55 bài toán tổng hợp về diện tích đa giác

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ ĐA GIÁC
BÀI TẬP
1. Tam giác ABC có BC = 15cm, đường cao AH = 10cm. Một đường thẳng d song
song với BC cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E
a.  Tính diện tích tam giác ABC
b.  Tính độ dài DE nếu khoảng cách từ d đến BC bằng 4 cm
c.  Tính độ dài DE nếu DE bằng khoảng cách từ d đến BC
Xem lời giải tại:
2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 8cm. Các điểm E, F, G, H theo thứ tự thuộc
các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho: AE = BF = CG = DH.
a.  Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
b.  Chứng minh rằng các đường thẳng EG, FH, AC, BD đồng quy tại một điểm O
c.  Tính diện tích tứ giác EFGH biết OE = 5cm
d.  Tìm diện tích nhỏ nhất của tứ giác EFGH
Xem lời giải tại:
3. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có hai đường chéo AC, BD vuông góc với
nhau tại O.
a.  Tính các góc 
^
OCD;
^
ODC
b.  Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng ba điểm O, I,
K thẳng hàng
c.  Tính diện tích hình thang ABCD biết AB = a, CD = b
Xem lời giải tại:
4. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có CA là tia phân giác của góc C, 
AB = 13cm, CD = 23cm.
a.  Tính chu vi hình thang.
b.  Tính diện tích hình thang
Xem lời giải tại:
5. Cho tam giác nhọn ABC (AC > AB), đường cao AH. Gọi D, E, F theo thứ tự là
trung điểm của AB, AC, BC
a.  Xác định dạng của các tứ giác BDEF, DEFH
b.  Tính diện tích các tứ giác trên, biết: HB = 4cm; HC = 6cm; AH = 8cm
Xem lời giải tại:
6. Cho tứ giác ABCD có diện tích S. Tính diện tích tứ giác EFGH, trong đó E, F, G,
H theo thứ tự là trung điểm của AD, AB, BC, CD
Xem lời giải tại:
7. Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AB, I là
giao điểm của AE và CF. Cho biết ID là tia phân giác của góc AIC. Chứng minh
rằng:
a.  SADE = SCDF
b.  AE = CF
Xem lời giải tại:
8. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 10cm, AD = 6cm. Các điểm E, F, G, H theo
thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AE = AH = CF = CG.
a.  Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
b.  Tính diện tích tứ giác EFGH nếu AE = 3cm
c.  Tính độ dài AE để tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất?
Xem lời giải tại:
9. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c; AC = b. Gọi E là trung điểm của AC,
trên BC và AE lần lượt lấy các điểm D và G sao cho BC = 3BD, AE = 3AG. Gọi M,
N lần lượt là giao điểm của AD với BG và BE.
a.  Chứng minh rằng N là trung điểm của BE, M là trung điểm của AN.
b.  Tính diện tích các tam giác ABC, ANE.
c.  Tính diện tích tứ giác MNEG.
Xem lời giải tại:
10. Cho hình bình hành ABCD có AB = 6cm, AD = 4cm. Các tia phân giác các góc
của hình bình hành cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH.
a.  Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
b.  Tính độ dài đường chéo của tứ giác EFGH
c.  Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì thì tứ giác EFGH có diện tích lớn
nhất?
Xem lời giải tại:
11. Cho tam giác nhọn ABC có BC = 12cm, đường cao AH = 8cm. Hình vuông
EFIK có E thuộc AB, F thuộc AC, I và K thuộc BC
a.  Tính diện tích tam giác ABC
b.  Tính cạnh hình vuông
c.  Tính diện tích hình thang EFCB
Xem lời giải tại:
12. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại O. Gọi H và K
lần lượt là hình chiếu của B và C lên đường thẳng DE.
a.  So sánh EH và DK
b.  Chứng minh rằng: SBEC + SBDC = SBHKC
Xem lời giải tại:
13. Cho bát giác đều ABCDEFGH có cạnh 1cm. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là giao
điểm của các đường thẳng AB và CD, CD và EF, EF và GH, GH và AB
a.  Tính mỗi góc của bát giác đều
b.  Tứ giác IKMN là hình gì? Vì sao?
c.  Tính độ dài cạnh của tứ giác IKMN (làm tròn đến số thập phân thứ nhất)
d.  Tính diện tích bát giác đều (làm tròn đến số thập phân thứ nhất)
Xem lời giải tại:
14. Cho hình vuông ABCD cạnh a, AC cắt BD tại O. Một góc vuông xOy có tia Ox
cắt cạnh AB tại E, tia Oy cắt cạnh BC tại F. Tính diện tích của tứ giác OEBF.
