ : 
2
2 2
2 2
2 2
2 2 7 02 8 1 9(2) 1 2 8 9 21 2 8
2
 − + ≥− + − ≤ − 
⇔ − ≤ − + ⇔ ⇔ ⇔ ≤ 
≤− ≤ − + 

t tt t t
t t t t
tt t t
Vì 9 9 9 90 0 
2 2 2 2
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤t x x 
Bài 3: Giải và biện luận bpt sau : 2 23 4 (1)x x m x x m− − ≤ − + 
Bài giải: 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 2 2(1) 3 4 2 7 2 0 2 7 2 0⇔ − − ≤ − + ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤x x m x x m x x x m x x x m 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Ta có : 7(2 7)( 2 ) 0 2 0
2
x x x m x m x x− − = ⇔ = ∪ = ∪ = 
+) Nếu 2m < 0 : Có trục xác ñịnh dấu: 
Kết luận :
2
70
2
x m
x
≤

 ≤ ≤

+) Nếu 2m = 0 
Kết luận: 7
2
x ≤ 
+) Nếu 7 70 2 0
2 4
m m< < ⇔ < < 
Kết luận:
0
72
2
x
m x
≤

 ≤ ≤

+) Nếu 2m = 7
2
7
4
m⇔ = 
Kết luận:
0
7
2
x
x
≤

 =

+) Nếu 7 72
2 4
m m> ⇔ > 
Kết luận:
0
7 2
2
x
x m
≤

 ≤ ≤

B - BÀI TP V NHÀ 
Bài 1: Giải các bpt sau : 
2
2 2
2
1) 1 2
2) 1 4 2 1
3) 2 2 2 2
4) 3 3 9 2
− <
− ≥ +
+ − ≤ − −
− − > −
x x
x x
x x x x
x x x
Bài giải : 
Kết quả : 
1.) 1 2 1 2x− + < < + 
2.) 0
1
x
x
≤
 ≥
3.) 2
0 1
x
x
= −
 ≤ ≤
4.) 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
2
2
2
2
2
3 9 2 3
3 3 9 2 
3 3 9 2
4 19
3 8 1 0 3
3 10 5 0 4 19
3
− + − < −
⇔ − < − + ⇔ 
− < − +

−
 ⇔ ⇔

− + 

x x x
x x x
x x x
x
x x
x x
x
Bài 2: Giải các bpt sau : 
2
2
4
21) 1
2 3
2) 1
1
3) ( 3)( 1) 5 ( 1) 11
≤ −
−
≤
+
+ − − ≤ + −
x
x
x
x
x x x
Bài giải : 
1.ðặt : 2 , 0x t t= > . Ta ñược : 
2 2
2 2
2 2 02 21 2 0 1
2 2 0
 − ≤ − + − ≤
−≤ − ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ < ≤ 
− ≥ − + ≤ 
t t t tt
t t t t t
t t t t t t
Vậy 2
1 1
0 1
0
x
x
x
− ≤ ≤
< ≤ ⇔ 
≠
2.ðk : 1x ≠ − 
TH1 : 0≥x 
2 2
2
2 3(2) 1 2 3 1 (2 3 ) (1 )
1
1 38 14 3 0 
4 2
−
⇔ ≤ ⇔ − ≤ + ⇔ − ≤ +
+
⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
x
x x x x
x
x x x
 (tm) 
TH2: 
0
1
x
x
<

≠ −
2 2
2
2 3(2) 1 2 3 1 (2 3 ) (1 )
1
3 18 10 3 0 
4 2
+
⇔ ≤ ⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ +
+
⇔ + + ≤ ⇔ − ≤ ≤ −
x
x x x x
x
x x x
( tm ) 
3. 2 4 2 4(3) 2 3 5 ( 1) 11 ( 1) 9 ( 1) 11⇔ + − − ≤ + − ⇔ + − ≤ + −x x x x x 
ðặt : 2( 1) , 0t x t= + ≥ . Ta ñược : 
2 2
2
2 2
9 11 2 0
9 11 
11 9 20 0
1 2 5
5 4 4
 − ≤ − − − ≥ 
− ≤ − ⇔ ⇔ 
− + ≤ − + − ≥  
≤ − ∪ ≥ ≤ − 
⇔ ⇔ ≤ − ∪ ≥ ≥ 
t t t t
t t
t t t t
t t t
t t t
Vậy 4t ≥ ( tm ) 2 1( 1) 4 ( 1)( 3) 0 
3
≥
⇔ + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔  ≤ −
x
x x x
x
Bài 3: Giải và biện luận bpt sau theo tham số m. 2 22 3x x m x x m− + ≤ − − 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Bài giải : 
( ) ( )
( )
2 22 2
2
(3) 2 3
2 (2 5 ) 0
(2 5)( 2 ) 0
⇔ − + ≤ − −
⇔ + − ≤
⇔ + + ≤
x x m x x m
x m x x
x x x m
Nếu : 5 52
2 4
m m− thì 
2
(3) 5 0
2
x m
x
≤ −
⇔

