65 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Có đáp án)

sinh chỉ thích bóng chuyền: 36 – (5 + 10 + 3) = 18 (hs).
Vậy: Số học sinh của lớp là: 1 + 0 + 18 + 4 + 10 + 5 + 3 + 12 + = 53 (hs).
b. (1,5 đ)
A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  58 59 60.
* Từ 1 đến 9 có : 9 chữ số
 Từ 10 đến 60 có: 51 . 2 = 102 chữ số.
Vậy: Số A có 9 + 102 = 111 chữ số. (0,5đ)
* Nếu xóa 100 chữ số trong số A thì số A còn 11 chữ số. Trong số A có 6 chữ số 0 nhưng có 5 chữ số 0 đứng trước các chữ số 51 52 53 . 58 59 60.
 Þ Trong số nhỏ nhất có 5 chữ số 0 đứng trước Þ số nhỏ nhất là số có 6 chữ số.
 Þ Số nhỏ nhất là 00000123450 = 123450 (0,5đ).
* Trong số A có 6 chữ số 9. Nếu số lớn nhất có 6 chữ số 9 đứng liền nhau thì số đó là: 99999960
 Þ Số này chỉ có 8 chữ só không thỏa mãn.
 Þ Số lớn nhất chỉ có 5 chữ số 9 liền nhau số đó có dạng 99999.
 Þ Các chữ số còn lại 78 59 60.
Vậy số lớn nhất: 99999785860.
Câu 2: (2,5đ).
a.(1,5đ).
 Þ A = 5 + 52 +  + 596 Þ 5A =52 + 53 +  + 596 + 597 
 Þ 5A – A = 597 - 5 Þ A = 
Tacó: 597 có chữ số tận cùng là 5 ® 597 – 5 có chữ số tận cùng là 0.
Vậy: Chữ số tận cùng của A là 0.
b. (1đ).
Có: 6n + 3 = 2(3n + 6) – 9
 Þ 6n + 3 chia hết 3n + 6 
Þ 2(3n + 6) – 9 chia hết 3n + 6
Þ 9 chia hết 3n + 6
Þ3n + 6 = ±1 ; ± 3 ; ±9
3n + 6
- 9
- 3
- 1
1
3
9
n
- 5
- 3
- 7/3
- 5/3
- 1
1
Vậy; Với n = 1 thì 6n + 3 chia hết cho 3n + 6.
Câu 3: (2,5đ).
a. (1đ).
Gọi số tự nhiên cần tìm là a (a > 0, a Î N)
Theo bài ra ta có:
- a chia cho 3 dư 2 Þ a – 2 chia hết cho 3
- a chia cho 4 dư 3 Þ a – 3 chia hết cho 4
- a chia cho 5 dư 4 Þ a – 4 chia hết cho 5
- a chia cho 10 dư 9 Þ a – 9 chia hết cho 10
Þ a = BCNN(3, 4, 5, 10) = 60.
b.(1,5đ).
11n + 2 + 122n + 1 = 121 . 11n + 12 . 144n
=(133 – 12) . 11n + 12 . 144n = 133 . 11n + (144n – 11n) . 12
Tacó: 133 . 11n chia hết 133; 144n – 11n chia hết (144 – 11) 
Þ 144n – 11n chia hết 133 Þ 11n + 1 + 122n + 1
Câu 4: (2đ).
Số đường thẳng vẽ được qua n điểm: 
Þ n .(n – 1) = 210 = 2 . 5 . 3 . 7 = 10 . 14
Þ n. (n – 1) = 6 . 35 = 15 . 14.
Vì n và n – 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên: n = 14
Vậy n = 14.
-----------------------------------------------------------
ĐỀ SỐ 28
Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài 1:(2,25 điểm)	Tìm x biết
	a) x+ 	b) 	x- 	c)(x-32).45=0
Bài 2:(2,25 điểm)	Tính tổng sau bằng cách hợp lý nhất:
	A = 11 + 12 + 13 + 14 + ..+ 20.
	B = 11 + 13 + 15 + 17 + ..+ 25.
	C = 12 + 14 + 16 + 18 + ..+ 26.