Xem lời giải tại:
15. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt thuộc các cạnh AB và CD sao
cho AM = CN, P là điểm tùy ý trên cạnh AD. Đường thẳng MN cắt BP và CP lần
lượt tại E và F.
a.  Chứng minh rằng SBEFC = SAMEP + SPFND
b.  Chứng minh rằng SPEF = SBME + SCNF
Xem lời giải tại:
16. Cho tứ giác ABCD, I là trung điểm của AB. Qua A kẻ đường thẳng song song
với ID cắt CD tại E, qua B kẻ đường thẳng song song với IC cắt CD tại F. Biết diện
tích tứ giác ABCD là 60 cm2.
a.  Chứng minh rằng SIED = SIAD
b.  Tính diện tích ΔIEF
c.  Gọi M là trung điểm của EF. Tính diện tích tứ giác AIMD
Xem lời giải tại:
17. Cho tam giác ABC có Aˆ = 900, AB = 6 cm, AC = 8 cm, AH⊥BC tại H. Gọi E, F
lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC ; M và N lần lượt là trung điểm của HB
và HC
a.  Tính AH
b.  Tứ giác MNFE là hình gì ?
c.  Tính diện tích tứ giác MNFE.
Xem lời giải tại:
18. Cho hình vuông ABCD có cạnh 12 cm, O là giao điểm của AC và BD. Gọi G, H,
I, K lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC và OD
a.  Tứ giác GHIK là hình gì ? Tại sao ?
b.  Tính diện tích phần hình vuông ABCD nằm ngoài tứ giác GHIK
Xem lời giải tại:
19. Cho tam giác ABC có diện tích S. Trên cạnh AB lấy điểm M và trên cạnh AC
lấy điểm N sao cho BM = 2AM và AC = 3AN. Gọi O là giao điểm của BN và CM
a.  So sánh diện tích tam giác AOB và BOC
b.  Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của B và C trên OA. Chứng minh rằng 
BD = CE
c.  Tính diện tích tứ giác AMON theo S.
Xem lời giải tại:
20. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 
AE = 2EC. Gọi O là giao điểm của CD và BE. Chứng minh rằng:
a.  SBOC = SAOC
b.  OB = 3OE
Xem lời giải tại:
21. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm M bất kỳ nằm trong tam
giác đều ABC đến các cạnh của tam giác đó không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
Xem lời giải tại:
22. Cho hình thoi ABCD có cạnh dài 10 cm; AC = 12cm. Kẻ AH⊥BC tại H.
a.  Tính diện tích hình thoi ABCD
b.  Tính độ dài AH
c.  Gọi I là trung điểm của CD và E là điểm đối xứng A qua I. Chứng minh rằng 
BD⊥DE và tính diện tích tam giác BDE
Xem lời giải tại:
23. Hai đường trung tuyến AM và BN của tam giác ABC cắt nhau tại G. Tính SABC
nếu biết SAGB = 336 cm
2
Xem lời giải tại:
24. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB và BC lấy lần lượt hai điểm M và N sao cho 
AB = 5AM, BC = 3BN. Gọi O là giao điểm của AN và CM. Tính tỉ số diện tích của
tam giác AOC và diện tích tam giác ABC.
Xem lời giải tại:
25. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC, AC và AB lấy các điểm tương ứng 
A1; B1; C1 sao cho BA1 =
1
6
BC; CB1 =
1
3
CA; AC1 =
1
2
AB. Đoạn thẳng AA1 và 
CC1 cắt nhau tại P, đồng thời hai đường thẳng đó cắt BB1 lần lượt tại M và N.