− ≤ ≤

Nếu : 5 52
2 4
m m− = − ⇔ = thì (3) 0x⇔ ≤ 
Nếu 5 52 0 0
2 4
m m− < − < ⇔ < < thì 
5
(3) 2
2 0
x
m x
 ≤ −⇔

− ≤ ≤
Nếu 2 0 0m m− = ⇔ = thì 5(3)
2
x⇔ ≤ − 
Nếu m < 0: thì 
0 2
5
2
x m
x
≤ ≤ −

 ≤ −

Kết luận : 
Bài 4: Với giá trị nào của m thì bpt sau thỏa mãn với mọi x : 2 2 2 2 0x mx x m− + − + > 
Bài giải : 
2 2(4) ( ) 2 2 0x m x m m⇔ − + − + − > 
ðặt : , 0x m t t− = ≥ 
Ta ñược : t2 + 2t + 2 – m2 > 0 (5) 
ðể tmbt 2 2 0( ) 2 2 tf t t t m ≥⇔ = + > − ∀ 
2inf( ) 2(6)M t m⇔ > − 
Lập bbt của f(t) : 
Suy ra Minf(t) = 0 : 
Vậy 2(6) 0 2 2 2m m⇔ > − ⇔ − < < 
Bài 5: Với giá trị nào thì bpt sau có nghiệm: 2 22 1 0x x m m m+ − + + − ≤ 
Bài giải : 
2 2
2 2
2( ) 1 0( )
(5)
2( ) 1 0( )
x x m m m
I
x m
x x m m m
II
x m
 + − + + − ≤

≥⇔  − − + + − ≤
 <
(5) có nghiệm khi và chỉ khi (I) có nghiệm Hoặc (II) có nghiệm: 
2 2( ) 2 ( ) 1
x m
I
x x f x m m
≥
⇔ 
+ = ≤ − + +
Có f(m) = m2 + 2m 
(I) có nghiệm 2 2 2 11 2 2 1 0 1
2
⇔ − + ≥ + ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤m m m m m m m 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
(II) 2 22 ( ) 3 1
x m
x x g x m m
<
⇔ 
− = ≤ − − +
(II) có nghiệm 2 2 2 12 3 1 2 1 0 1
2
⇔ − < − − + ⇔ + − < ⇔ − < <m m m m m m m 
Kết luận : 11
2
m− ≤ ≤ 
Cách 2: 
ðặt : 0t x m= − ≥ ,phải tìm m ñể 
f(t) = 2 2 2 1 0t t mx m+ + + − ≤ có nghiệm 0t ≥ .Parabol y = f(t) quay bề lõm lên trên và có hoành ñộ 
ñỉnh là t = -1< 0 nên phải có f(0) = 2mx + m - 1 0≤ .Khi t = 0 thì x = m suy ra 
2 12 1 0 1
2
m m m+ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ 
Bài 6: Tìm a ñể với mọi x : 2( ) ( 2) 2. 3= − + − ≥f x x x a 
Bài giải : 
Bài toán thỏa mãn : 
2
2
2 1 2 ( ) 0 (2)
6 1 2 ( ) 0 (3)
x a
x a
x x a f x
x x a g x
≥
<
 − + − = ≥ ∀
⇔ 
− + + = ≥ ∀
2
' 0
0
0' 0(2)
1. ( ) 0 4 1 0 2 3
11
2
a
a o a
f a a a a
b a
a
∆ ≤
 ≤
 