Bài 3:(2,25 điểm)	Tính:
A= 
B= 
C = 
Bài 4:(1 điểm)	
	Cho:	A= .	
	Hãy so sánh A và B.
Bài 5:(2,25 điểm)
Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trên tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4 cm. Trên tia BA lấy điểm K sao cho BK = 2 cm.
Hãy chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K.
Tính IK.	
ĐÁP ÁN 
Bài 1:(2,25 điểm)
	a) x= ;	 b) x= ; 	c) x = 32
Bài 2:(2,25 điểm)	Tính tổng sau bằng cách hợp lý nhất:
a) A = (11 + 20) + (12 + 19) + (13 + 18) + (14 + 17) + (15+ 16) 
= 31 + 31 + 31	+31+ 31 = 31.5= 155	
b)	B = (11+25)+(13+23)+(15 + 21)+(17 +19) = 36.4 = 144.
c)	C = (12 +26)+(14+24)+(16 +22)+(18 +20) = 38.4 = 152.
Bài 3:(2,25 điểm)	Tính:
	A= 
	B= 
	C = 
Bài 4:(1 điểm)	
	Ta có: 	10A = 	(1)
	Tương tự: 10B = (2)
	Từ (1) và (2) ta thấy : 10A > 10BA > B
 Bài 5:(2,25 điểm)
A
a) Trên tia BA ta có BK = 2 cm.	BA = 7cm nên BK< BA do đó điểm K nằm giữa A và B. Suy ra AK + KB = AB hay AK + 2 = 7 AK = 5 cm. Trên tia AB có điểm I và K mà AI < AK (và 4 <5) nên điểm I nằm giữa A và K
b) Do I nằm giữa A và K nên AI + IK = AK. Hay 4 + IK = 5 IK = 5- 4 = 1.	
-------------------------------------------------------------
ĐỀ SỐ 29
Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài 1: ( 3 điểm)
	a. Chứng tỏ rằng tổng sau khôngm chia hết cho 10:
	A = 405n + 2405 + m2 ( m,n N; n # 0 )
	b. Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số tự nhiên:
	B = 
	c. Tìm các chữ số x ,y sao cho: C = chia hết cho 55
Bài 2 (2 điểm )
	a. Tính tổng: M = 
	b. Cho S = . Chứng minh rằng : 1< S < 2
Bài 3 ( 2 điểm)
 Hai người đi mua gạo. Người thứ nhất mua gạo nếp , người thứ hai mua gạo tẻ. Giá gạo tẻ rẻ hơn giá gạo nếp là 20%. Biết khối lượng gạo tẻ người thứ hai mua nhiều hơn khối lượng gạo nếp là 20%. Hỏi người nào trả tiền ít hơn? ít hơn mâya % so với người kia?
Bài 4 ( 3 điểm)
 Cho 2 điểm M và N nằm cùng phía đối với A, năm cùng phía đối với B. Điểm M nằm giữa A và B. 
	Biết AB = 5cm; AM = 3cm; BN = 1cm. Chứng tỏ rằng: 
	a. Bốn điểm A,B,M,N thẳng hàng
	b. Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng MB
	c. Vẽ đường tròn tâm N đi qua B và đường tròng tâm A đi qua N, chúng cắt nhau tại C, tính chu vi của CAN .