Chứng minh rằng: SMNP = SA1MB + SB1CN + SC1AP
Xem lời giải tại:
26. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm E, G sao cho EG =
1
5
AB (E
nằm giữa B và G). Trên cạnh CD lấy hai điểm F và H sao cho FH =
1
3
CD (F nằm
giữa H và C). Gọi P là giao điểm của EH và FG. Biết rằng diện tích tam giác PEG
nhỏ hơn diện tích tam giác PHF là 2 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Xem lời giải tại:
27. Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Vẽ phía ngoài tam giác ABC các hình vuông
ABDE, ACFG, BCMN. Đường cao AH của tam giác ABC cắt MN ở K. Chứng minh
rằng:
a.  DC = AN
b.  SABDE = SBHKN; SACFG = SCHKM
Xem lời giải tại:
28. Tam giác đều ABC có đường cao bằng 3 cm. Gọi M là điểm bất kì nằm trong
tam giác. Gọi x, y, z theo thứ tự là các khoảng cách từ M đến BC, AC, AB. Tính giá
trị nhỏ nhất của tổng x2 + y2 + z2
Xem lời giải tại:
29. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC, AC. Biết AB = 8cm, BC = 10cm
a.  Tứ giác AMNP là hình gì ? Tính diện tích tứ giác AMNP
b.  Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC
c.  Tính diện tích tứ giác BMPC
Xem lời giải tại:
30. Cho hình thang cân ABCD (AB / /CD). Gọi I, H, K, L lần lượt là trung điểm của
AB, BC, CD và DA. Gọi N và P lần lượt là trung điểm của AC và BD
a.  Chứng minh rằng SNHCK =
1
4
SABCD
b.  Giả sử AB = 2CD. Tính tỉ số diện tích NIPK và hình thang ABCD.
Xem lời giải tại:
31. Cho hình vuông ABCD cạnh AB = 4cm. Trên cạnh BC và CD lấy lần lượt các
điểm M và N sao cho BM = CN = 1cm. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của
AD, DN, NM và AM. Tính diện tích các tứ giác AMND và EFGH
Xem lời giải tại:
32. Cho hình bình hành ABCD. Từ B kẻ đường thẳng a cắt cạnh CD tại M. Từ D kẻ
đường thẳng b cắt cạnh CB tại N. Biết rằng BM = DN, BM và DN cắt nhau tại I.
a.  Chứng minh rằng SABM = SAND
b.  Chứng minh rằng IA là phân giác 
^
BID
Xem lời giải tại:
33. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 2AB. Gọi E là trung điểm của AC, F là
trung điểm của BE. D là điểm đối xứng của F qua E. Chứng minh rằng:
a.  Tam giác CDE vuông cân tại D
b.  SABC =
4
3
SBCD
Xem lời giải tại:
34. Cho tam giác ABC. Xác định điểm M trên cạnh BC sao cho tổng khoảng cách
từ B và C đến AM lớn nhất
Xem lời giải tại:
35. Cho tam giác ABC có diện tích bằng S. Trên cạnh AB lấy một điểm M và trên
AC lấy một điểm N sao cho AM = 3BM và AN = 4CN. BN và CM cắt nhau ở điểm
P. Hãy tính diện tích tam giác ABP theo S.
Xem lời giải tại:
36. Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của AD lấy điểm F sao cho AD = AF,
trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CD = CE.
a.  Các tứ giác AFBC, ABEC, là hình gì?
b.  So sánh diện tích ba tứ giác ABCD, AFBC, ABEC
c.  Tứ giác AFEC là hình gì? So sánh diện tích của tứ giác AFEC với diện tích hình
bình hành ABCD.
Xem lời giải tại:
37. Cho tam giác DBF, BI là trung tuyến, ở phía ngoài tam giác ta dựng các hình
vuông BFKC và BAED.
a.  Chứng minh: AC = 2BI
b.  Cho BH⊥AC tại H. Chứng minh B, I, H thẳng hàng
c.  Chứng minh: SABC = BI. BH
Xem lời giải tại:
38. Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 5cm, BC = 8cm. Trên hai cạnh BC và CD ở
bên ngoài hình chữ nhật dựng các hình vuông BCPQ và DCMN. Gọi O1, O2 lần
lượt là tâm các hình vuông này.
a.  Chứng minh ba điểm O1, C, O2 thẳng hàng
b.  Tính diện tích hình vuông có cạnh là O1O2
Xem lời giải tại:
MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO
BÀI TẬP
39. Cho ΔABC có diện tích là S. Trên cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy ba điểm M, N, P
sao cho AM = 2BM, BN = 2NC, CP = 2PA. Tính diện tích ΔMNP theo S.
Xem lời giải tại:
40. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = 5 cm, CD = 15 cm và hai đường chéo là
AC = 16 cm, BD = 12 cm. Tính diện tích hình thang ABCD.
