2 Đề thi thử học kì II Môn thi: Toán 11

ĐỀ SỐ 1. THI THỬ HỌC KÌ II ; MÔN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài: 90 phút 
A. PHẦN CHUNG (7điểm). (Dành cho tất cả các thí sinh) 
Câu I (1,5điểm). Tìm các giới hạn sau: 
1) 
3 2
3
6 4
lim
2 3
 

n n
n
 2) 
0
1 1
lim

 
x
x
x
Câu II (1điểm). Tìm m để hàm số 
2 2 3
1
( ) 1
2 1
x x
khi x
f x x
mx khi x
  

 
  
 liên tục tại .1x 
Câu III (1,5điểm). Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
1) 
2sin cos2y x x x   2) 22 5y x x   
Câu IV(3điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều ABC cạnh bằng a. Cạnh 
bên SB vuông góc mặt phẳng ( )ABC và 2SB a . Gọi I là trung điểm của cạnh BC. 
 1) Chứng minh rằng AI vuông góc mặt phẳng (SBC). 
 2) Tính góc hợp bởi đường thẳng SI với mặt phẳng (ABC). 
 3) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAI). 
B. PHẦN RIÊNG (3điểm). (Thí sinh học chương trình nào thì làm theo chương trình đó) 
1. Theo chương trình cơ bản. 
Câu Va(2điểm). Cho hàm số   3 23 4   y f x x x có đồ thị (C). 
1) Giải phương trình   2. f x 
 2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 0 1.x 
Câu Via (1điểm). Chứng minh phương trình 3 3 1 0x x   có ít nhất 3 nghiệm phân biệt 
thuộc khoảng  2;2 . 
2. Chương trình nâng cao. 
Câu Vb (2điểm). 
1) Cho hàm số 
2 2 2
2
 

x x
y . Chứng minh rằng: 22 . 1  yy y . 
2) Cho hàm số 
1 2
( )
1
x
y f x
x

 

 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết 
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  có phương trình 
4
3.
3
y x  
Câu VIb (1điểm). Chứng minh rằng phương trình  2 20103 . 2 4 0m m x x     
luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị tham số m. 
-------------HẾT------------ 
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM 
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM 
I 
(1,5đ) 
1(0,75đ) 
3 2 3
3
3
1 4
6
6 4
lim lim
22 3 3
n n n n
n
n
 
 

 
 = - 2 





0,5 
0,25 
2(0,75đ) 
 0 0
1 1
lim lim
1 1x x
x x
x x x 
 

 
0
1 1
lim
21 1x x
 
 





0,5 
0,25 
II 
(1đ) 
Ta có  
  2
1 1 1
1 32 3
lim lim lim 4
1 1x x x
x xx x
f x
x x    
  
   
 
và    
1 1
lim lim 2 2
x x
f x mx m
  
    ; (1) 2f m  
Hàm số liên tục tại x = 1   
1
lim
x
f x

=  
1
lim
x
f x

= (1)f 
2 4 2m m       



0,5 
0,25 
0,25 
III 
(1,5đ) 
1(0,75đ) 
   ' 2sin . sin ' sin 2 . 2 ' 1
2sin cos 2sin 2 1
= - sin2x-1 
y x x x x
x x x
  
   
0,25 
0,25 
0,25 
2(0,75đ) 
 2
2
2
2 5 '
'
2 2 5
5 2
2 2 5
x x
y
x x
x
x x
 

 


 
0,5 
0,5 
IV 
(3đ) 
1(1đ) 
I
B
C
A
S
H
Tam giác ABC đều cạnh a , IB = IC = 
a
2
  AI  BC (1) 
SB  (ABC)  SB AI (2) 
0,25 
0,25 
0,25 
Từ (1) và (2) ta có AI  (SBC) 0,25 
2(1đ) 
SB  (ABC)  BI là hình chiếu của SI trên (ABC) 
    ,( ) , tan 4
SB
SI ABC SIB SIB
IB
   
Kết luận: 
0,5 
0,25 
0,25 
3(1đ) 
AI (SBC) (cmt) nên (SAI)  (SBC) 
( ) ( )SI SAI SBC  .Trong tam giác SBI, kẻ 
( )  BH SI BH SAI 
( )( ),d B SAI BHÞ = 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 17 2 17
174 4
a
BH
BH MB BI a a a
       
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
 Chương trình cơ bản 
Va 
(2đ) 
1(1đ) 
3 23 4y x x    23 6y x x   
2 22 3 6 2 3 6 2 0y x x x x         
3 15 3 15
;
3 3
x x
 
  
0,5 
0,25 
0,25 
2(1đ) 
Tại
0
1x   
0
6 y 
Hệ số góc của TT: (1) 3  k y 
Phương trình tiếp tuyến là 3 3y x   
0,25 
0,5 
0,25 
VIa 
(1đ) 
Đặt f(x) = x3 - 3x + 1. Ta có f(x) xác định, liên tục trên  nên 
liên tục trên các đoạn [-2;-1], [-1;1] và [1;2] 
Mà f(-2). f(-1) = -3 0 , f(-1). f(1) = -3 0 và f(1). f(2) = -3 0 
Nên pt f(x) = 0 đều có 1 nghiệm thuộc mỗi khoảng (-2;-1), (-1;1) 
và (1;2) 
Suy ra phương trình x3 - 3x + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân 
biệt trên 
(-2; 2). 
0,25 
0,5 
0,25 
 Chương trình nâng cao 
Vb 
(2đ) 
1(1đ) 
Ta có y x y' 1 " 1    
y y x x x x x y2 2 2 22 . " 1 ( 2 2).1 1 2 1 ( 1)            
0,5 
0,5 
2(1đ) 
TXĐ D = R \ {-1}; 
 
2
3
'( )
1
f x
x



Xác định đúng hệ số góc của TT là: 
3
4
k   
Gọi  0 0;x y là tiếp điểm của TT, theo giả thiết ta có: 





0,5 
03
'( )
4
f x  
 
 
0
2 0
02
00
0
1
13 3 21 4
3 741
2
y
x
x
xx y

  
             

Vậy có hai tiếp tuyến 
3 1
4 4
y x   và 
3 23
4 4
y x   







0,5 
VIb 
(1đ) 
1(1đ) 
Xét hàm số f(x) = (m2 – m + 3)x2010 – 2x – 4 liên tục trên  
Ta có: f(0) = -4 và f(-1) = m2 – m + 3 + 2 – 4 = m2 – m + 1 > 0  
m   . 
 f(0). f(-1) < 0 suy ra tồn tại x0  (-1; 0): f(x0) = 0 
Phương trình có ít nhất một nghiệm âm với mọi m. 
0,5 
0,25 
0,25 
--------------------Hết-------------------- 
ĐỀ SỐ 2. THI THỬ HỌC KỲ II MÔN: TOÁN –LỚP 11 
Thời gian làm bài: 90 phút 
I. Phần chung: (7,0 điểm) 
Câu 1: (1.5 điểm) Tìm các giới hạn sau: 
 1. 
2
2
4 1
lim
5 2 3
n
n n

 
 2. 
x
x x
x
2
3
4 3
lim
3
 

 3. 4 1 3lim 22
x
xx
 

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm giá trị của tham số m để hàm số 
2 3 2
 khi 1
( ) 1
2 5 khi 1
x x
x
f x x
mx x





 
 
 
  
 liên tục tại x = - 1 
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
 1. 
2
2 1
2
x
y
x x


 
 2.  y x x
10
2 1   
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA 
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. 
1. Chứng minh: ( ) ( )SBD SAC . 
2. Tính tan góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). 
3. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh SB . Chứng minh ( )AH SBC . Tính AH. 
II. Phần riêng(3.0 điểm) 
1. Theo chương trình Chuẩn: 
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình 5 43 5 2 0x x x    có ít nhất hai 
nghiệm thuộc khoảng (0; 2). 
Câu 6a: (2,0 điểm) 
 1) Cho hàm số f x x x x5 3( ) 2 3    . Chứng minh rằng: f f f(1) ( 1) 6. (0)     
 2) Cho hàm số 
x x
y
x
22
1
 


 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm 
M(2; 4). 
2. Theo chương trình Nâng cao 
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình x x5 310 100 0   có ít nhất một nghiệm âm. 
Câu 6b: (2,0 điểm) 
 a) Cho hàm số 4 4 2sin os 1 2siny x c x x    . CMR y’=0 
 b) Cho hàm số 
x x
y
x
22
1
 


 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp 
tuyến có hệ số góc k = –1. 
 Đáp án 
Câu Nội dung 
1(1.5) 
2
2
2
2
1
4
4 1 4
 lim lim
5 25 2 3 33
n n
n n
n n


  
   
x x
x x x x
x x
2
3 3
4 3 ( 3)( 1)
lim lim
3 3 
   

 
x
x
3
lim( 1) 2

   
2 2
4 1 3 4 8
lim lim
2 ( 2)( 4 1 3)x x
x x
x x x 
  

    2
4 2
lim
34 1 3x x
 
 
2(1.0) * f(-1) = -2m + 5 
*
1 1
lim ( ) lim (2 5) 2 5
x x
f x mx m
  
     
*
2
1 1 1
3 2
lim ( ) lim lim ( 2) 1
1x x x
x x
f x x
x    
 
   

Hàm số f(x) liên tục tại x = -1 khi 
1 1
lim ( ) lim ( ) ( 1) m=2
x x
f x f x f
  
    
3(1.0) 2 2
2 2
(2 1) '( 2) (2 1)( 2) '
'
( 2)
x x x x x x
y
x x
      

 
2
2 2
2 2 5
( 2)
x x
x x
  

 
  xy x x y x x
x
10 9
2 2
2
1 ' 10 1 1
1
                 
x x
y
x
10
2
2
10 1
'
1
   
  

4(3.0) 
1.(1,0 điểm) Hình vẽ 
 ( ) (1)
BD SA
BD SAC
BD AC

 

( ) (2)BD SBD 
Từ (1) và (2) suy ra (SBD)  (SAC) 
2.(0,75 điểm) 
 SA  (ABCD)AC là hình chiếu của SC lên (ABCD) 
Góc giữa SC và (ABCD) là SCA 
 2tan
2
SA
SCA
AC
  
3.(1,0 điểm) 
 ( )
AB BC
SAB BC
SA BC

 

 (3)AH BC  
mà (4)AH SB 
Từ (3) và (4) suy ra : ( )AH SBC 
1 2
2 2
a
AH SB  
5a(1.0) Đặt 5 4( ) 3 5 2f x x x x    
Hàm số f(x) liên tục trên IR. Do đó nó liên tục trên các đoạn [0;1] và [1;2]. 
Ta có : f(0) = -2, f(1) = 1  f(0).f(1) < 0 
 f(1) = 1, f(2) = -8  f(1).f(2) < 0 
Phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0;1) và 1 nghiệm thuộc khoảng 
(1;2) 
Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng (0;2). 
6a(2.0) f x x x x5 3( ) 2 3    f x x x f f f4 2( ) 5 3 2, (1) 6, ( 1) 6, (0) 2           
Vậy: f f f(1) ( 1) 6. (0)     
x x x x
y y k f
x x
2 2
2
2 2 1
' (2) 1
1 ( 1)
          
 
x y k PTTT y x0 02, 4, 1 : 2        
5b(1.0) Gọi f x x x5 3( ) 10 100    f x( ) liên tục trên R 
f(0) = 100, f 5 4 4( 10) 10 10 100 9.10 100 0         f f(0). ( 10) 0   
 phương trình có ít nhất một nghiệm âm c ( 10;0)  
6b(2.0)   

2y x cos x cos2x=0
y'=0
2sin (đpcm) 
x x x x
y y
x x
2 2
2
2 2 1
'
1 ( 1)
   
  
 
Gọi x y0 0( ; ) là toạ độ tiếp điểm. 
 
x x x
y x x x
xx
2
20 0 0
0 0 02
00
2 1 0
( ) 1 1 2 0
2( 1)
              
Nếu x y PTTT y x0 00 2 : 2        
Nếu x y PTTT y x0 02 4 : 6       
--------------------Hết--------------------