ĐÁP ÁN 
Bài 1 ( 3 điểm)
a.(1 điểm)
	Ta có 405n = .5 ( 0,25 điểm)
	2405 = 2404. 2 = (.6 ).2 = .2 ( 0,25 điểm)
	m2 là số chính phương nên có chữ số tận cùng khác 3. Vậy A có chữ số tận cùng khác không A 10
b. ( 1điểm) 
B = ( 0,25 điểm)
B = 	 (0,25 điểm )
Để B là số tự nhiên thì 	là số tự nhiên
 18 (n+2) => n+2 ư ( 18) = 	 (0,25 điểm)
+, n + 2= 1 n= - 1 (loại)
+, n + 2= 2 n= 0 
+, n + 2= 3 n= 1 
+, n + 2= 6 n= 4 
+, n + 2= 9 n= 7 
+, n + 2= 18 n= 16 
	Vậy n thì B N (0,25điểm	)	
c. (1 điểm)
	Ta có 55 =5.11 mà (5 ;1) = 1	 (0,25 điểm)	
	Do đó C =	55 	 (0.25 điểm)	 
(1) => y = 0 hoặc y = 5
+, y= 0 : (2) => x+ 9+5 – ( 1+9 +0)	11 => x = 7 (0,25 điểm)
+, y =5 : (2) = > x+9 +5 – (1+9+5 ) 11 => x = 1 (0,25 điểm)
Baì 2 (2 điểm)
a( 1điểm)
 M = = (0,25 điểm)
= ( 0, 25 điểm)
= ( 0,5 điểm)
b. (1 điểm) 
S = => S > (1) ( 0,5điểm) S= => S < (2) ( 0,5 điểm)
Từ (1) và (2) => 1 < S < 2
Bài 3: 
Gọi giá gạo nếp là a (đồng/kg) ; khối lượng gạo nếp đã mua là b (kg) (0,25 điểm)
Suy ra giá gạo tẻ là ; khối lượng gạo tẻ đã mua là ( 0,25 điểm)
Số tiền người thứ nhất phải trả là a.b (đồng) (0,25 điểm)
Số tiềng người thứ hai phải trả là a.b (0.75điểm)
Vậy người thứ hai trả ít tiền hơn người thứ nhất . Tỉ lệ % ít hơn là:
	 (0,5 điểm)
BÀI 4 
	Vẽ hình chính xác (0,5 điểm)
a. Bốn điểm A,B, M, N thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên đường thẳng MN (0,5 điểm)
b. (1 điểm)
BM = AB – AM = 2 (cm) (0,25điểm)
M,N tia AB mà BM > BN ( 2 > 1) => N năm giữa B và M. ( 0,25 điểm)
MN = BM – BN = 1 cm = BN.=> N là đường trung điểm của BM . (0,5 điểm).
c. Đường tròn tâm N đi qua B nên CN = NB = 1 cm (0,25 điểm)
 Đường tròn tâm A đi qua N nên AC = AN = AM + MN = 4 cm (0.25 điểm)
Chu vi CAN = AC + CN = NA = 4 + 4+1= 9 (cm) (0,5 điểm)
ĐỀ SỐ 30
 Bài 1 : Tìm x biết 
 a ) x + (x+1) +(x+2) +...... +(x +30) = 620 
 b) 2 +4 +6 +8 +..............+2x = 210 
Bài 2 : a) chứng tỏ rằng trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3
 b) cho A =( 17n +1 )(17n +2 ) với mọi n
Bài 3: Cho S = 1+3+32 +33+.........+348 +349
 a ) chứng tỏ S chia hết cho 4
 b) Tìm chữ số tận cùng của S 
 c) Chứng tỏ S =
Bài 4 : Tìm 2 số a ,b thoả mãn : 12a + 36b = 3211
Bài 5 : Cho (2a + 7b) ( a,b ) Chứng tỏ : (4a + 2b ) 
Bài 6 : Lấy 1 tờ giấy cắt ra thành 6 mảnh .Lấy 1 mảnh bất kỳ cắt ra thành 6 mảnh khác . Cứ như thế tiếp tục nhiều lần 
 Hỏi sau khi đã cắt một số mảnh nào đó ,có thể được tất cả 75 mảnh giấy nhỏ không ?
Giả sử cuối cùng đếm được 121 mảnh giấy nhỏ .Hỏi đã cắt tất cả bao nhiêu mảnh giấy ?