 > ≤ ∆ > ⇔ ⇔ ⇔   ≥ − + ≥ ≥ +     < − <
(3) 2
' 0
8 2 0
8 2 0 4' 0
1. ( ) 0 4 1 0 2 3
3
2
a
a a
g a a a a
b a
a
a
∆ ≤
 − ≤
 
 − > ≥ ∆ > ⇔ ⇔ ⇔   ≥ − + ≥ ≤ −     <  < −
Vậy ñể thỏa mãn bài toán : 0
4
a
a
≤
 ≥
Bài 7: Tìm a ñể bpt:Ax + 4 > 0 (1) ñúng với mọi giá trị của x thỏa mãn ñiều kiện 4x < 
Bài giải : 
Nhận thấy trong hệ tọa ñộ xoy thì y = ax + 4 với 
-4 0 ( 4) 0 1 1 1(4) 0 1
y a
a
y a
− ≥ ≥ − 
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ ≥ ≤ 
Bài 8: Tìm a ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x : 2 2( 4 3)( 4 6)x x x x a+ + + + ≥ 
Bài giải : 
ðặt : 2 24 3 ( 2) 1 1 1= + + = + − ≥ − ⇒ ≥ −t x x x t 
Bài toán thỏa mãn : 1( 3) ( ) tt t f t a ≥−⇔ + = ≥ ∀ 
Xét f(t) với t 1≥ − Suy ra Min f(t) = -2 
Vậy bài toán thõa mãn 2a⇔ ≤ − 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
III — BT PHuchoaNG TRÌNH CHuchoasacA C"N THÚC 
A — LÝ THUYT 
Phương pháp 1: Sử dụng phép biến ñổi tương ñương : 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
2
2
2
2
0
1. 0
0
2. 0
00
3.
0
00
4.
0
A
A B B
A B
A
A B B
A B
BB
A B
A A B
BB
A B
A A B
 ≥


 <
 ≥
≤ ⇔ ≥
 ≤
≥< 
> ⇔ ∪ ≥ > 
>≤ 
≥ ⇔ ∪ ≥ ≥ 
Bài 1: Giải các bpt sau : 
2
2
1) 3 2 1
2) 1 3
3) 3 2 4 3
4) 3 4 1
− < −
− + ≤ +
− > −
+ − ≥ +
x x
x x x
x x
x x x
Bài giải : 
1.
2 2
1
2 1 0 2
3 0 3 3
3 (2 1) 4 5 4 0

> − >

⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ 
 
−  

x
x
x x x
x x x x
2.
2
2 2
1 0
83 0
7
1 ( 3)
x x
x x
x x x
 − + ≥

⇔ + ≥ ⇔ ≥ −

− + ≤ +
3. 2
2 3
4 3 04 3 0 23 4
 1
3 2 0 3 33 2 (4 3) 1
4
 ≤ <
− ≥− < 
⇔ ∪ ⇔ ⇔ ≤ < 
− ≥
− > −  ≤ <

x
xx
x
x x x
x
4.
2
2 2
1 0 4
3 4 0 3
1 0 1 41
43 4 ( 1)
x
x
x x
x
x
x x x
 + ≤  ≤ −+ − ≥ ⇔ ⇔ + > +  ≥  + − ≥ +
Bài 2: Giải các bpt sau : 
2
2 2
1) 1 2( 1)
2) ( 5)(3 4) 4( 1)
3) 2 3 5 2
4) ( 3) 4 9
+ ≥ −
+ + > −
+ − − < −
− − ≤ −
x x
x x x
x x x
x x x
Bài giải : 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
1. 
2
2 2 2
2( 1) 0 1 1
1
1 0 1 
1 3
2( 1) ( 1) 2 3 0
 − ≥ ≤ − ∪ ≥
= − 
⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔   ≤ ≤ 
− ≤ + − − ≤
x x x
x
x x
x
x x x x
. 
2. 
2
2
14( 1) 0 54( 5)(3 4) 0 5 43
 1
31 0 1
1 4( 5)(3 4) 16( 1) 13 51 4 0
 <
 − <  ≤ −
  + + ≥ ≤ − ∪ ≥ −  ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ <
− ≥   ≥  ≤ − 
− − <
x
x x
x x x x
x
x
x
xx x x
x x
Kết luận : 45 4
5
x x≤ − ∪ − ≤ < 
3. ðk: 
2 0
53 0 2
2
5 2 0
x
x x
x
+ ≥

