268 bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9

b)3 > 8 Û a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 Û 2 + 3ab(a + b) > 8 
Þ ab(a + b) > 2 Þ ab(a + b) > a3 + b3. Chia hai vế cho số dương a + b : ab > a2 – ab + b2 
Þ (a – b)2 < 0, vô lí. Vậy a + b ≤ 2. 
31. Cách 1: Ta có : [ ]x ≤ x ; [ ]y ≤ y nên [ ]x + [ ]y ≤ x + y. Suy ra [ ]x + [ ]y là số nguyên 
không vượt quá x + y (1). Theo định nghĩa phần nguyên, [ ]x y+ là số nguyên lớn nhất không 
vượt quá x + y (2). Từ (1) và (2) suy ra : [ ]x + [ ]y ≤ [ ]x y+ . 
Cách 2 : Theo định nghĩa phần nguyên : 0 ≤ x - [ ]x < 1 ; 0 ≤ y - [ ]y < 1. 
Suy ra : 0 ≤ (x + y) – ([ ]x + [ ]y ) < 2. Xét hai trường hợp : 
- Nếu 0 ≤ (x + y) – ([ ]x + [ ]y ) < 1 thì [ ]x y+ = [ ]x + [ ]y (1) 
- Nếu 1 ≤ (x + y) – ([ ]x + [ ]y ) < 2 thì 0 ≤ (x + y) – ([ ]x + [ ]y + 1) < 1 nên 
[ ]x y+ = [ ]x + [ ]y + 1 (2). Trong cả hai trường hợp ta đều có : [ ]x + [ ]y ≤ [ ]x y+ 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 21 
32. Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + 8 ≥ 8 nên tử và mẫu của A là các số dương , suy ra A > 0 do 
đó : A lớn nhất Û 1
A
 nhỏ nhất Û x2 – 6x + 17 nhỏ nhất. 
Vậy max A = 1
8
 Û x = 3. 
33. Không được dùng phép hoán vị vòng quanh x à y à z à x và giả sử x ≥ y ≥ z. 
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương x, y, z : 
3
x y z x y z
A 3 . . 3
y z x y z x
= + + ³ = 
Do đó x y z x y zmin 3 x y z
y z x y z x
æ ö
+ + = Û = = Û = =ç ÷
è ø
Cách 2 : Ta có : 
x y z x y y z y
y z x y x z x x
æ ö æ ö+ + = + + + -ç ÷ ç ÷
è øè ø
. Ta đã có x y 2
y x
+ ³ (do x, y > 0) nên 
để chứng minh x y z 3
y z x
+ + ³ ta chỉ cần chứng minh : y z y 1
z x x
+ - ³ (1) 
(1) Û xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) 
Û xy + z2 – yz – xz ≥ 0 Û y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 Û (x – z)(y – z) ≥ 0 (2) 
(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm được giá 
trị nhỏ nhất của x y z
y z x
+ + . 
34. Ta có x + y = 4 Þ x2 + 2xy + y2 = 16. Ta lại có (x – y)2 ≥ 0 Þ x2 – 2xy + y2 ≥ 0. Từ đó suy 
ra 2(x2 + y2) ≥ 16 Þ x2 + y2 ≥ 8. min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2. 
35. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : 
1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz (1) 
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 3 (x y)(y z)(z x)+ + + (2) 
Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9. 3 A Þ A ≤ 
3
2
9
æ ö
ç ÷
è ø
max A = 
3
2
9
æ ö
ç ÷
è ø
 khi và chỉ khi x = y = z = 1
3
. 
36. a) Có thể. b, c) Không thể. 
37. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b). 
38. Áp dụng bất đẳng thức 
2
1 4
xy (x y)
³
+
 với x, y > 0 : 
2 2 2 2
2
a c a ad bc c 4(a ad bc c )
b c d a (b c)(a d) (a b c d)
+ + + + + +
+ = ³
+ + + + + + +
 (1) 
Tương tự 
2 2
2
b d 4(b ab cd d )
c d a b (a b c d)
+ + +
+ ³
+ + + + +
 (2) 
 Cộng (1) với (2) 
2 2 2 2
2
a b c d 4(a b c d ad bc ab cd)
b c c d d a a b (a b c d)
+ + + + + + +
+ + + ³
+ + + + + + +
= 4B 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 22 
Cần chứng minh B ≥ 1
2
, bất đẳng thức này tương đương với : 
2B ≥ 1 Û 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2 
Û a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ 0 Û (a – c)2 + (b – d)2 ≥ 0 : đúng. 
39. - Nếu 0 ≤ x - [ ]x < ½ thì 0 ≤ 2x - 2[ ]x < 1 nên [ ]2x = 2[ ]x . 
- Nếu ½ ≤ x - [ ]x < 1 thì 1 ≤ 2x - 2[ ]x < 2 Þ 0 ≤ 2x – (2[ ]x + 1) < 1 Þ [ ]2x = 2[ ]x + 1 
40. Ta sẽ chứng minh tồn tại các số tự nhiên m, p sao cho : 
14243
mchöõ soá 0
96000...00 ≤ a + 15p < 14243
mchöõ soá 0
97000...00 
Tức là 96 ≤ +m m
a 15p
10 10
 < 97 (1). Gọi a + 15 là số có k chữ số : 10k – 1 ≤ a + 15 < 10k 
Þ £ + <k k
1 a 15 1
10 10 10
 (2). Đặt = +n k k
a 15px
10 10
. Theo (2) ta có x1 < 1 và k
15
10
 < 1. 
Cho n nhận lần lượt các giá trị 2, 3, 4, , các giá trị của xn tăng dần, mỗi lần tăng không quá 1 
đơn vị, khi đó [ ]nx sẽ trải qua các giá trị 1, 2, 3,  Đến một lúc nào đó ta có é ùë ûpx = 96. Khi đó 
96 ≤ xp < 97 tức là 96 ≤ +k k
a 15p
10 10
 < 97. Bất đẳng thức (1) được chứng minh. 
42. a) Do hai vế của bất đẳng thức không âm nên ta có : 
 | A + B | ≤ | A | + | B | Û | A + B |2 ≤ ( | A | + | B | )2 
Û A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB | Û AB ≤ | AB | (bất đẳng thức đúng) 
Dấu “ = “ xảy ra khi AB ≥ 0. 
b) Ta có : M = | x + 2 | + | x – 3 | = | x + 2 | + | 3 – x | ≥ | x + 2 + 3 – x | = 5. 
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi (x + 2)(3 – x) ≥ 0 Û -2 ≤ x ≤ 3 (lập bảng xét dấu) 
Vậy min M = 5 Û -2 ≤ x ≤ 3. 
c) Phương trình đã cho Û | 2x + 5 | + | x – 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 – x | 
 Û (2x + 5)(4 – x) ≥ 0 Û -5/2 ≤ x ≤ 4 
43. Điều kiện tồn tại của phương trình : x2 – 4x – 5 ≥ 0 Û x 1
x 5
£ -é
ê ³ë
Đặt ẩn phụ 2x 4x 5 y 0- - = ³ , ta được : 2y2 – 3y – 2 = 0 Û (y – 2)(2y + 1) = 0. 
45. Vô nghiệm 
46. Điều kiện tồn tại của x là x ≥ 0. Do đó : A = x + x ≥ 0 Þ min A = 0 Û x = 0. 
47. Điều kiện : x ≤ 3. Đặt 3 x- = y ≥ 0, ta có : y2 = 3 – x Þ x = 3 – y2. 
 B = 3 – y2 + y = - (y – ½ )2 + 
13
4
 ≤ 13
4
 . max B = 
13
4
 Û y = ½ Û x = 
11
4
 . 
48. a) Xét a2 và b2. Từ đó suy ra a = b. 
b) 5 13 4 3 5 (2 3 1) 4 2 3 3 1- + = - + = - = - . Vậy hai số này bằng nhau. 
c) Ta có : ( )( ) ( )( )n 2 n 1 n 2 n 1 1 và n+1 n n 1 n 1+ - + + + + = - + + = . 
Mà n 2 n 1 n 1 n nên n+2 n 1 n 1 n+ + + > + + - + < + - . 
49. A = 1 - | 1 – 3x | + | 3x – 1 |2 = ( | 3x – 1| - ½ )2 + ¾ ≥ ¾ . 
Từ đó suy ra : min A = ¾ Û x = ½ hoặc x = 1/6 
51. M = 4 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 23 
52. x = 1 ; y = 2 ; z = -3. 
53. P = | 5x – 2 | + | 3 – 5x | ≥ | 5x – 2 + 3 – 5x | = 1. min P = 1 Û 2 3x
5 5
£ £ . 
54. Cần nhớ cách giải một số phương trình dạng sau : 
2
B 0A 0 (B 0) A 0
a) A B b) A B c) A B 0
A B B 0A B
³³ ³ =ìì ì
= Û = Û + = Ûí í í= ==î îî
B 0
A 0
d) A B e) A B 0A B
B 0
A B
³ì
=ìï= Û + = Û=éí í =îêï = -ëî
 . 
a) Đưa phương trình về dạng : A B= . 
b) Đưa phương trình về dạng : A B= . 
c) Phương trình có dạng : A B 0+ = . 
d) Đưa phương trình về dạng : A B= . 
e) Đưa phương trình về dạng : | A | + | B | = 0 
g, h, i) Phương trình vô nghiệm. 
k) Đặt x 1- = y ≥ 0, đưa phương trình về dạng : | y – 2 | + | y – 3 | = 1 . Xét dấu vế trái. 
l) Đặt : 8x 1 u 0 ; 3x 5 v 0 ; 7x 4 z 0 ; 2x 2 t 0+ = ³ - = ³ + = ³ - = ³ . 
Ta được hệ : 
2 2 2 2
u v z t
u v z t
+ = +ì
í
- = -î
. Từ đó suy ra : u = z tức là : 8x 1 7x 4 x 3+ = + Û = . 
55. Cách 1 : Xét 
2 2 2 2 2x y 2 2(x y) x y 2 2(x y) 2 2xy (x y 2) 0+ - - = + - - + - = - - ³ . 
Cách 2 : Biến đổi tương đương ( )
( )
22 22 2
2
x yx y
2 2 8
x y x y
++
³ Û ³
- -
Û (x2 + y2)2 – 8(x – y)2 ≥ 0 
 Û (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥ 0 Û (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥ 0 Û (x2 + y2 – 4)2 ≥ 0. 
Cách 3 : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy : 
2 2 2 2 2x y x y 2xy 2xy (x y) 2.1 2 1
(x y) 2 (x y).
x y x y x y x y x y
+ + - + - +
= = = - + ³ -
- - - - -
 (x > 
y). 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 6 2 6 2x ; y
2 2
+ -
= = hoặc 6 2 6 2x ; y
2 2
- + - -
= = 
62. 
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2(c b a2
a b c a b c ab bc ca a b c abc
+ +æ ö æ ö+ + = + + + + + = + + +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 = 
= 2 2 2
1 1 1
a b c
+ + . Suy ra điều phải chứng minh. 
63. Điều kiện : 
2 x 6(x 6)(x 10) 0x 16x 60 0
x 10x 10
x 6x 6 0
x 6
ì £é
- - ³ì - + ³ ì ïêÛ Û Û ³³í í íë³- ³ îî ï ³î
. 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 24 
Bình phương hai vế : x2 – 16x + 60 6. 
Nghiệm của bất phương trình đã cho : x ≥ 10. 
64. Điều kiện x2 ≥ 3. Chuyển vế : 2x 3- ≤ x2 – 3 (1) 
Đặt thừa chung : 2x 3- .(1 - 2x 3- ) ≤ 0 Û 
2
2
x 3
x 3 0
x 2
1 x 3 0 x 2
é = ±é - = ê
Û ³ê ê
- - £êë ê £ -ë
Vậy nghiệm của bất phương trình : x = 3± ; x ≥ 2 ; x ≤ -2. 
65. Ta có x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 Û (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + 3 = - x2 ≤ 0. 
Do đó : A2 – 4A + 3 ≤ 0 Û (A – 1)(A – 3) ≤ 0 Û 1 ≤ A ≤ 3. 
min A = 1 Û x = 0, khi đó y = ± 1. max A = 3 Û x = 0, khi đó y = ± 3 . 
66. a) ½ ≤ x ≠ 1. 
b) B có nghĩa Û 
2
2
2
4 x 4
4 x 416 x 0
x 4 2 2 12x 1 0 (x 4) 8 x 4 2 2
2x 4 2 21x 8x 8 0 x 12 x
2
ì
ïì - £ £
ï- £ £ïì - ³
éï £ -ïï + > Û - ³ Û Û - < £ -êí í í
³ +êï ï ïë- + ³î ï ï> -
î ï > -
î
. 
67. a) A có nghĩa Û 
2
2 22
x 2x 0 x(x 2) 0 x 2
x 0x x 2xx x 2x
ì - ³ - ³ ³ì éï Û Ûí í ê <¹ -¹ ± - ëîïî
b) A = 22 x 2x- với điều kiện trên. 
c) A < 2 Û 2x 2x- < 1 Û x2 – 2x < 1 Û (x – 1)2 < 2 Û - 2 < x – 1 < 2Þ kq 
68. Đặt 
20chöõ soá 9
0,999...9914243 = a. Ta sẽ chứng minh 20 chữ số thập phân đầu tiên của a là các chữ số 
9. Muốn vậy chỉ cần chứng minh a < a < 1. Thật vậy ta có : 0 < a < 1 Þ a(a – 1) < 0 Þ a2 
– a < 0 Þ a2 < a. Từ a2 < a < 1 suy ra a < a < 1. 
Vậy 
20 chöõ soá 9 20 chöõ soá 9
0,999...99 0,999...99=14243 14243 . 
69. a) Tìm giá trị lớn nhất. Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b |. 
A ≤ | x | + 2 + | y | + 1 = 6 + 2 Þ max A = 6 + 2 (khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3) 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất. Áp dụng | a – b | ≥ | a | - | b . 
A ≥ | x | - 2 | y | - 1 = 4 - 2 Þ min A = 4 - 2 (khi chẳng hạn x = 2, y = 3) 
70. Ta có : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2. Suy ra : 
x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1) 
Mặt khác, dễ dàng chứng minh được : Nếu a + b + c = 1 thì a2 + b2 + c2 ≥ 1
3
. 
Do đó từ giả thiết suy ra : x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥ 1
3
 (2). 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 25 
Từ (1) , (2) : min A = 1
3
 Û x = y = z = 
3
3
± 
71. Làm như bài 8c (§ 2). Thay vì so sánh n n 2 và 2 n+1+ + ta so sánh 
n 2 n 1+ - + và n 1 n+ - . Ta có : 
n 2 n 1 n 1 n n n 2 2 n 1+ - + < + - Þ + + < + . 
72. Cách 1 : Viết các biểu thức dưới dấu căn thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu. 
Cách 2 : Tính A2 rồi suy ra A. 
73. Áp dụng : (a + b)(a – b) = a2 – b2. 
74. Ta chứng minh bằng phản chứng. 
a) Giả sử tồn tại số hữu tỉ r mà 3 5+ = r Þ 3 + 2 15 + 5 = r2 Þ 
2r 8
15
2
-
= . Vế trái 
là số vô tỉ, vế phải là số hữu tỉ, vô lí. Vậy 3 5+ là số vô tỉ. 
b), c) Giải tương tự. 
75. a) Giả sử a > b rồi biến đổi tương đương : 3 3 3 2 2 1 3 3 2 2 2= > - Û > + 
Û ( ) ( )2 23 3 2 2 2 27 8 4 8 2 15 8 2 225 128> + Û > + + Û > Û > . Vậy a > b là đúng. 
b) Bình phương hai vế lên rồi so sánh. 
76. Cách 1 : Đặt A = 4 7 4 7+ - - , rõ ràng A > 0 và A2 = 2 Þ A = 2 
Cách 2 : Đặt B = 4 7 4 7 2 2.B 8 2 7 8 2 7 2 0+ - - - Þ = + - - - = Þ B = 
0. 
77. 
( ) ( )2 3 4 2 2 3 42 3 2.3 2.4 2 4
Q 1 2
2 3 4 2 3 4
+ + + + ++ + + +
= = = +
+ + + +
. 
78. Viết 40 2 2.5 ; 56 2 2.7 ; 140 2 5.7= = = . Vậy P = 2 5 7+ + . 
79. Từ giả thiết ta có : 2 2x 1 y 1 y 1 x- = - - . Bình phương hai vế của đẳng thức này ta 
được : 2y 1 x= - . Từ đó : x2 + y2 = 1. 
80. Xét A2 để suy ra : 2 ≤ A2 ≤ 4. Vậy : min A = 2 Û x = ± 1 ; max A = 2 Û x = 0. 
81. Ta có : ( ) ( ) ( )2 2 2M a b a b a b 2a 2b 2= + £ + + - = + £ . 
1a b
max M 2 a b
2a b 1
ì =ï= Û Û = =í
+ =ïî
. 
82. Xét tổng của hai số : 
( ) ( ) ( ) ( )2a b 2 cd 2c d 2 ab a b 2 ab c d 2 cd a c+ - + + - = + - + + - + + = 
= ( ) ( ) ( )2 2a c a b c d a c 0+ + - + - ³ + > . 
83. N 4 6 8 3 4 2 18 12 8 3 4 4 6 4 2 2= + + + = + + + + + = 
= ( ) ( ) ( )2 22 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2+ + + + = + + = + + . 
84. Từ x y z xy yz zx+ + = + + Þ ( ) ( ) ( )2 2 2x y y z z x 0- + - + - = . 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 26 
Vậy x = y = z. 
85. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 1 và ai ( i = 1, 2, 3,  n ). 
86. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số a + b ≥ 0 và 2 ab ≥ 0, ta có : 
( )2a b 2 ab 2 2(a b) ab hay a b 2 2(a b) ab+ + ³ + + ³ + . 
Dấu “ = “ xảy ra khi a = b. 
87. Giả sử a ≥ b ≥ c > 0. Ta có b + c > a nên b + c + 2 bc > a hay ( ) ( )2 2b c a+ > 
Do đó : b c a+ > . Vậy ba đoạn thẳng a , b , c lập được thành một tam giác. 
88. a) Điều kiện : ab ≥ 0 ; b ≠ 0. Xét hai trường hợp : 
* Trường hợp 1 : a ≥ 0 ; b > 0 : b.( a b) a a b aA 1
b bb. b b
- -
= - = - = - . 
* Trường hợp 2 : a ≤ 0 ; b < 0 : 
2
2
ab b a a a a
A 1 1 2
b b b bb
-
= - = - + - = -
-
. 
b) Điều kiện : 
2(x 2) 8x 0
x 0
x 0
x 2
2
x 0
x
ì
ï + - ³
ï >ìï > Ûí í ¹îï
ï - ¹
ïî
. Với các điều kiện đó thì : 
2 2 x 2 . x(x 2) 8x (x 2) . x
B
2 x 2 x 2x
x
-+ - -
= = =
- --
. 
· Nếu 0 < x < 2 thì | x – 2 | = -(x – 2) và B = - x . 
· Nếu x > 2 thì | x – 2 | = x – 2 và B = x 
89. Ta có : 
( )222
2
2 2 2
a 1 1a 2 1
a 1
a 1 a 1 a 1
+ ++
= = + +
+ + +
. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 
2 2
2 2
1 1
a 1 2 a 1. 2
a 1 a 1
+ + ³ + =
+ +
. Vậy 
2
2
a 2
2
a 1
+
³
+
. Đẳng thức xảy ra khi : 
2
2
1
a 1 a 0
a 1
+ = Û =
+
. 
93. Nhân 2 vế của pt với 2 , ta được : 2x 5 3 2x 5 1 4- + + - - = Û 5/2 ≤ x ≤ 3. 
94. Ta chứng minh bằng qui nạp toán học : 
a) Với n = 1 ta có : 1
1 1
P
2 3
= < (*) đúng. 
b) Giả sử : k
1 1.3.5...(2k 1) 1
P
2.4.6...2k2k 1 2k 1
-
< Û <
+ +
 (1) 
c) Ta chứng minh rằng (*) đúng khi n = k + 1 , tức là : 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 27 
k 1
1 1.3.5...(2k 1) 1
P
2.4.6...(2k 2)2k 3 2k 3
+
+
< Û <
++ +
 (2) 
Với mọi số nguyên dương k ta có : 2k 1 2k 1
2k 2 2k 3
+ +
<
+ +
 (3) 
Nhân theo từng vế các bất đẳng thức (1) và (3) ta được bất đẳng thức (2). Vậy " n Î Z+ ta có 
n
1.3.5...(2n 1) 1
P
2.4.6...2n 2n 1
-
= <
+
95. Biến đổi tương đương : 
2 2 3 3a b a b
a b a b
b a ab
+
+ £ + Û + £ 
( )2( a b)(a ab b)a b ab a ab b a b 0
ab
+ - +
Û + £ Û £ - + Û - ³ (đúng). 
96. Điều kiện : 
2
x 4(x 1) 0
1 x 2x 4(x 1) 0
x 2x 4(x 1) 0
x 1 0
ì - - ³
ï
ë- - >ï
ï - ¹î
Xét trên hai khoảng 1 2. Kết quả : 2 2A và A=
1 x x-1
=
-
105. Cách 1 : Tính A 2 . Cách 2 : Tính A2 
Cách 3 : Đặt 2x 1- = y ≥ 0, ta có : 2x – 1 = y2. 
2 2 y 1y 1 2y y 1 2y2x 2 2x 1 2x 2 2x 1 y 1A
2 2 2 2 2 2
-+ + + -+ - - - +
= - = - = - 
Với y ≥ 1 (tức là x ≥ 1), 1A (y 1 y 1) 2
2
= + - + = . 
Với 0 ≤ y < 1 (tức là 1
2
 ≤ x < 1), 1 2yA (y 1 y 1) y 2 4x 2
2 2
= + + - = = = - . 
108. Nếu 2 ≤ x ≤ 4 thì A = 2 2 . Nếu x ≥ 4 thì A = 2 x 2- . 
109. Biến đổi : x y 2 2 x y+ - + = + . Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta được : 
2(x y 2) xy+ - = . Lại bình phương hai vế rồi rút gọn : (2 – y)(x – 2) = 0. 
Đáp : x = 2 , y ≥ 0 , x ≥ 0 , y = 2. 
110. Biến đổi tương đương : 
(1) Û a2 + b2 + c2 + d2 + 2 ( )( )2 2 2 2a b c d+ + ≥ a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd 
Û ( )( )2 2 2 2a b c d+ + ≥ ac + bd (2) 
* Nếu ac + bd < 0, (2) được chứng minh. 
* Nếu ac + bd ≥ 0, (2) tương đương với : 
(a2 + b2)(c2 + d2) ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd Û a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd 
Û (ad – bc)2 ≥ 0 (3). Bất đẳng thức (3) đúng, vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. 
111. Cách 1 : Theo bất đẳng thức Cauchy : 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 28 
2 2 2a b c a b c a a b c2 . 2. a a
b c 4 b c 4 2 b c 4
+ + +
+ ³ = = Þ ³ -
+ + +
. 
Tương tự : 
2 2b a c c a bb ; c
a c 4 a b 4
+ +
³ - ³ -
+ +
. 
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức : ( )
2 2 2a b c a b c a b ca b c
b c c a a b 2 2
+ + + +
+ + ³ + + - =
+ + +
Cách 2 : Theo BĐT Bunhiacôpxki : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by + cz)2. Ta có : 
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2a b c X b c c a a b
b c c a a b
é ùæ ö æ ö æ ö é ù+ + + + + + +ê úç ÷ ç ÷ ç ÷ ê úë û+ + +è ø è ø è øê úë û
 ≥ 
≥ 
2
a b c. b c . c a . a b
b c c a a b
æ ö+ + + + +ç ÷+ + +è ø
Þ [ ]
2 2 2 2 2 2
2a b c a b c a b c. 2(a b c) (a b c)
b c c a a b b c c a a b 2
æ ö + +
+ + + + ³ + + Þ + + ³ç ÷+ + + + + +è ø
. 
112. a) Ta nhìn tổng a + 1 dưới dạng một tích 1.(a + 1) và áp dụng bđt Cauchy : x yxy
2
+
£ 
(a 1) 1 aa 1 1.(a 1) 1
2 2
+ +
+ = + £ = + 
Tương tự : b cb 1 1 ; c 1 1
2 2
+ = + + = + 
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức : a b ca 1 b 1 c 1 3 3,5
2
+ +
+ + + + + £ + = . 
Dấu “ = ” xảy ra Û a + 1 = b + 1 = c + 1 Û a = b = c = 0, trái với giả thiết a + b + c = 1. 
Vậy : a 1 b 1 c 1 3,5+ + + + + < . 
b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki với hai bộ ba số : 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21. a b 1. b c 1. c a (1 1 1)X a b b c c aé ù+ + + + + £ + + + + + + +ê úë û Þ 
( )2a b b c c a+ + + + + ≤ 3(a + b + b + c + c + a) = 6Þ a b b c c a 6+ + + + + £ 
113. Xét tứ giác ABCD có AC ^ BD, O là giao điểm hai đường chéo. 
OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d với a, b, c, d > 0. Ta có : 
2 2 2 2 2 2 2 2AB a c ; BC b c ; AD a d ; CD b d= + = + = + = + 
AC = a + b ; BD = c + d. Cần chứng minh : AB.BC + AD.CD ≥ AC.BD. 
Thật vậy ta có : AB.BC ≥ 2SABC ; AD.CD ≥ 2SADC. Suy ra : 
Suy ra : AB.BC + AD.CD ≥ 2SABCD = AC.BD. 
Vậy : ( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2a c b c a d b d (a b)(c d)+ + + + + ³ + + . 
Chú ý : Giải bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : 
(m2 + n2)(x2 + y2) ≥ (mx + ny)2 với m = a , n = c , x = c , y = b ta có : 
a d
b
c
O
D
C
B
A
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 29 
(a2 + c2)(c2 + b2) ≥ (ac + cb)2 Þ ( )( )2 2 2 2a c c b+ + ≥ ac + cb (1) 
Tương tự : ( )( )2 2 2 2a d d b+ + ≥ ad + bd (2) . Cộng (1) và (2) suy ra đpcm. 
114. Lời giải sai : 
21 1 1 1A x x x . Vaäy minA
2 4 4 4
æ ö= + = + - ³ - = -ç ÷
è ø
. 
Phân tích sai lầm : Sau khi chứng minh f(x) ≥ - 1
4
 , chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x) = - 1
4
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi 1x
2
= - . Vô lí. 
Lời giải đúng : Để tồn tại x phải có x ≥ 0. Do đó A = x + x ≥ 0. min A = 0 Û x = 0. 
115. Ta có 
2(x a)(x b) x ax+bx+ab abA x (a b)
x x x
+ + + æ ö= = = + + +ç ÷
è ø
. 
Theo bất đẳng thức Cauchy : abx 2 ab
x
+ ³ nên A ≥ 2 ab + a + b = ( )2a b+ . 
min A = ( )2a b+ khi và chi khi 
abx
x abx
x 0
ì =ï Û =í
ï >î
. 
116. Ta xét biểu thức phụ : A2 = (2x + 3y)2. Nhớ lại bất đẳng thức Bunhiacôpxki : 
(am + bn)2 ≤ (a2 + b2)(m2 + n2) (1) 
Nếu áp dụng (1) với a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có : 
A2 = (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2). 
Vói cách trên ta không chỉ ra được hằng số α mà A2 ≤ α. Bây giờ, ta viết A2 dưới dạng : 
A2 = ( )22. 2x 3. 3y+ rồi áp dụng (1) ta có : 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2A 2 3 x 2 y 3 (2 3)(2x 3y ) 5.5 25é ù é ù= + + = + + £ =ê ú ê úë û ë û 
Do A2 ≤ 25 nên -5 ≤ A ≤ 5. min A = -5 Û x y x y 1
2x 3y 5
=ì
Û = = -í + =î
max A = 5 Û 
x y
x y 1
2x 3y 5
=ì
Û = =í + =î
117. Điều kiện x ≤ 2. Đặt 2 x- = y ≥ 0, ta có : y2 = 2 – x. 
2
2 1 9 9 9 1 7a 2 y y y maxA= y x
2 4 4 4 2 4
æ ö= - + = - - + £ Þ Û = Û =ç ÷
è ø
118. Điều kiện x ≥ 1 ; x ≥ 1/5 ; x ≥ 2/3 Û x ≥ 1. 
Chuyển vế, rồi bình phương hai vế : x – 1 = 5x – 1 + 3x – 2 + 22 15x 13x 2- + (3) 
Rút gọn : 2 – 7x = 22 15x 13x 2- + . Cần có thêm điều kiện x ≤ 2/7. 
Bình phương hai vế : 4 – 28x + 49x2 = 4(15x2 – 13x + 2) Û 11x2 – 24x + 4 = 0 
(11x – 2)(x – 2) = 0 Û x1 = 2/11 ; x2 = 2. 
Cả hai nghiệm đều không thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
119. Điều kiện x ≥ 1. Phương trình biến đổi thành : 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 30 
x 1 1 x 1 1 2 x 1 x 1 1 1- + + - - = Û - + - - = 
* Nếu x > 2 thì : x 1 x 1 1 1 x 1 1 x 2- + - - = Û - = = , không thuộc khoảng đang xét. 
* Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì : x 1 1 x 1 1 2- + - - + = . Vô số nghiệm 1 ≤ x ≤ 2 
Kết luận : 1 ≤ x ≤ 2. 
120. Điều kiện : x2 + 7x + 7 ≥ 0. Đặt 2x 7x 7+ + = y ≥ 0 Þ x2 + 7x + 7 = y2. 
Phương trình đã cho trở thành : 3y2 – 3 + 2y = 2 Û 3y2 + 2y – 5 = 0 Û (y – 1)(3y + 5) = 0 
Û y = - 5/3 (loại) ; y = 1. Với y = 1 ta có 2x 7x 7+ + = 1 Þ x2 + 7x + 6 = 0 Û 
Û (x + 1)(x + 6) = 0. Các giá trị x = - 1, x = - 6 thỏa mãn x2 + 7x + 7 ≥ 0 là nghiệm của (1). 
121. Vế trái : 2 23(x 1) 4 5(x 1) 9 4 9 5+ + + + + ³ + = . 
Vế phải : 4 – 2x – x2 = 5 – (x + 1)2 ≤ 5. Vậy hai vế đều bằng 5, khi đó x = - 1. Với giá trị này cả 
hai bất đẳng thức này đều trở thành đẳng thức. Kết luận : x = - 1 
122. a) Giả sử 3 2- = a (a : hữu tỉ) Þ 5 - 2 6 = a2 Þ 
25 a6
2
-
= . Vế phải là số 
hữu tỉ, vế trái là số vô tỉ. Vô lí. Vậy 3 2- là số vô tỉ. 
b) Giải tương tự câu a. 
123. Đặt x 2- = a, 4 x- = b, ta có a2 + b = 2. Sẽ chứng minh a + b ≤ 2. Cộng từng vế bất 
đẳng thức : 
2 2a 1 b 1a ; b
2 2
+ +
£ £ . 
124. Đặt các đoạn thẳng BH = a, HC = c trên một đường thẳng. 
Kẻ HA ^ BC với AH = b. Dễ thấy AB.AC ≥ 2SABC = BC.AH. 
125. Bình phương hai vế rồi rút g