Bài 7 : Cho đoạn thẳng AB .Hãy xác định vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho 
 CA CB 
Bài 8 : Vẽ đoạn thẳng AB =5 cm .Lấy 2 điểm C ,D nằm giữa A và B sao cho : AC +BD=6 cm 
chứng tỏ điểm C nằm giữa B và D 
Tính độ dài đoạn thẳng CD
ĐÁP ÁN
Bài 1 :
 a) 31x + 
 x= 155 :31 = 5
 b) 210=2.3.5.7 =(2.7)(3.5)=14.15
 Vậy x= 14 
Bài 2 :
 a) gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là x ,x+1, x+2 ( x 
 - Nếu x = 3k ( thoả mãn ) .Nếu x= 3k +1 thì x+2 =3k+1+2 =(3k +3 )
Nếu x = 3k +2 thì x +1 = 3k+1 +2 = (3k +3 ) 
 Vậy trong 3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 
 b )Nhận thấy 17n , 17n +1 , 17n + 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp mà 17n không chia hết cho 3 ,Nên trong 2 số còn lại 1 số phải 
 Do đó : A =( 17n +1 )(17n +2 ) 
 Bài 3: 
 a )Ta có : S = (1+3)+(32+33)+.......+(348+349) = 4+32(1+3)+......+ 348(1+4) 
 b ) S = (1+3+32 +33)+(34+35+36+37)+........+(344+345+346+347) +348 +349
 Các tổng 4 số hạng đều chia hết cho 10 ,do đó tận cùng bằng 0
 Mặt khác 338 + 349 = 34.12 + 348 .3 = .....1 + ....1 .3 = .............4 
 Vậy S có tận cùng bằng 4 
c ) S = 1+3+32 +33+.........+348 +349
 3S = 3 +3+32 +33+.........+348 +349+ 350 
 = 350 – 1 
 2S = 350 – 1 Suy ra S =
 Bài 4 : 
 Nhận thấy 12 a và 36 b mà 3211 không chia hết cho 4 , Vậy không có 2 số tự nhiên nào thoả mãn 
 Bài 5 : Ta có ( 6a + 9b ) hay ( 2a + 7b +4a + 2b ) .Mà (2a +7b ) 
 Nên (4a + 2b ) 
 Bài 6 :
a) Khi ta cắt 1 tờ giấy thành 6 mảnh thì số mảnh giấy tăng thêm 5 .Cắt nhiều lần như thế thì tổng số mảnh giấy tăng thêm 5k (k là tờ giấy đem cắt ) .Ban đầu chỉ có 1tờ giấy ,Vậy tổng số các mảnh giấy là 5k + 1
 Số này chia 5 dư 1 : vậy không thể có được tất cả 75 mảnh giấy nhỏ ( vì 75)
 b) Ta có 5k +1 = 121 k=24 .Vậy ta đã cắt được tất cả 24 mảnh giấy 
C
M
B
A
Bài 7 : 
Gọi M là trung điểm của AB suy ra MA = MB và M AB 
Xét 3 trừơng hợp 
 a ) C M ta có MA = MB suy ra CA = CB 
 b ) C nằm giữa A và M CA < MA CA < MB (1)
 M nằm giữa C và B nên MB < CB (2) 
 Từ (1) & (2) CA < CB 
 c ) C nằm giữa M và B CB < MB CB < MA ( 3)
 M nằm giữa A và C nên MA < CA (4) 
 Từ (3) và (4) CA < CB 
Tóm lại C MA thì ta luôn có CA CB 
B
C
D
A
Bài 8 : 
C nằm giữa A và B nên : AC + CB = AB = 5 
 Và AC + BD = 6 
 AC + CB < AC + BD CB < BD C nằm giữa D và B 
 b ) BD = BC + CD 
 vì AC + BD = 6 nên AC + BC + CD = 6 (BC + AC) + CD = 6 CD = 6 – AB = 6 -5 =1 
 Vậy CD = 1 
ĐỀ SỐ 31
Thời gian làm bài: 150 phút
Năm học 2009 - 2010
Câu 1 (2 điểm)	
	Tính
a/ A = b/ B = 	
Câu 2 (2 điểm)
a/ Chứng minh rằng: 1028 + 8 chia hết cho 72
b/ Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 22001 + 22002	 B = 22003 So sánh A và B
c/ Tìm số nguyên tố p để p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 đều là các số nguyên tố.
Câu 3 (2 điểm) Người ta chia số học sinh lớp 6A thành các tổ, nếu mỗi tổ 9 em thì thừa 1 em, còn nếu mỗi tổ 10 em thì thiếu 3 em.
Hỏi có bao nhiêu tổ, bao nhiêu học sinh ?