− ≥ ⇔ − ≤ ≤

− ≥
25 2 3 2 2 11 15 2 3Bat phuong trinh ⇔ − + − > + ⇔ − + > −x x x x x x (*) 
+) Xét : 32
2
x− ≤ < (*) luôn ñúng. 
+) Xét : 3 5
2 2
x≤ ≤ 2 2 2 3; (*) 2 11 15 (2 3) 2 6 0 2
2
⇔ − + > − ⇔ − − < ⇔ − < <x x x x x x 
Do 3 5
2 2
x≤ ≤ nên nghiệm của bpt là : 3 2
2
x≤ < 
Kết luận : 2 2x− ≤ < 
4. ðk: 2 4 0 2 2x x x− ≥ ⇔ ≤ − ∪ ≥ 
Nhận xét x = 3 là nghiệm bpt . 
+) Xét x > 3: ( )22 2 13 4 3 4 3 
6
Bat phuong trinh ⇔ − ≤ + ⇔ − ≤ + ⇔ ≥ −x x x x x 
Suy ra x > 3 là nghiệm bpt 
+) Xét : 2 2 3x x≤ − ∪ ≤ < 
( )
2
22 2
3 03 0
 4 3 
4 0 4 3
33 3 13
 132 2 6 13 0 63
6
Bat phuong trinh
+ >+ ≤ 
⇔ − ≥ + ⇔ ∪ 
− ≥ − ≥ + 
≤ −≤ − > −  ⇔ ∪ ⇔ ⇔ ≤ −  ≤ − ≥ + ≤ − < ≤ − 

∪
xx
x x
x x x
x
x x
x
x x x x
Vậy kêt luận : 
13
6
3
x
x
 ≤ −

≥
BÀI TP V NHÀ 
Bài 1: Giải các bpt sau : 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
2
2
1) 2 1 8
2) 2 6 1 2 0
3) 6 5 8 2
4) 3 2 8 7
5) 2 1
− ≤ −
− + − + >
− + − > −
+ ≥ − + −
+ − + <
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
Bài giải : 
1. 
2
2
88 0
1 1(1) 2 1 0 5
2 2
2 1 (8 ) 18 65 0
≤
 − ≥ 
 
⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤ 
 
− ≤ − 
− + ≥
x
x
x x x
x x
x x
2. 
( ) ( )2 222
2
2 02 0(2) 2 6 1 2 
2 6 1 22 6 1 0
2
3 7 2 3 7
 32 22 3 0
3 7
2
− ≥
− < 
⇔ − + > − ⇔ ∪ 
− + > −− + ≥ 
<


− ≥
− ≤⇔ ∪ ⇔ ≤ ∪ > 
− − > + ≥

xx
x x x
x x xx x
x
xx
x x
x x
x
3. 
Tương tự : 3 5x< ≤ 
4. 
ðk:
3 0
2 8 0 4 7
7 0
x
x x
x
+ ≥

− ≥ ⇔ ≤ ≤

− ≥
( ) ( ) ( ) ( )( )2
2 2
(4) 3 2 8 7 3 1 2 2 8 7 2 2 8 7
5
4 2 22 56 11 30 0 
6
⇔ + ≥ − + − ⇔ ≥ − + − − ⇔ ≥ − −
≤
⇔ ≥ − + − ⇔ − + ≥ ⇔  ≥
x x x x x x x
x
x x x x
x
Kết luận : 4 5
6 7
x
x
≤ ≤
 ≤ ≤
5. 
ðkiện :
2 0
1 0 0
0
x
x x
x
+ ≥

+ ≥ ⇔ ≥
 ≥
( )2
(5) 2 1 2 2 1 2 ( 1) 1 2 ( 1)
3 2 3 3 2 3
1 01 3 3
 1 
0 1 4 ( 1) 3 2 3 3 2 31
3 3
⇔ + < + + ⇔ + < + + + ⇔ − < +
 + +
< − < − 
− ≥
− ∪ ⇔ ≥  − < +
− + − +  < ≤ < 
 
x x x x x x x x x x
x xxx o
x
x x x x
x x
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Kết luận : 3 2 3
3
x
− +
> 
Bài 2: Giải các bpt sau : 
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
1) ( 3 ). 2 3 2 0
22) 21 3) 4
3 9 2 1 1
− − − ≥
 −
− + + +
x x x x
x x
x x
x x
Bài giải : 
1. 
2
2
2
122 3 2 0 21(1) 22 3 2 0 2
33 0 1
2
2
0 3





= ≤ − 
− − =
 
⇔ ⇔ = − ⇔ = − − > 
  ≥
− ≥ 
 
 ≤ ∪ ≥
x x
x x
x xx x
xx x
x
x
x x
2. 
ðk :
99 2 0
2
3 9 2 0 0
x x
x
x
+ ≥ ≥ − 
⇔ 
− + ≠  ≠
Khi ñó : 
( )22
2
2 3 9 2 7(2) 21 9 2 4 
4 2
+ +
⇔ < + ⇔ + < ⇔ <
x x
x x x
x
Kết luận : 
9 7
2 2
0
x
x

− ≤ <

 ≠
3. 
ðk: 1 0 1x x+ ≥ ⇔ ≥ − 
Nhận xét : x = 0 là nghiệm của bpt 
+) Xét 0x ≠ : 
( ) ( )
22
2
2
1 1
(3) 4 1 1 4 2 2 1 4
1 3 1 9 8
− +
⇔ > − ⇔ − + > − ⇔ − + > −
⇔ + < ⇔ + < ⇔ <
x x
x x x x
x
x x x
Kết luận : 1 8x− ≤ < 
Chú ý : Dạng 
( ) 0
( ). ( ) 0 ) ) 0
( ) 0
 =

≥ ⇔ >
 ≥
g x
f x g x g x
f x
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Bài 3: Giải bpt sau : 
23 4 2 2− + + + <x x
x
Bài giải : 
ðk :
41
3
0
x
x

− ≤ ≤

 ≠
: 
+) Xét : 40
3
x< ≤ : 
2
23 4 2 2 3 4 2 2Bpt − + + +⇔ < ⇔ − + + < −x x x x x
x
( )2 22
2 2 0 1 9
77 9 03 4 2 2
− ≥ ≥
⇔ ⇔ ⇔ > 
− >− + + < − 
x x
x
x xx x x
Vậy bpt có nghiệm : 9 4
7 3
x< ≤ 
+) Xét: 1 0 :x− ≤ < bpt luôn ñúng 
Kết luận nghiệm của bpt:
1 0
9 4
7 3
x
x
− ≤ <

 < ≤

Bài 4: 
2 2 2
2 2 2
2
1) 3 2 4 3 2 5 4
2) 8 15 2 15 4 18 18
3) 1 1 2
4
− + + − + ≥ − +
− + + + − ≤ − +
+ + − ≤ −
x x x x x x
x x x x x x
x
x x
Bài giải : 
1. 
ðk:
2
2
2
3 2 0
4 3 0 1 4
5 4 0
x x
x x x x
x x
 − + ≥

− + ≥ ⇔ ≤ ∪ ≥

− + ≥
( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 1 4Bpt ⇔ − − + − − ≥ − −x x x x x x (*) 
Nhận xét x = 1 là nghiệm 
+) Xét x <1 : 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(*) 1 2 1 3 2 1 4 2 3 2 4⇔ − − + − − ≥ − − − + − ≥ −x x x x x x x x x 
Ta có : 12 3 4 4 2 4 , <− + − < − + − = − ∀xx x x x x 
Suy ra x < 1 bpt vô nghiệm . 
+) Xét : 4 :x ≥ 
(*) 2 3 2 4⇔ − + − ≥ −x x x 
Ta có : 42 3 4 4 2 4, ≥− + − ≥ − + − = − ∀xx x x x x 
Suy ra : 4 :x ≥ , bất pt luôn ñúng . 
Vậy nghiệm của bpt là : 1
4
x
x
=
 ≥
2. 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
ðiều kiện:
2
2
2
8 15 0
3
2 15 0
5 5
4 18 18 0
x x
x
x x
x x
x x
 − + ≥
= 
+ − ≥ ⇔  ≤ − ∪ ≥
− + ≥
( )( ) ( )( )5 3 5 3 (4 6)( 3)Bpt ⇔ − − + + − ≤ − −x x x x x x (*) 
Nhận xét x = 3 là nghiệm của bpt 
+) Xét : 5x ≤ − 
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )22 2 2
(*) 5 3 5 3 6 4 3 5 5 6 4
175 5 2 25 6 4 25 3 25 3 
3
⇔ − − + − − − ≤ − − ⇔ − + − − ≤ −
⇔ − − − + − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ ≤
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
Suy ra : 5x ≤ − là nghiệm của bpt 
+) Xét : 5≥x 
2 2 17(*) 5 5 4 6 5 5 2 25 4 6 25 3
3
⇔ − + + ≤ − ⇔ − + + + − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ ≤x x x x x x x x x x 
Suy ra : 175
3
x≤ ≤ là nghiệm của bpt . 
Kết luận : Nghiệm của bpt ñã cho là : 
5
3
175
3
x
x
x

 ≤ −

=

≤ ≤

3. 
ðk: 1 0 1 1
1 0
x
x
x
+ ≥
⇔ − ≤ ≤
− ≥
: 
Khi ñó : 
( )
( ) [ ]
4 4
2 2 2 2
42
2
1;1
1 1 2 1 4 1 2 1 1 0
16 16
 1 1 0
16
Bpt
∈ −
⇔ + + − + − ≤ − + ⇔ − − − + + ≥
⇔ − − + ≥ ∀
x
x x
x x x x x x
x
x
Vậy nghiệm của bpt là : 1 1x− ≤ ≤ 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
PHuchoaNG PHÁP %T &N PHuhoanang 
Bài 1: Giải bpt sau : ( ) ( ) 21 4 5 5 28 (1)+ + < + +x x x x 
Bài giải : 
ðặt : 2 5 28, 0t x x t= + + > ( Do 2 5 28 0, )x Rx x ∈+ + > ∀ 
Khi ñó : 2 2(1) 24 5 5 24 0 0 8⇔ − 0 ) 
2 20 5 28 8 5 36 0 9 4⇔ < + + < ⇔ + − < ⇔ − < <x x x x x 
Kết luận : -9 < x < 4 
Bài 2: Giải bpt sau : 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14 (1)+ + − + + − < −x x x x x 
Bài giải : 
ðk: 7 7 0 6
7 6 0 7
x
x
x
+ ≥
⇔ ≥
− ≥
: 
ðặt : 
( ) ( )
( )( )
2
2
7 7 7 6, 0 7 7 7 6 2 7 7 7 6
14 2 7 7 7 6 1
= + + − ≥ ⇒ = + + − + + −
⇒ + + − = −
t x x t t x x x x
x x x t
Khi ñó : 
2 2
2
2
(1) 7 7 7 6 14 2 49 7 42 181 1 181
182 0 0 13( 0) 7 7 7 6 13
6 12 649 7 42 84 7 67
76
⇔ + + − + + + − < ⇔ + − <
⇔ + − < ⇔ ≤ < ≥ ⇔ + + − <
 ≤ <
⇔ + − < − ⇔ ⇔ ≤ <
 <
x x x x x t t
t t t t x x
x
x x x x
x
Kết luận : 6 6
7
x≤ < 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Bài 3: Giải bpt sau : 3 13 2 7 (1)
22
+ < + −x x
xx
ðk : x > 0: 1 1(1) 3 2 7(2)
42
x x
xx
   
⇔ + < + −  
  
ðặt : 2 21 1 1 12 . 2 1 1
4 42 2
= + ≥ = ⇒ = + + ⇒ + = −t x x t x x t
x xx x
Khi ñó : ( )2 2 1(2) 3 2 1 7 2 3 9 0 3( 2) 3(3)
2
⇔ ⇔ > ≥ + >t t t t t t x
x
ðặt : , 0= >u x u 
( ) 21 3 7 3 73 3 2 6 1 0 0
2 2 2
3 7 3 7 8 3 7 8 3 70 0
2 2 2 2
− +
⇔ + > ⇔ − + > ⇔ 
− + − +
⇔ ⇔ 
u u u u u
u
x x x x
Kết luận : 8 3 7 8 3 70
2 2
x x
− +
BÀI TP V NHÀ 
Bài 1: Giải các bpt sau : 
2 2
2 2
2 2
1) 3 6 4 2 2
2) 2 4 3 3 2 1
3) 3 5 7 3 5 2 1
+ + < − −