500 Bài toán bất đẳng thức chọn lọc - Cao Minh Quang

−+ + + ≥ + + + . 
Saint Petersburg, 2000 
188. Cho [ ]1 6,..., 0,1x x ∈ . Chứng minh rằng 
33 3
61 2
5 5 5 5 5 5 5 5 5
2 3 6 3 4 1 1 2 5
3
...
... 5 ... 5 ... 5 5
xx x
x x x x x x x x x
+ + + ≤
+ + + + + + + + + + + +
. 
Ukraine, 1999 
189. Cho 1 2, ,..., 0na a a > . Chứng minh rằng 
( )( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 3 2 2 21 2 1 2 2 3 11 1 ... 1 1 1 ... 1n na a a a a a a a a+ + + ≥ + + + . 
Czech – Slovak – Polish Match 2001 
190. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 
3 3 3
. 1 . 1 . 1 1a b c b c a c a b+ − + + − + + − ≤ . 
Japan, 2005 
191. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )
2 1 1 1a b c
a b c
b c a a b c
     + + ≥ + + + +       
. 
Iran, 2005 
192. Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng 
3 3 3 3
1 1 1 1 a b c d
a b c d abcd
+ + +
+ + + ≥ . 
Austria, 2005 
193. Cho [ ], , 0,1a b c∈ . Chứng minh rằng 
2
1 1 1
a b c
bc ca ab
+ + ≤
+ + +
. 
Poland, 2005 
194. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 
1
3
a b b c c a+ + ≤ . 
Bosnia and Hercegovina, 2005 
195. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 23 
1 1 12
1 1 1
b c a a b c
a b c a b c
  + + + + + ≥ + +   − − −
. 
Germany, 2005 
196. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )22 2 2 4 a ba b c
a b c
b c a a b c
−
+ + ≥ + + +
+ +
. 
Balkan, 2005 
197. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 8abc = . Chứng minh rằng 
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2
3 3 3 3 3 3
4
31 1 1 1 1 1
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + + + + +
. 
APMO, 2005 
198. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 
2 2 2 12 2 2
a b c
a b c
+ + ≤
+ + +
. 
Baltic way, 2005 
199. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1xyz ≥ . Chứng minh rằng 
5 2 5 2 5 2
5 2 2 5 2 2 5 2 3 0
x x y y z z
x y z y z x z x y
− − −
+ + ≥
+ + + + + +
. 
IMO, 2005 
200. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
2 23 3 1 12 2
4 4 2 2
a b b a a b
           + + + + ≥ + +                 
Belarusian, 2005 
201. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 1
a b c
+ + = . Chứng minh rằng 
( )( )( )1 1 1 8a b c− − − ≥
Croatia, 2005
202. Cho x là số thực dương. Chứng minh rằng 
( )
( )
1
1
2
1
1
n
n
n
x
x
x
+
−+ ≥ +
. 
Russia, 2005 
203. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc≥ . Chứng minh rằng 
1 1 1 1
1 1 1a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +
. 
Romania, 2005 
204. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 24 
( )( ) ( )( ) ( )( )
3
1 1 1 1 1 1 4
a a a
a b b c c a
+ + ≥
+ + + + + +
. 
Czech and Slovak, 2005
205. Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1
3
ab bc ca+ + = . Chứng minh 
rằng 
2 2 2
1 1 1 3
1 1 1a bc b ca c ab
+ + ≤
− + − + − +
. 
China, 2005 
206. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) 21 1 1
3
ab c bc a ca b− + − + − ≤ . 
Republic of Srpska, 2005 
207. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )3
2
a b c
a b c
b c c a a b
+ + ≥ + +
+ + +
. 
Serbia and Montenegro, 2005 
208. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 4 4 4 3a b c+ + = . Chứng minh 
rằng 
1 1 1 1
4 4 4ab bc ca
+ + ≤
− − −
. 
Moldova, 2005 
209. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng 
( )
3
3
1 33. 6 a b c
abc abc
+ + + ≤ . 
Slovenia TST, 2005 
210. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện , , 1a b c≥ . Chứng minh rằng 
( ) 1 1 12 9abc
a b c
 + + + ≥  
. 
211. [ Huỳnh Tấn Châu ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
1xy xy yz yz zx zx+ + = . 
Chứng minh rằng 
6 6 6
3 3 3 3 3 3
1
2
x y z
x y y z z x
+ + ≥
+ + +
. 
212. [ ðặng Thanh Hải ] Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng 
3 3
sin sin 2 sin 3
2
x x x+ + < . 
213. [ Ngô Văn Thái ] Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n> > . Chứng minh rằng 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 25 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3 2 3 4 1 1 1 2
1 2 3 2 3 4 1 1 1 2
...
n n n
n n n
x x x x x x x x x x x x
n
x x x x x x x x x x x x
−
−
+ + + +
+ + + + ≥
+ + + +
. 
214. [ Nguyễn Duy Liên ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện [ ], , 1,2a b c∈ . 
Chứng minh rằng 
( ) 1 1 1 10a b c
a b c
 + + + + ≤  
. 
215. [ Lê Thanh Hải ] Cho , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng 
2 2 2 2
2 2 2 2 4
a b c d a b c d
b c d a abcd
+ + +
+ + + ≥ . 
216. Cho [ ]0,2x∈ . Chứng minh rằng 
3 3 44 3 3x x x x− + + ≤ . 
217. Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng 
2 sin 15 10 2 cos 6x x+ − ≤ . 
218. [ Trần Văn Hạnh ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 1x y z+ + = , 
1n≥ . Chứng minh rằng 
( )2
2 2 2
2 1 2 1
1 1 1 2
n
n n n
n nx y z
x y z n
+ +
+ + ≥
− − −
. 
219. [ Kiều Phương Chi ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . 
Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 3 2 3 2 3 2a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +
. 
220. [ Vũ ðức Cảnh ] Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 1x y+ = . Chứng 
minh rằng 
( ) ( )1 11 1 1 1 4 3 2x y
y x
    + + + + + ≥ +      
. 
221. [ Ngô Văn Thái ] Cho ( ], , 0,1a b c∈ . Chứng minh rằng 
( )( )( )1 1 1 1 1
3
a b c
a b c
≥ + − − −
+ +
. 
222. [ Nguyễn Văn Thông ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
3 4 2 2
1 1 1
x y z
x y z
+ + =
+ + +
. 
Chứng minh rằng 
3 4 2
9
1
8
x y z ≤ . 
223. [ Nguyễn Bá Nam ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )3 3 3 3 3 3
1 1 1 3
2
b c c a a b
a b c
a b c a b c
   + + +  + + + + ≥ + +       
. 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 26 
224. Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng 
( )4416cos 3 768 2048cosx x+ + ≥ . 
225. [ Lê Quốc Hán ] Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng 
( )
( )
8 4
42
1 161 17
8 1
x x
x
+ +
≤ ≤
+
. 
226. [ Nguyễn Lê Dũng ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3a b b c c a a b c
a b b c c a a b c
+ + + + +
+ + ≤
+ + + + +
. 
227. [ Trần Xuân ðáng ] Cho , ,a b c là các số thực dương, 2n≥ . Chứng minh rằng 
1
1
nn n n
a b c n
n
b c c a a b n
+ + > −
+ + + −
. 
228. [ Trịnh Bằng Giang ] Cho , ,x y z là các số thực không âm thỏa ñiều kiện 1x y z+ + = , 
2n≥ . Chứng minh rằng 
( ) 11
n
n n n
n
n
x y y z z x
n
++ + ≤ +
. 
229. [ Nguyễn Văn Ngọc ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) ( )4 4 4316 3xyz x y z x y y z z x+ + ≤ + + + . 
230. [ Nguyễn Bá ðang ] Cho , , ,
6 2
x y z π π
 
 ∈
  
. Chứng minh rằng 
2
sin sin sin sin sin sin 11
sin sin sin 2
x y y z z x
z x y
 − − − + + ≤ −   
. 
231. [ Thái Nhật Phượng ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1xyz = . 
Chứng minh rằng 
2 2 2
3 3 3 3
x y z
x y y z y z z x z x x y
+ + ≥
+ + + + + +
. 
232. [ Thái Nhật Phượng ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1xyz = . 
Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 2
2 2 7 7 2 2 7 7 2 2 7 7 1
x y y z z x
x y x y y z y z z x z x
+ + ≤
+ + + + + +
. 
233. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . 
Chứng minh rằng 
3 31
4
a b abc
a bc b ca c ab
+ + ≤ +
+ + +
. 
234. [ Nguyễn Minh Phương ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
2007x y z+ + = . Chứng minh rằng 
20 20 20
9
11 11 11 3.669
x y z
y z x
+ + ≥ . 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 27 
235. [ Phạm Thị Thanh Quỳnh ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
3 3 3 3 3 3
2 2 2
5 5 5
3 3 3
b a c b a c
a b c
ab b bc c ca a
− − −
+ + ≤ + +
+ + +
. 
236. [ Lê Quang Nẫm ] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện , , 1x y z ≥− và 
3 3 3 2 2 2x y z x y z+ + ≥ + + . Chứng minh rằng 
5 5 5 2 2 2x y z x y z+ + ≥ + + . 
237. [ Nguyễn ðễ ] Cho , , , sin sin sin 2α β γ α β γ∈ + + ≥ℝ . Chứng minh rằng 
cos cos cos 5α β γ+ + ≤ . 
238. [ Huỳnh Tấn Châu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 6a b c+ + = . 
Chứng minh rằng 
2 2 21 1 1 3 17
2
a b c
b c c a a b
+ + + + + ≥
+ + +
. 
239. [ ðỗ Thanh Hải ] Cho , , ,x y z t là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1xyzt = . 
Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3
1 1 1 1 4
3x yz zt ty y xz zt tx z xt ty yx t xy yz zx
+ + + ≥
+ + + + + + + +
. 
240. [ ðỗ Bá Chủ ] Cho 1 2 1 2, , ..., 0, ... ; , 1k ka a a a a a k k n> + + + ≥ ≥ . Chứng minh rằng 
1 2
1 1 1
1 2
... 1
...
n n n
k
n n n
k
a a a
a a a+ + +
+ + +
≤
+ + +
. 
241. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc a c b+ + = . Chứng minh rằng 
2 2 2
2 2 3 10
1 1 1 3a b c
− + ≤
+ + +
. 
Vietnam, 1999 
242. [ ðặng Thanh Hải ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
2a b b c c a c a b
c a b a b b c a c
 + + +  + + ≥ + +   + + + 
. 
243. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng 
10 3
9
a b c abc+ + + ≥ . 
244. [ Phan Hoàng Vinh ] Cho [ ]1 2, , ..., 0,1 , 2na a a n∈ ≥ . Chứng minh rằng 
1 2
2 3 1 3 1 2 1
... 1
... 1 ... 1 ... 1
n
n n n
aa a
n
a a a a a a a a a −
+ + + ≤ −
+ + +
. 
245. [ ðào Mạnh Thắng ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b b c c a a b c+ + ≥ . 
Chứng minh rằng 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 28 
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3 2 2 3 2 2 3 2 2
3
2
a b b c c a
c a b a b c b c a
+ + ≥
+ + +
. 
246. [ ðỗ Ngọc Ánh ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 6a b c+ + = . 
Chứng minh rằng 
3 3 3
1 1 1 7291 1 1
512a b c
       + + + ≥           
. 
247. [ Trương Hoàng Hiếu ] Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 
1a b c+ + = . Chứng minh rằng 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 7
1 1 1 2
a b c
b c a
+ + +
+ + ≤
+ + +
. 
248. [ Trần Tuấn Anh ] Cho , ,a b c là các số thực dương và 2
3
k ≥ . Chứng minh rằng 
3
2
k k k
k
a b c
b c c a a b
         + + ≥             + + +
. 
249. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1x y+ = . 
Chứng minh rằng 
3 3
1 1 4 2 3
x y xy
+ ≥ +
+
. 
250. [ Hồ Quang Vinh ] Cho , , ,a b c d là các số thực thỏa ñiều kiện 2 2 4a b c d+ = + = . 
Chứng minh rằng 
4 4 2ac bd cd+ + ≤ + . 
251. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho , ,x y z với { }max , ,x x y z= . Chứng minh rằng 
331 1 1 2 2x y z
y x x
+ + + + ≥ + + . 
252. Cho a là số thực dương và , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 1xy yz zx+ + = . 
Chứng minh rằng 
( )2 2 2 1 1 82
a
a x y z − + ++ + ≥ . 
253. [ Triệu Văn Hưng ] Cho , , 1a b c> . Chứng minh rằng 
log log log 33c a bb c aa b c abc+ + ≥ . 
254. [ Phạm Văn Thuận ] Cho ,x y là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 2 2 1x y+ = . 
Chứng minh rằng 
{ } 3 3max ,
4
xy x y+ ≤ . 
255. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 
6 3 6
3 3 3 3 3 3
1
18
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
. 
256. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 29 
3
2
xy yz zx
z xy x yz y zx
+ + ≤
+ + +
. 
257. [ Trần Tuấn Anh ] Cho x là các số thực không âm. Chứng minh rằng 
2 2 9.
1
x x
x
+ ≤ +
+
258. Cho ,a b là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 0a b> ≥ . Chứng minh rằng 
( )( )2
322 5
2 3
a
a b b
+ ≥
− +
. 
259. Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 4a b+ = . Chứng minh rằng 
6 102 3 18a b
a b
+ + + ≥ . 
260. Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 3a b c+ + = . Chứng minh rằng 
55 5 52 2 2 3 3a b b c c a+ + + + + ≤ . 
261. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )6 2 3432x y z xy z+ + ≥ . 
262. Cho [ ]0,1a∈ . Chứng minh rằng 
2 4 2 413. 9. 16a a a a− + + ≤ . 
263. Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng 
3 3 3 3 285612 2 2 2
5 5 5 5 625
a b c d
b c d a
          + + + + ≥                
. 
264. Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c d+ + + ≤ . Chứng minh 
rằng 
41 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 9
a b b c c d d a
          + + + + + + + + ≥                
. 
265. Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 16abcd ≥ . Chứng minh rằng 
2 1 2 1 2 1 2 1 2401
16
a b c d
b c c d d a a b
          + + + + + + + + ≥                
. 
266. Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b+ ≤ . Chứng minh rằng 
3 3 2 2
1 1 1 20
a b a b ab
+ + ≥
+
. 
267. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + ≤ . Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 81
2a b b c c a ab bc ca
+ + + + + ≥
+ + +
. 
268. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3a b c+ + = . Chứng minh rằng 
( )( ) ( )( ) ( )( ) 55 5 52 2 2 3 6a b a c a b c b a b c a c b c+ + + + + + + + ≤ . 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 30 
269. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ( )( ) ( )22 22 1 3 64a a b c c+ + + + = . 
Chứng minh rằng 
3 4 5 1a b c ≤ . 
270. [ Trần Hồng Sơn ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3
2
a b c+ + ≤ . 
Chứng minh rằng 
1 1 1 1 1 13 3 3 343
a b b c c a
       + + + + + + ≥           
. 
271. Cho , , , , ,a b c m n p là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 31,
2
a b c m n p+ + ≤ + + ≤ . 
Chứng minh rằng 
32 1 2 1 2 11 1 1 9
a m b n c p
      + + + + + + ≥          
. 
272. [ Phùng Văn Sự ] Cho , ,x y z là các số thực. Chứng minh rằng 
( )( )( ) ( )22 2 227 3 3 3 4 3 3 3x y z xy yz zx+ + + ≥ + + . 
273. [ Trần Anh ðức ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2
9
2 2
a b c a b b c c a
abc c ab a bc b ac
+ + + + +
+ + + ≥
+ + +
. 
274. [ Lê Thanh Hải ] Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1ab= . Chứng 
minh rằng 
3 3
1
1 1
a b
b a
+ ≥
+ +
. 
275. [ Dương Châu Dinh ] Cho , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 
2x y z+ + = . Chứng minh rằng 
( ) ( )3 3 3 4 4 42 2x y z x y z+ + ≤ + + + . 
276. [ Nguyễn Tất Thu ] Cho , ,a b c , α là các số thực dương. Chứng minh rằng 
2 2 21 1 1 3.2a b c
ab bc ca
α α α
α
         + + + + + ≥             
. 
277. [ Trần Xuân ðáng ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . 
Chứng minh rằng 
( )( )( ) ( )2 1a b b c c a a b c+ + + ≥ + + + . 
278. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) 1 1 11 6x z yxyz x y z
x y z z y x
 + + + + + + ≥ + + +   
. 
279. [ ðàm Văn Nhỉ ] Cho [ ], , , 0,1a b c d ∈ . Chứng minh rằng 
3
1 1 1 1
a b c d
bcd cda dab abc
+ + + ≤
+ + + +
. 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 31 
280. [ Cao Xuân Nam ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1ab bc ca+ + = . 
Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )
8 8 8
2 2 22 2 2 2 2 2
1
12
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
. 
281. [ Trần Hồng Sơn ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3a b c+ + ≤ . 
Chứng minh rằng 
3 3 3
2 2 2
1 1 127 84a b c
b c a ab bc ca
 + + + + + ≥  
. 
282. [ Dương Châu Dinh ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
2 2 2
1 1 1 1 1 16 1
a b c a b c
  + + ≤ + + +  
. 
Chứng minh rằng 
1 1 1 1
10 10 10 12a b c a b c a b c
+ + ≤
+ + + + + +
. 
283. [ Lê Văn Quang ] Cho , , , , ,a b c d e f là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 
1ab bc cd de ef+ + + + = . 
Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 2 1
2cos
7
a b c d e f
π
+ + + + + ≥ . 
284. [ Cao Minh Quang ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . 
Chứng minh rằng 
3 2 3 2 3 2
27
1 1 1 31
a b c
a a b b c c
+ + ≤
+ + + + + +
. 
285. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 23 3
x y z xy yz zx
x xy y y yz z z zx x
+ + + +
≥
+ + + + + + + +
. 
286. [ Walther Janous ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
4 4 3
3 1 3 13 3. .
4 4
ab ab
a b a b + ++ + ≥ + + . 
287. [ Trần Thị Thuận ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )
1 1 1 3
1 1 1 1a b b c c a abc
+ + ≥
+ + + +
. 
288. Cho , ,x y z là các số thực không âm. Chứng minh rằng 
( ) ( )( )( )23 3 3 2 2 28 9x y z x yz y zx z xy+ + ≥ + + + . 
289. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 2
0x z y x z y
y z z x x y
− − −
+ + ≥
+ + +
. 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 32 
290. Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1x y+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
( )x yx y+ . 
291. [ Nguyễn Hữu Bằng ] Cho , ,a b c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 
( ) ( )( )( )
31 1 1 9
a b b c c a
a b c
a b c abc
  − − −+ + + + + ≥  
. 
292. [ Cao Minh Quang ] Cho 10 số thực không âm ( ), 1, 2,...,5i ia b i = thỏa mãn ñiều kiện 
( )2 2 1 1, 2,...,5i ia b i+ = = và 2 2 21 2 5... 1a a a+ + + = . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
b b b b b
a a a a a
+ + + +
+ + + +
. 
293. Cho , ,x y z là các số thực không âm. Chứng minh rằng 
( )( )( ) ( )( )( )
2 2 2 2x y y z z x xyz x y z y z x z x y + + + ≥ + + + + + +  
294. [ Vedula N. Murty ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )2 2 231
3 4
a b b c c aa b c
abc
+ + ++ +
≤ . 
295. [ Cao Minh Quang ] Cho 1 2 1 2, ,..., 0, ... 2 , 3n nx x x x x x n n> + + + = ≥ . Chứng minh rằng 
( )
3
1 1
2 1
31
n n
j
j i ii j
x n n
x= =
≠
−
≥
+
∑∑ . 
296. Cho hàm số [ ) ( ) 2002
1
: 1, ,
2002
x dtf f x
t t
+∞ → =
+∫ℝ . Chứng minh rằng với các số 
thực 1 2, ,..., 1nx x x ≥ , ta có 
( ) ( ) ( )1 2 1 2... ...lnn n
f x f x f x x x x
n n
+ + + + + +
≤ . 
297. Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn ñiều kiện 0 3a b c≤ ≤ ≤ ≤ . Chứng minh rằng 
( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 29 9 9 36a b a a c b b c c− − + − − + − − ≤ . 
298. Cho các số thực 1 2, ,..., na a a . Chứng minh rằng 
3 3 3 2 2 23
1 2 1 2... ...n na a a a a a+ + + ≤ + + + . 
Nordic, 1990 
299. Cho các số thực ( )1 2, ,..., 2nx x x n≥ thỏa mãn các ñiều kiện 1 2 ... 0nx x x+ + + ≥ và 
2 2 2
1 2 ... 1nx x x+ + + = . ðặt { }1 2max , ,..., nM x x x= . Chứng minh rằng 
( )
1
1
M
n n
≥
−
. 
Nordic, 1995 
300. Cho ( )1 2, ,..., 1na a a n≥ là các số thực dương. Chứng minh rằng 
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ... ...
1 1 1n n n
n n
a a a a a a a a a
          + + + ≥ + + + + + + +          + + +    
. 
ðẳng thức xảy ra khi nào? 
Nordic, 1999 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 33 
301. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho với các số thực 1 2 1 2, ,..., , , ,...,n nx x x y y y , ta 
luôn có bất ñẳng thức 
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2... ... ...n n n nx x x y y y x y x y x y+ ≤ + + + + + + . 
Poland, 2002 
302. Cho ( )1 2, ,..., 3nx x x n≥ là các số thực dương. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai 
bất ñẳng thức sau là ñúng 
1 11 2 1 2
,
2 2
n n
i i
i ii i i i
x xn n
x x x x= =+ + − −
≥ ≥
+ +∑ ∑ . 
(ở ñây ta xem 1 1 2 2 0 1 1, , ,n n n nx x x x x x x x+ + − −= = = = ) 
Poland, 2002 
303. Cho , ,a b c là các số thực. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 3 3 3a b b c c a a b b c c a+ + + + + ≥ + + + + + . 
Poland, 2004 
304. Cho ,a b là các số thực dương và các số thực [ ] ( ), 0,1 , 1,2,..., 1i ix y i n n∈ = ≥ thỏa mãn 
các ñiều kiện 1