Câu 4 (3 điểm) Cho +ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm.
a/ Tính độ dài BM
b/ Biết BAM = 800; BAC = 600. Tính CAM Biết = 800; = 600. Tính 
c/ Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1 cm.
Câu 5 (1 điểm)Chứng minh rằng:	 
ĐÁP ÁN
Câu 1: 
a/ A = 	(1 điểm)
b/ B = 	(1 điểm)
Câu 2:
a/ Vì 1028 + 8 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng đó chia hết cho 9
Lại có 1028 + 8 có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8
Vậy 1028 + 8 chia hết cho 72	(1/2 điểm)
b/ Có 2A = 2 + 22 + 23 + . . . + 22002 + 22003 => 2A – A = 22003 – 1
=> A = B – 1. Vậy A < B.	(1/2 điểm)
c/ Xét phép chia của p cho 5 ta they p có 1 trong 5 dạng sau:
p = 5k; p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + 4 (k N; k > 0)
+ Nếu p = 5k thì do p nguyên tố nên k = 1 => p = 5
+ Nếu p = 5k + 1 => p + 14 = 5(k + 3) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
+ Nếu p = 5k + 2 => p + 8 = 5(k + 2) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
+ Nếu p = 5k + 3 => p + 12 = 5(k + 3) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
+ Nếu p = 5k + 4 => p + 6 = 5(k + 2) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
Thử lại với p = 5 thoả mãn	(1 điểm)
Câu 3:Giả sử có thêm 4 học sinh nữa thì khi chia mỗi tổ 10 em thì cũng còn thừa 1 em như khi chia mỗi tổ 9 em. Vậy cách chia sau hơn cách chia trước 4 học sinh. Mỗi tổ 10 học sinh hơn mỗi tổ 9 học sinh là: 10 - 9 = 1 (học sinh)
	(1 điểm)
Do đó số tổ là: 4 : 1 = 4 (tổ)	(1/2 điểm)
Số học sinh là: 4 . 10 – 3 = 37 (học sinh)	(1/2 điểm)
Câu 4: Vẽ hình, ghi giả thiết + kết luận	 (1/2 điểm)
a/ C nằm giữa B và M 
=> BC + CM = BM	(1/2 điểm)
=> BM = 3 + 5,5 = 8,5	(1/2 điểm)
b/ C nằm giữa B và M =>AC là tia 	
nằm giữa 2 tia AB và AM	 (1/2 điểm)
=> BAC + CAM = BAM
=> = – 
=> = 800 – 600 = 200(1/2 điểm)
c/ Xét 2 trường hợp:
+ Nếu K nằm giữa C và M tính được BK = BC + CK = 5,5 + 1 = 6,5 (cm)
+ Nếu K nằm giữa C và B tính được BK = 4,5 (cm)	(1/2 điểm)
Câu 5:Ta có:	 
(1/2 điểm)
(1/2 điểm)
ĐỀ SỐ 32
Đề th chọn học sinh giỏi lớp 6 chuyên toán ( Quận Ba Đình - Năm học 1991-1992)
Bài 1: ( 5 điểm )
Bài 2: ( 5 điểm )	Tìm hai số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện:
	a + 2b = 48 và (a,b) + 3 [a,b] = 114
Bài 3:	Hình học ( 6 điểm )
1. Cho 3 điểm A,B,C thẳng hàng và AB + BC =AC. Điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Tại sao? 
2. Cho góc aOb và tia 0c nằm giữa hai tia Oa và Ob. Od là tia đối của tia Oc .Chứng minh rằng:
Tia Od không nằm giữa hai tia Oa và Ob.
Tia Ob không nằm giữa hai tia Oa và Od.
Bài 4: ( 4 điểm ) Tính tỷ số biết	
ĐÁP ÁN
Bài 1 
Bài 2:
A
6
12
18
24
30
36
42
B
21
18
15
12
9
6
3
(a,b)
3
6
3
12
3
6
3
[a,b]
42
36
90
24
90
36
42
(a,b) + [a,b]
129
114
273
84
114
114
129
Vậy a = 12; b = 18 hoặc a = 36 ; b = 6
Bài 4:
ĐỀ SỐ 33
Đề thi học sinh giỏi lớp 6 chuyên toán ( Quận Ba Đình - Năm học 1993-1994)
Câu 1: (6 điểm) Thực hiện tính dãy
Câu 2: (5 điểm) Tìm 2 số tự nhiên thoả mãn:
- Tổng của BSCNN và ƯSCLN của 2 số ấy là 174.