Xem lời giải tại:
41. Cho ΔABC có ba góc nhọn. Xác định vị trí điểm M nằm trong tam giác sao
cho AM. BC + BM. CA + CM. AB đạt giá trị nhỏ nhất. 
Xem lời giải tại:
42. Cho ΔABC có BC = 8 cm. Lấy điểm M trên cạnh AC sao cho AM =
1
3
AC. Gọi N
là điểm thuộc cạnh BC, biết MN chia ΔABCthành hai phần thỏa mãn 
SAMNB = 3SΔCMN. Tính BN, NC?
Xem lời giải tại:
43. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm E, G sao cho EG =
1
5
AB
(E nằm giữa B và G). Trên cạnh CD lấy hai điểm F, H sao cho FH =
1
3
CD (F nằm
giữa H và C). Gọi P là giao điểm của EH và FG. Biết SΔPHF − SΔPEG = 2 cm
2. Tính 
SABCD = ?
Xem lời giải tại:
44. Cho ΔABC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = 3DA. Trên cạnh BC lấy
điểm E sao cho BE = 4EC. Gọi F là giao điểm của AE và CD. So sánh độ dài hai
đoạn thẳng FD và FC.
Xem lời giải tại:
45. Cho hình bình hành ABCD. Lấy M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh CD. Gọi P là
giao điểm của AN và DM, Q là giao điểm của BN và CM. Chứng minh:
a.  SΔAPM + SΔMBQ = SΔDPN + SΔCQN
b.  SMPNQ = SΔADP + SΔBCQ
Xem lời giải tại:
46. Cho ΔABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BC. Gọi I là điểm
bất kì trên đường thẳng MN (I ≠ M, N). Chứng minh trong ba tam giác là 
ΔIBC, ΔIAC, IAB có một tam giác mà diện tích của nó bằng tổng diện tích của
hai tam giác còn lại.
Xem lời giải tại:
47. Cho ΔABC, Aˆ = 900, AB = AC, BC = 36 cm. Vẽ hình chữ nhật MNPQ sao
cho M ∈ AB, Q ∈ AC, N ∈ BC, P ∈ BC. Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ
nhật MNPQ?
Xem lời giải tại:
48. Cho ΔABC. Lấy điểm M, N, P lần lượt thuộc cạnh AC, AB, BC sao cho 
CM
AC
=
BP
BC
=
AN
AB
=
1
3
. Gọi I là giao điểm của BM và CN. Gọi E là giao điểm của
CN và AP. Gọi F là giao điểm của AP và BM. Chứng minh: 
SΔEIF = SΔIMC + SΔFBP + SΔNEA.
Xem lời giải tại:
49. Lấy 4 điểm ở miền trong của một tứ giác để cùng với 4 đỉnh ta được 8 điểm
trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích tứ giác là 1. Chứng
minh rằng: tồn tại một tam giác có ba đỉnh lấy từ 8 điểm đã cho có diện tích
không vượt quá 
1
10
. Tổng quát hóa bài toán cho n – giác lồi (n ≥ 3) với n điểm
nằm trong đa giác đó.
Xem lời giải tại:
50. Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d. 
Chứng minh rằng:
a.  SABCD ≤
1
4
(a + c)(b + d)
b.  SABCD ≤
1
4
(a2 + b2 + c2 + d2)
Xem lời giải tại:
51. Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ BC. Gọi I là trung điểm của CD. Qua I kẻ
đường thẳng d song song với AB. Kẻ AH, BE vuông góc với d (H, E ∈ d). So
sánh SABCD và SABEH.
Xem lời giải tại:
52. Cho hình bình hành ABCD có diện tích là S. Gọi M là trung điểm của BC, N là
giao điểm của AM và BD. Tính diện tích tứ giác MNDC theo S.
Xem lời giải tại:
53. Cho các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, AC của ΔABC sao cho 
AM
AB
=
BN
BC
=
CP
AC
= m. Xác định m để ΔMNPcó diện tích nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
54. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AC = 8 cm,
^
BDC = 450. Tính 
SABCD = ?
Xem lời giải tại:
55. Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có độ dài hai đường chéo là BD =
3 cm và AC = 5 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD, biết MN = 2 cm.
Tính diện tích hình thang ABCD.
Xem lời giải tại: