23 chuyên đề học sinh giỏi Toán THCS

đạt GTNN
Bài 49: Cho phương trình : (m + 2)– 2(m – 1)x + 3 – m = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm , thỏa: 
Lập một hệ thức giữa , không phụ thuộc m.
Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là: 
Bài 50: Cho phương trình : (a – 3)– 2(a – 1)x + a – 5 = 0
Giải phương trình khi a = 13
Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt 
Bài 51: Cho phương trình : 2+ (2m – 1)x + m – 1 = 0
CMR: phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó
Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt , sao cho : – 1 < < < 1
Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt , . Hãy lập hệ thức giữa , không phụ thuộc m.
Bài 52: Cho phương trình : – 2(m – 1)x + m – 3 = 0.
CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
Bài 53: Cho phương trình : + ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa: – = 5 và . Tính các nghiệm đó.
Bài 54: Giả sử phương trình : a+ bx + c = 0 (a, b, c 0) có hai nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm dương thì phương trình bậc hai cũng có hai nghiệm phân biệt trong đó có thỏa 
Bài 55: Cho 2 phương trình : a+ bx + c = 0 (1) và c+ bx + a = 0 (2) (a, b, c 0)
CMR nếu (1) có hai nghiệm dương , thì (2) cũng có hai nghiệm dương , . Ngoài ra các nghiệm đó thỏa: + + + 4
Bài 56: Không giải phương trình : 3+ 17x – 14 = 0 (1)
Hãy tính: (, là hai nghiệm của (1))
Bài 57: Cho phương trình bậc hai : + ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có các nghiệm là a và b.
Bài 58: a) Không giải phương trình, hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của phương trình: 
 b) Với giá trị nào của số nguyên a, các nghiệm của phương trình là các số hữu tỉ ?
Bài 59: Cho phương trình : 2
Giải phương trình khi m = 9
Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Xác định m để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Tìm các nghiệm đó.
Bài 60: Cho 
Khi m = 1; Tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0
Xác định m để f(x) viết được dưới dạng một bình phương
Giả sử phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt , . Lập một hệ thức giữa , không phụ thuộc m.
Bài 61: Cho x, y > 0 thỏa: . Tính 
Bài 62: Cho phương trình 2(m 1)x 3 m = 0
CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Xác định m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt , thỏa: 
Xác định m để phương trình có hai nghiệm , thỏa: đạt GTNN
Bài 63: Giả sử phương trình : + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương. Chứng minh rằng + là một hợp số.
Bài 64: Giả sử phương trình : 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt , Xác định m để biểu thức đạt GTNN. Tìm minE
Bài 65: Cho phương trình : (a 1)x +1 = 0 có hai nghiệm , , xác định a để biểu thức đạt GTNN. Hãy tìm nghiệm trong trường hợp M đạt GTNN.
Bài 66: Cho phương trình : + px 1 = 0 (p là số lẻ) có hai nghiệm phân biệt , . CMR: nếu n là số tự nhiên thì : đều là các số nguyên và chúng nguyên tố cùng nhau.
Bài 67: Cho phương trình : – 2(m + 1)x + 4m = 0. 
CMR: m, phương trình luôn luôn có nghiệm. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. 
Xác định m để phương trình có một nghiệm x = 4. Tính nghiệm số còn lại.
Bài 68: Cho phương trình : – mx + m – 1 = 0 có hai nghiệm , . Với giá trị nào của m biểu thức đạt GTLN. Tìm GTLN đó.
Bài 69: Cho a là số thực khác – 1. Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm , thỏa hệ thức: 
Bài 70: Cho a 0. Giả sử , là các nghiệm của phương trình : . Chứng minh rằng: . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 71: Cho a 0. Giả sử , là các nghiệm của phương trình : . Tìm GTNN của E =
Bài 72: Cho phương trình : + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
Tìm a để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó
Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1.
Bài 73: Cho phương trình: – ax + a – 1 = 0 có hai nghiệm là , .
Không giải phương trình, hãy tính: 
Tìm a để P = đạt GTNN.
Bài 74: Cho phương trình : – (2m + 1)x + + m – 1 = 0
CMR: phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
CMR có một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.
Bài 75: Cho phương trình : 
CMR: a, b phương trình đã cho đều có nghiệm
Muốn phương trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng thì a và b phải bằng bao nhiêu ?
Bài 76: Cho phương trình : – 2mx – – 1 = 0 (1)
CMR phương trình luôn có hai nghiệm , với mọi m.
Tìm biểu thức liên hệ giữa , không phụ thuộc vào m.
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm , thỏa: 
Bài 77: Cho phương trình : (m – 1)– 2(m + 1)x + m = 0 (1)
Giải và biện luận phương trình (1) theo m.
Khi phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt , :
Tìm hệ thức giữa , độc lập với m.
Tìm m sao cho 
Bài 78: Cho phương trình : – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0
CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Xác định m để phương trình có hai nghiệm không âm
Gọi , là hai nghiệm. Xác định m để E = (+ 1) đạt GTLN
Bài 79: Cho phương trình : + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0
CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Xác định m để phương trìnhluôn có hai nghiệm , thỏa mãn: 
Bài 80: Gọi , là hai nghiệm của phương trình : – 3x + a = 0
Gọi là hai nghiệm của phương trình : 
Cho biết : . Tính a và b.
Chuyên đề 6: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
Bài 1: CMR nếu phương trình bậc ba: có ba nghiệm , , thì ta có các hệ thức : 
Bài 2: Giải các phương trình sau: 
Bài 3: Cho phương trình : 
CMR phương trình (1) có nghiệm x = – 2 với mọi m.
Xác định m để phương trình (1) có đúng hai nghiệm.
Xác định m để phương trình (1) có ba nghiệm , , sao cho: đạt giả trị nhỏ nhất.
Bài 4: a) Tính b) Giải phương trình : 
Bài 5: Cho phương trình : 
CMR phương trình (1) luôn có ba nghiệm phân biệt , , , trong đó = 1, m
Xác định m để : đạt GTNN. Tìm minE và các nghiệm , , tương ứng
Bài 6: a) Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phương của một số bằng tổng các lập phương của ba số kia.
 b) Có thể tìm được 5 số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phương của số này bằng tổng các lập phương của bốn số kia ?
Bài 7: Cho phương trình : 
a) Giải phương trình khi a = b) Giải và biện luận phương trình theo tham số a
Bài 8: Cho phương trình : – 2+ (m + 1)x – m = 0
CMR phương trình luôn luôn có nghiệm x = 1, m.
Giải và biện luận phương trình đã cho theo tham số m.
Bài 9: Giải các phương trình sau: 
Bài 10: Cho phương trình : 
Giải phương trình khi a = 1
Với giá trị nào của a, phương trình có nghiệm nhỏ nhất ? Tìm nghiệm nhỏ nhất đó
Bài 11: Giải và biện luận phương trình : 
Bài 12: Cho phương trình : 
 a) Giải phương trình khi a = – 2 b) Giải và biện luận phương trình theo a, b
Bài 13: Cho phương trình : + 2(2a + 1)– 3a = 0
Giải phương trình khi a = – 3
Xác định a để phương trình có 4 nghiệm , , , thỏa mãn: 
 – = – = – 
Bài 14: Cho phương trình : 
Giải phương trình khi a = 1 và b = 2
Giải và biện luận phương trình theo a và b.
Bài 15: Cho phương trình : 
Giải phương trình khi a = 2, b = 3, c = 4
Giải và biện luận phương trình theo a, b, c
Bài 16: Giải các phương trình sau: 
Bài 17: Cho phương trình : + a+ bx + c = 0
Giải phương trình khi a = 1; b = c = – 8
Cho biết phương trình có ba nghiệm , , thỏa mãn hệ thức: . = 
CMR: 
Bài 18: Cho phương trình : 
 a) Giải phương trình khi m = 2 b) Xác định m để phương trình có nghiệm 
Bài 19: Giải các phương trình sau: 
Bài 20: Giải và biện luận phương trình : 
Bài 21: Tìm điều kiện của a và b để phương trình sau đây có ba nghiệm phân biệt:
Chuyên đề 7: HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
Bài 1: Giải hệ phương trình : 
Bài 2: Giải hệ phương trình : x + y – z = y + z – x = z + x – y = xyz
Bài 3: Giải hệ phương trình : 
Bài 4: Tìm x, y, z thỏa hệ phương trình : 
Bài 5: Với giá trị nào của x, y, z ta có đẳng thức sau: 
Bài 6: Giải các hệ phương trình : 
Bài 7: Tìm tất cả các giá trị x, y thỏa mãn: 
Bài 8: Giải các hệ phương trình : 
Bài 9: Giải các hệ phương trình : 
Bài 10: Giải các hệ phương trình : 
Bài 11: Với giá trị nào của m, hệ phương trình : có nghiệm kép
Bài 12: Tìm tất cả các số nguyên k sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:
Bài 13: Cho hệ phương trình : . Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt. Tìm các nghiệm đó.
Bài 14: Giải các hệ phương trình : 
Bài 15: Giải hệ phương trình : a) 
Bài 16: Giải các hệ phương trình : 
Bài 17: Tìm tất cả các số nguyên dương , ,.., thỏa mãn hệ phương trình : 
 (n nguyên dương)
Bài 18: Với giá trị nào của số tự nhiên n thì tồn tại các số dương , ,.., thỏa mãn hệ phương trình : . Tìm các số đó (nếu có)
Bài 19: Giải các hệ phương trình : 
Bài 20: Giải các hệ phương trình : 
Bài 21: Cho hệ phương trình : . Tìm m để hệ có nghiệm kép.
Bài 22: Cho hệ phương trình : . Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.
Bài 23: Giải các hệ phương trình : 
Bài 24: Giải các hệ phương trình : 
Bài 25: Cho x, y, z Î R thỏa: x + y + z = 3 và 
CMR ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 3
Áp dụng: Giải hệ phương trình : 
Bài 26: Giải hệ phương trình : 
Bài 27: Cho x, y Î thỏa: . Tính giá trị của biểu thức: M = + 
Chuyên đề 8: BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1: a) Cho a 1, b 1. CMR: 
 b) Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau. CMR: 
Bài 2: a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 
 CMR: 
 b) Từ đẳng thức (2) có thể suy ra được đẳng thức (1) được hay không ?
 Giải thích rõ câu trả lời (PTNK ĐHQG TP.HCM 1999)
Bài 3: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: 
Bài 4: Cho biểu thức: , trong đó: ad – bc = 1
CMR: 
Tính giá trị của tổng khi (HSG QG 1994)
Bài 5: a) Cho x và y dương. CMR: . Dấu “=” xảy ra khi nào ?
 b) Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh)
 CMR: 
 Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra lúc ABC có đặc điểm gì ?
Bài 6: Cho ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c , chu vi 2p. CMR: 
Bài 7: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điểu kiện: CMR: 
Bài 8: a) CMR; với x > 1 ta có: 
 b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của biểu thức: 
Bài 9: CMR bất đẳng thức sau đây đúng với x, y là các số thực bất kì khác 0
 (HSG QG 1995)
Bài 10: Xác định k để bất dẳng thức : được thỏa mãn với mọi cặp (x, y) là tọa độ của điểm M nằm trên mỗi đường thẳng y = x và y = – x
Bài 11: a) Tìm m sao cho hệ sau đây có nghiệm (x; y): 
 b) Dùng hình vẽ để kiểm tra lại kết quả trên
Bài 12: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: a + b + c = 1. CMR: b + c 16abc
Bài 13: Cho a, b, c là các số thuộc đoạn [– 1; 2] thỏa mãn: a + b + c = 0.
 CMR: + + 6
Bài 14: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) b) + + ab + bc + ca
 c) + với a + b 1 d) 
Bài 15: 
CMR: x Î R, ta có: 
Giải phương trình: (ĐHTH HCM)
Bài 16: Cho ba số thực x, y, z
CMR: 
Gọi m là GTNN trong ba số : . CMR: 
 (chuyên toán PTNK ĐHQG HCM 1998)
Bài 17: Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR; có ít nhất một BĐT sau là sai:
Bài 18: Chứng minh các BĐT sau:
 a) + + 1 ab + a + b, a, b Î R
 b) với a, b > 0 (Lê Hồng Phong TP HCM 1997)
Bài 19: Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện: = + 
CMR: . Từ đó suy ra: > + 
 b) So sánh: x và y + z (HSG Long An, TP HCM 1982)
Bài 20: CMR: , trong đó a > 0, b > 0 (HSG HCM 1986 – 1987)
Bài 21: a) Cho các số x, y, z 0 và x + y + z = 1. CMR: x + 2y + z 4(1 – x)(1 – y)(1 – z)
 b) CMR: nếu a, b, c > 0 thì 
Bài 22: CMR: nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì 
Bài 23: CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
 ab + bc + ca + + < 2(ab + bc + ca) (HSG HCM 1989 – 1990)
Bài 24: Tìm các số nguyên x, y thỏa: (HSG HCM 91-92
Bài 25: CMR: (x, y 0) (Lê Hồng Phong HCM 98 – 99)
Bài 26: a) Cho a, b > 0. CMR: . Dấu “=” xảy ra khi nào ?
 b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
 (1 + )(1 + ).(1 + ) (HSG QG 91 – 92 bảng B)
Bài 27: Cho x, y thỏa mãn đồng thời: . CMR: 2+ 
Bài 28: Cho a, b, c > 0 và a + b + c 1. 