- Tổng của số nhỏ và trung bình cộng của 2 số ấy là 57
Câu 3 : (4 điểm) Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
- Có bao nhiêu đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng nối 2 trong 5 điểm đã cho.Kể tên các đạon thẳng ấy.
- Có thể dựng được một đường thẳng không đi qua điểm nào trong 5 điểm đã cho mà cắt đúng 5 đoạn thẳng trong các đoạn thẳng nói trên không? Giải thích vì sao:
Câu 4 : (5 điểm) 
Lúc 8 giờ, một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12km /h. Lát sau người thứ 2 cũng đi từ A đến B với vận tốc 20km /h. Tính ra hai người sẽ gặp nhau tại B. Người thứ 2 đi được nửa quãng đường AB thì tăng vận tốc lên thành 24km /h. Vì vậy 2 người gặp nhau cách B 4 km.Hỏi 2 người gặp nhau lúc mấy giờ?
ĐÁP ÁN
Bài 1: =
Bài 2: (a,b) + [a,b] = 174 ; 3a + b = 114 Þ b M 3 ; [a,b] M 3 và 174 M 3 Þ (a,b) M 3 Þ a M 3 
 Mà 3a + b = 114 Þ 3a < 114 Þ a < 38
a..
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
b..
105
96
87
78
69
60
51
42
33
24
15
6
(a,b)
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
3
6
[a,b]
105
96
261
156
345
180
357
168
297
120
165
36
Tổng
108
112
264
162
348
186
360
174
300
126
168
42
Bài 4: 
	Hiệu vận tốc trên nửa quãng đường đầu là : 20 - 12 = 8 (km/h)
	Hiệu vận tốc trên nửa quãng đường sau là : 24 - 12 = 12 (km/h)
	Hiệu vận tốc của nửa quãng đường đầu theo dự định bằng 2/3hiệu vận tốc trên nữa quãng đường sau. Chỉ xét nửa quãng đường sau thời gian xe II đuổi kịp xe I trên thực tế bằng 2/3thời gian xe hai đuổi kịp xe I theo dự định
	Thời gian hai xe đuổi kịp nhau sớm hơn là : 4: 12 = h = 20 '
	Thời gian hai xe đuổi kịp nhau theo dự định: 20 . 3 = 60 ' = 1h
	Thoì gian xe hai cần để đuổi kịp xe một trên cả quãng đường : 1 . 2 = 2h
	Quãng đường xe I đi trước là: 16 : 2 = h = 1h 20'
	Thời gian hai xe gặp nhau theo dự định: 8 h + 1h 20' +2h = 11h 20'
	Do hai xe trên thực tế gặp nhau sớm hơn dự định 20' 
	Hai xe gặp nhau lúc 11h 20' - 20' = 11h
ĐỀ SỐ 34
Đề thi chịn học sinh giỏi lớp 6 chuyên toán ( Quận Ba Đình - Năm học 1993-1994)
Bài1: ( 4 điểm )
 Cho
Tính tỷ số 
Bài 2: ( 4 điểm ) Tìm các chữ số a,b sao cho số chia hết cho 4 và chia hết cho 7.
Bài 3 : ( 4 điểm )
	Lúc 8 giờ một người đi từ A dến B với vận tốc 25 km/h. Khi còn cách B 20km người ấy tăng vận tốc lên 30 km/h. Sau khi làm việc ở B trong 30 phút, rồi quay trở về A với vận tốc không đổi 30 km/h và đến Alúc 12 giờ 2 phút. Tính chiều dài quãng đường AB.
Bài 4: ( 4 điểm )	Trên tia Ax ta lấy các điểm B, C, Dsao cho AB = 5cm; AC = 1cm; AD = 3 cm.
Chứng minh rằng điểm D nằm giữa hai điểm C và B. Trên đoạn thăng AB lấy điểm M sao cho CM = 3 cm . Chứng minh rằng điểm C nằm giữa hai điểm A và M 
Bài5: ( 4 điểm ) 	Tìm phân số thoả mãn điều kiện: và 7a + 4b = 1994
ĐÁP ÁN 
 Bài 1:
Bàì 2:
 :
	Vậy số đó là: 7140 ; 7840 ; 7644 hoặc 7448
 Bài 3: 
	Gọi điểm cách B 20km là C.
	Thời gian đi quãng đường CB và BC là: ( 20 . 2 ) : 30 = 1h 20'
	Thời gian đi quãng đường AC và CA là: 12h 2' - 8h - 30' -1h 20' = 132'
	Tỷ số vận tốc trên qãng đường AC và CA là nên tỷ số vận tốc trên quảng đường AC và CA là 
	Thời gian đi quãng đường AC là : 132 : 11 . 6 = 72' = h
	Chiều dài quãng đường AC là . 25 = 30 (km)
	Chiều dài quãng đường AB là : 50 km
 Bài 5:
ĐỀ SỐ 35
( Quận Ba Đình - Năm học 1994-1995)
Bài 1: ( 6 điểm )
	Thực hiện dãy tính:
Bài 2: ( 5 điểm )
	Tìm số tư nhiên nhỏ nhất có chữ số hàngđơn vị là 5, chia cho 11 dư 4, chia cho 13 dư 6 và chia hết cho 7.
Bài 3: ( 5 điểm )
	Trên tia Ox cho ba điểm A, B, C phân biệt. Chứng minh rằng:
Nếu OA + OB < OC thi điểm B Nằm giữa hai điểm O và C.
Nếu OA + AB + BC = OC thì điểm Bnằm giữa hai điểm A và C.
Bài 4: ( 4 điểm )
	 Ba máy bơm cùng bơm vào một bể lớn , nếu dùng cả máy một và máy hai thì sau 1 giờ 20 phút bể sẽ đầy, dùng máy hai và máy ba thì sau 1 giờ 30 phút bể sẽ đầy còn nếu dùng máy một và máy ba thì bể sẽ đầy sau 2 giờ 24 phút.
 Hỏi nếu mỗi máy bơm được dùng một mình thì bể sẽ đầy sau bao lâu?
ĐÁP ÁN
Bài 1:
Bài 2:
Gọi số đó là x
Theo đề bài x là giá trị nhỏ nhát Þ 2m + 3 = 11 Þ m = 4 Þ q = 57 Þ x = 35 . 57 =1985
Bài 4:
	Một giờ máy một và hai bơm được bể , máy hai và ba bơm bể, máy một và ba bơm bể. Þ một giờ cả ba máy bơm bể.
	Máy ba bơm một mình 6 giờ sẽ đầy bể
	Máy một bơm một mình 4 giờ sẽ đầy bể
	Máy hai bơm một mình 2 giờ sẽ đầy bể
ĐỀ SỐ 36
Đề thi vào lớp 7 chuyên toán ( Quận Ba Đình - Năm học 1992-1993)
Bài 1: ( 6 điểm) Tìm x biết: 
Bài 2: ( 5 điểm )
 Tìm số tự nhiên a, b thoả mãn điều kiện: a + 2b = 49 và [a,b] + (a,b) = 56
Bài 3: ( 3 điểm )
Tìm các chữ số a,b sao cho số chia hết cho 6 và chia hết cho 7.
Bài 4: ( 5 điểm )
Cho góc AMC = 600. Tia Mx là tia đối của tia MA, My là phân giác của góc CMx, Mt là tia phân giác của góc xMy.
Tính góc AMy.
Chứng minh rằng MC vuông góc với Mt.
Bài 5: ( 2 điểm )
	Chứng minh rằng: 2 1993 < 7 714
ĐÁP ÁN
Bài 1:
Tử số vế trái = 1
Tử số vế phải:
Mâ số vế phải
Bài 2: 
Gọi (a,b) = d 
a + 2b = 49 Þ 49 d ; [a,b] + d = 56 Þ 56 d Þ (56,49) d Þ dÎ {0 ; 7}
Nếu d = 1 Þ ab = [a,b] Þ [a,b] + 1 = 56 Þ [a,b] = 55 Þ ab = 55
A
1
55
5
11
B
55
1
11
5
Thay vào a + 2b = 49 cả 4 giá trị trên đều không thoả mãn
Nếu d = 7 Þ ab = 7. [a,b] Þ a = 7a' ; b = 7b' (a',b') =1 Þ a'b' = 7
	a' =1 ; b' = 7 Þ a =7 ; b = 49 (loại) 
a' =7 ; b' = 1 Þ a =49 ; b = 7 (loại) 
Vậy không có hai số a và b thoả mãn điều kiện đề bài.
Bài 3:	
Vậy a = 7 ; b = 0 hoặc a= 4 ; b = 6
Bài 5
ĐỀ SỐ 37
Đề thi vào lớp 7 chuyên toán ( Quận Ba Đình - Năm học 1995-1996)
Bài 1: Thực hiện dãy tính: (5 điểm) 
Bài 2: (5 điểm) Tìm các chữ số chia cho 7 và chia cho 8 đều dư 2.
Bài 3: (5 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = BC và M, N là các điểm nằm giữa 2 điểm A và C sao cho
 AM + NC < AC.
Chứng minh điểm M nằm giữa 2 điểm A và N.
Chứng minh AM = NC thì BM = BN
Bài 4: Tìm phân số thoả mãn các điều kiện: (3 điểm) và 5a - 2b = 3
Bài 5: (2 điểm) Cho 4 số tự nhiên tuỳ ý. Chứng minh rằng ta có thể chọn được hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5.
ĐÁP ÁN
Bài 1: 
Bài 2: 	 :7 và :8 dư 2
Xét b ³ 2 Þ ( –2 ) 7, 8 Þ 7, 8 ( c<8 )
 4 Þ 4 Þc = 0,4,8 Þ c = 0 ; 4
 7Þ 7 Þ ( 100a +c+80 ) 7
	 Þ [ 7( 14a +11 ) +2a +c +3 ] 7
(2a + c ) :7 dư 4 
Þ 2a +c =4 ; 11 ; 18 ; 25
VÌ C 4 Þ ( 2A + C) 2 Þ 2A+C =4; 18
 8 Þ( 100a +c ) 8 Þ (4a +c ) 8
Xét c=0 	 Nếu 2a+ c =4 Þ a=2 Þ 4a +c = 8 8 Þ Thoả mãn
NẾU 2A+ C =18 Þ A=9 Þ 4A +C = 36 8 Þ LOẠI
Xét c=4	 Nếu 2a+ c =4 Þ a=0 Þ 4a +c = 4 8 Þ loại
 NẾU 2A+ C =18 Þ A=7 Þ 4A +C = 32 8 Þ THOẢ MÃN
Xét b=0 Þ:7, :8 dư 2 Þ 7 , 8
	Có 78 4 Þ 8	Þloại
Xét b=1 Þ :7, :8 dư 2 Þ 7 , 8
	Có 8 Þ loại
Vậy a=2, b=2 hoặc a=7,b=6
Bài 4 và 5a - 2b =3 Þ a=( 3+ 2b )/5
Có a, b Î N Þ 2b : 5 dư 2 Þ 2b = 5k +2 Þ k 2 Þ k=2n
Đặt b= 5n +1 , a= 2n + 1 
 	 20n + 4 <18n + 9	42n+12 < 50n+10
	2n 11
Þ nÎ { 0;1;2}	n=2
Vậy n = 2 Þ 
Bài 5. Nếu trong 4 số ta chọn có 2 số có cùng số dư trong pháp chia cho 5 
Þ Hiệu của chúng chia hết cho 5 Þ đpcm
Xét 4 số có số dư khác nhau trong phép chia cho 5
	+ Số dư là 0,1,2,3 Þ tổng 2 số có số dư là 2 và 3 chia hết cho 5
	+ Số dư là 0,1,2,4 Þ tổng 2 số có số dư là 1 và 4 chia hết cho 5
	+ Số dư là 0,1,3,4 Þ tổng 2 số có số dư là 1 và 4 chia hết cho 5
	+ Số dư là 0,2,3,4 Þ tổng 2 số có số d