 CMR: (ĐHTH HN 92 – 93)
Bài 29: Cho < 1 và < 1. CMR: 
Bài 30: Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn: 0 a, b, c 1
 CMR: a) 
 b) 2(+ +) 3
 c) Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 31: Cho phương trình : + mx + n = 0 có hai nghiệm , và n m – 1
 CMR: (HSG QG 1995)
Bài 32: a) CMR: 
 b) Cho x > y > 0 và 
Bài 33: Cho a, b, c > 0. CMR: (ĐHQG HN 97)
Bài 34: Cho x, y là các số thực thỏa: x, y 0 và + = 1. CMR: 
Bài 35: Cho ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và chu vi bằng 2. 
 CMR: + + + 2abc < 2
Bài 36: Chứng minh các BĐT sau:
Bài 37: CMR:
Bài 38: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
 với 
 với 
 với a, b 2
 với 
 với a, b, c > 0 và a + b + c = abc
Bài 39: Cho a, b, c > 0. CMR:
 a) (a + b)(b + c)(c + a) 8abc
 b) c) 
Bài 40: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. CMR:
abc (a + b c)(b + c a)(c + a b)
 với a b c
Bài 41: CMR BĐT sau đúng với mọi giá trị thực của x:
 a) b) 
Bài 42: CMR với mọi a, b:
 a) b) 
Bài 43: CMR với mọi x, y R ta có: 
Bài 44: Cho a, b là các số thực dương thỏa: a + b 4
Bài 45: CMR a, b > 0 và a + b = 1 thì 
Bài 46: CMR a, b > 0 và ab = 1 thì 
Bài 47: CMR nếu a > c > 0 và b > c > 0 thì:
 a) b) 
Bài 48: CMR:
 a) Nếu 1 a 5 thì 
 b) Nếu a + 1 0, b + 1 0 và a + b = 2 thì 
Bài 49: Cho a, b là các số thực thỏa: + = 1. CMR: 
Bài 50: Cho a, b là hai số thực thỏa điều kiện: + = 5. CMR: a + 2b 10
Bài 51: Cho a, b > 0 thỏa: + = 4. CMR: 
Bài 52: CMR: 
Nếu a + b = 2 thì + 2
Nếu a + b 2 và a, b > 0 thì + + 
Nếu a, b > 0 và a + b = 1 thì 
Bài 53: Cho các số thực a, b, c thỏa điều kiện: + + = 1
 CMR: 
Bài 54: Cho a, b, c là các số thực thỏa: ab + bc + ca = 4. CMR: + + 
Bài 55: Cho a b > 0. CMR:
 a) b) 
Bài 56: Cho a, b, c > 0 thỏa: a + b + c = 4. CMR: (a + b)(b + c)(c + a) 
Bài 57: Cho a, b > 0. CMR: 
 a) Nếu ab 1 thì b) Nếu ab < 1 thì 
Bài 58: Cho x, y > 0. CMR: 
Bài 59: Cho a, b là hai số thực bất kì có tổng bằng 1. CMR: + 
Bài 60: Cho a, b là các số thực thỏa điều kiện: + = 4 + ab
 CMR: . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 61: Cho x, y > 0 thỏa : > 2, > 2. CMR: 
Bài 62: Cho a, b, c là các số thực thỏa: a + b + c = 2 và ab + bc + ca = 1
 CMR: 0 a, b, c 
Bài 63: Cho bốn số thực a, b, c, d thỏa: . CMR: 1 a, b, c, d 
Bài 64: Cho a, b, c là ba số dương. CMR: 
Bài 65: Cho a, b, c > 0. CMR: (HSG HCM 95 – 96)
Chuyên đề 9: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Bài 1: Cho hai số thực x, y thỏa điều kiện: + = 1. Tìm GTNN và GTLN: A = x + y
Bài 2: Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm GTNN: B = 
Bài 3: Cho hàm số: 
 a) Tìm TXĐ của hàm số b) Rút gọn y c) Vẽ đồ thị
 d) Tìm GTNN của y và các giá trị tương ứng của x bằng hai phương pháp (dùng phép toán và dùng đồ thị)
 e) Từ đồ thị hãy chỉ ra trục đối xứng của đồ thị đã vẽ ở câu c và dùng phép toán để chứng minh điều này.
Bài 4: Cho . Tìm GTLN, GTNN của A và các giá trị tương ứng của x
 (HSG HCM 1989 – 1990)
Bài 5: Cho hàm số: 
 a) Vẽ ĐTHS b) Tìm miny c) Tìm x để y 4
Bài 6: Tìm GTNN: (x, y, a là các số nguyên)
Bài 7: Cho 
 a) Tìm điều kiện của a để M xác định b) Tìm GTNN của M
Bài 8: Tìm giá trị nguyên lớn nhất của M sao cho BĐT sau luôn luôn đúng với mọi số thực x: 
 (HSG HCM 91- 92)
Bài 9: Cho x, y, z > 0 thỏa: . Tìm GTLN : P = xyz
Bài 10: Tìm GTNN: (HSG Hà Nội 90 – 91)
Bài 11: Cho a, b thỏa a + b = 1. Tìm GTNN: B = + + ab
Bài 12: Cho . Tính giá trị của M cho biết x và y là hai số thực thỏa mãn xy = 1 và đạt GTNN.
Bài 13: Cho 
 CMR: 0 < P < ,x (chuyên toán Huế 1984)
Bài 14: Cho . Hãy tìm GTNN của M và các giá trị nguyên không âm tương ứng của x, y, z, t cho biết chúng thỏa mãn đồng thời:
 (HSG QG 1985 – 1986)
Bài 15: Cho . Với giá trị nào của các số nguyên dương x, y, z thì P đạt giá trị dương bé nhất (HSG QG 1988 – 1989)
Bài 16: Cho các số thực không âm: thỏa mãn: 
 Tìm GTLN của biểu thức: (HSG HCM 1986)
Bài 17: Cho a > 0, b > 0. Tìm GTNN: (x > 0)
Bài 18: Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn: 
 Tìm GTNN: P = 2x + 3y 4z
Bài 19: Tìm giá trị của x để biểu thức: đạt GTNN. Tìm GTNN đó.
Bài 20: Tìm GTNN của hàm số: với 0 < x < 1 (HSG HCM 97)
Bài 21: Tìm GTNN của hàm số: (HSG HCM 97)
Bài 22: Cho a > 0, b > 0. Các số dương x và y thay đổi sao cho : . 
Tìm x và y để S = x + y đạt GTNN. Tìm minS theo a và b.
Bài 23: a) Cho a, b, c là ba số dương có tổng là hằng số. Tìm a, b, c sao cho S = ab + bc + ca đạt GTLN
 b) Giả sử rằng giá bán của viên kim cương (hột xoàn) tỉ lệ với bình phương khối lượng của nó. Khi đem một viên kim cương cắt thành ba phần và vẫn bán với giá như trên (đúng tỉ lệ trên) thì tổng số tiền thu được tăng hay giảm và trong trường hợp chia cắt nào thì sự sai biệt về giá trị là lớn nhất ? (HSG HCM 1995)
Bài 24: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = + . Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn: + xy = 4
Bài 25: Tìm GTLN và GTNN của biết x, y 0 và x + y = 
Bài 26: Cho phân thức: 
 a) CMR: P > 0 , x, y b) Tìm x, y để P đạt GTLN. Tìm GTLN đó.
Bài 27: Cho x, y thỏa mãn: +4= 25. Tìm GTLN và GTNN của M = x + 2y
Bài 28: Cho x, y, z là các số dương thỏa điều kiện: xyz = 1
 Tìm GTNN của 
Bài 29: cho x, y thỏa: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = + 2 
Bài 30: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
 a) với x, y R
 b) 
Bài 31: Cho các số thực x, y, z thỏa: x + y + z = 3. Tìm GTLN của M = xy + yz + zx
Bài 32: Tìm GTNN: 
Bài 33: Cho x, y là hai số dương luôn thay đổi thỏa điều kiện: xy = 1
 Tìm GTLN của biểu thức: (chuyên ĐHSP Hà Nội 97 – 98)
Bài 34: Cho biểu thức: 
 a) Tìm TXĐ b) Rút gọn E
 c) Tìm x để E đạt GTNN. Tìm GTNN đó.
Bài 35: Tìm GTNN
 a) b) 
Bài 36: a) Cho a < b < c < d là 4 số thực tùy ý. Với giá trị nào của x ta có biểu thức:
 đạt GTNN
 b) Hãy phát biểu và giải bài toán tổng quát với n số thực (chuyên toán ĐHTH HCM 94)
 Bài 37: Cho x > 0, y > 0 thỏa x + y 1. Tìm GTNN: 
Bài 38: Tìm GTLN của 
Bài 39: Cho 
 a) Tìm TXĐ b) Tìm maxP
Bài 40: Tìm GTNN của với a, b, c cho trước
Bài 41: Tìm GTNN: ; 
Bài 42: Tìm GTLN: 
Bài 43: Tìm số dương lớn nhất trong ba số dương x, y, z thỏa: 
Bài 44: Tìm GTLN của biểu thức: , cho biết x, y, z là các biến số thỏa: 
 + + = 169
Bài 45: Tìm GTNN:
 a) (x 0) b) c) 
Bài 46: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
 a) (x > 0) b) 
Bài 47: Tìm GTNN và GTLN của các biểu thức sau:
 (x bất kì) b) (x 0)
Bài 48: Tìm GTNN: (x 0)
Bài 49: Tìm GTLN: (x > 0)
Bài 50: Tìm GTNN: 
Bài 51: Tìm GTNN:
Bài 52: Tìm GTLN và GTNN của : 
Bài 53: Cho + + 27. Tìm GTLN và GTNN của P = x + y + z + xy + yz + zx
Bài 54: Cho a, b là hai số thỏa mãn đồng thời : a, b 0; 2a + 3b 6; 2a + b 4
 Tìm GTLN và GTNN của A = 2a b
Bài 55: Cho a, b, c là các số thỏa mãn: + + 8. Tìm GTNN của S = ab + bc + 2ca
Bài 56: Cho x, y > 0 thỏa x + y 1. Tìm GTNN: 
Bài 57: Cho x, y > 0 thỏa: x + y = xy. Tìm GTNN: S = x + y 
Bài 58: a) Cho x, y là hai số dương có tổng bằng 1. Tìm GTNN: 
 b) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm GTNN: 
Bài 59: Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm minP = 
Bài 60: Cho hai số thực x, y thỏa: x + 2y = 1. Tìm GTLN: P = xy
Bài 61: Cho x, y > 0 và x + y = 10. Tìm GTNN: 
Bài 62: Tìm GTLN và GTNN của P = x + y + z, biết x, y, z là các biến số thỏa mãn điều kiện: 
Bài 63: Cho 5 số thực không âm , , , , có tổng bằng 1
 Tìm GTLN : 
Bài 64: Cho a, b, c > 0 thỏa: . Tìm GTLN : Q = abc
Bài 65: Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm GTNN: 
Bài 66: Cho x, y > 0 thỏa: + = 4. Tìm GTNN: 
Bài 67: Tìm GTLN của biểu thức: (x 3; y 2)
Bài 68: Tìm GTLN và GTNN của với 3 x 6
Bài 69: a) Tìm GTLN và GTNN của ( 1 x 1)
 b) Suy ra giá trị lớn nhất của tham số m để: với 1 x 1
Bài 70: a) Tìm GTLN và GTNN của ( 4 x 4)
 b) Tìm GTLN của m để : với 4 x 4
 c) Tìm GTNN của k để với 4 x 4
Bài 71: Tìm GTLN của các hàm số sau:
 a) b) với 
Bài 72: Cho (x; y) là nghiệm của phương trình : +3+ 2xy 10x 14x +18 = 0
 Tìm nghiệm (x; y) sao cho S = x + y a) Đạt GTLN b) Đạt GTNN
Bài 73: Cho x, y là hai số thực thỏa: + = 1
 Tìm GTLN và GTNN của: 
Bài 74: Cho a, b > 0 thỏa: 3a + 5b = 12. Tìm GTLN: P = ab
Bài 75: Cho x, y 1 và x + y = 2. Tìm GTLN : 
Bài 76: Cho a, b > 0 và ab = 216. Tìm GTNN của S = 6a + 4b
Bài 77: Cho a, b, c là các số không âm thỏa: . Tìm GTLN: P = a + b + c
Bài 78: Cho a, b, c không âm thỏa: . Tìm GTNN của E = 2a + 3b 4c
Bài 79: Tìm GTNN: 
Bài 80: Cho a, b > 0 thỏa: . Tìm GTNN: 
Bài 81: Cho a, b, c là ba số thực thỏa: a, b, c 0 và a + b + c 3
 a) Tìm GTLN: b) Tìm GTNN: 
Bài 82: Cho a, b thỏa: a 3 và a + b 5. Tìm GTNN: S = +