2 bài toán phụ khảo sát hàm số

 nghiệm phân biệt 
  2 212 0x x m  có ba nghiệm phân biệt 
2 2
0
0
x
x m

 
 
 có ba nghiệm phân biệt 
 Đặt   2 2g x x m  
    0g x  có hai nghiệm phân biệt khác 0 
 
 
2
2
0 4 0
0
0 0 0
g x m
m
g m
   
    
  
 tọa độ ba điểm cực trị là:      2 4 2 4 20;2 1 ; ; 3 2 1 ; ; 3 2 1A m B m m m C m m m        
     4 4; 3 ; ; 3AB m m AC m m    
 
Để ∆ ABC có  30BAC   thì: 
2 8 8 2 6
8 2 62 8 2 8
. 9 3 9 3 9 1 3
cos30
2 2 29 9 1. 9 . 9
AB AC m m m m m
m m mAB AC m m m m
   
      
  
 
  
     6 6 6 6 3 22 9 1 3 9 1 18 9 3 3 2
18 9 3
m m m m

         

 (thỏa mãn) 
 Vậy 6
3 2
18 9 3
m



là giá trị cần tìm. 
2 BµI TO¸N PHô KH¶O S¸T HµM Sè 
D¦¥NG MINH hiÕu k – 43a 
 4 
Ví dụ 4: Cho hàm số 4 2 2 22 3y mx m x m    . Tìm m để hàm số có ba cực trị đồng thời 
ba điểm cực trị lập thành một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng  sao cho 
1
cos
3
  . 
Giải 
 Ta có: 3 2' 4 4y mx m x  
Để hàm số có ba cực trị thì phương trình ' 0y  có ba nghiệm phân biệt 
 3 24 4 0mx m x  có ba nghiệm phân biệt 
  24 0mx x m  có ba nghiệm phân biệt 
2
0
0
mx
x m

 
 
 có ba nghiệm phân biệt 
0m  
 Đặt   2g x x m  
   0g x  có hai nghiệm phân biệt khác 0 
 
 
0 4 0
0
00 0
g x m
m
mg
  
    
 
 Tọa độ ba điểm cực trị là:      2 3 2 3 20; 3 ; ; 3 ; ; 3A m B m m m C m m m        
     3 3; ; ;AB m m AC m m    
 
Để ∆ ABC có BAC  sao cho 
1
cos
3
  thì: 
6 6 5
6 56 6
. 1 1 1 1
cos
3 3 31. .
AB AC m m m m m
m m mAB AC m m m m

   
      
  
 
  
 5 5 5 53 1 1 2 4 2m m m m        (thỏa mãn) 
 Vậy 5 2m  là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 5: Cho hàm số: 4 2 22 1y x mx m    . Tìm m để hàm số có ba cực trị đồng thời ba 
điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng  sao cho 
1
cos
7
   . 
Giải 
2 BµI TO¸N PHô KH¶O S¸T HµM Sè 
D¦¥NG MINH hiÕu k – 43a 
 5 
 Ta có: 3' 4 2y x mx  
Để hàm số có ba cực trị thì phương trình ' 0y  có ba nghiệm phân biệt 
 34 2 0x mx  có ba nghiệm phân biệt 
  22 2 0x x m  có ba nghiệm phân biệt 
2
0
2 0
x
x m

 
 
 có ba nghiệm phân biệt 
 Đặt   22g x x m  
   0g x  có hai nghiệm phân biệt khác 0 
 
 
0 8 0
0
00 0
g x m
m
mg
  
    
 
  tọa độ ba điểm cực trị là:  
2 2
2 2 7 2 70;2 1 ; ; 1 ; ; 1
2 4 2 4
m m m m
A m B C
   
         
   
2 22 2
; ; ;
2 4 2 4
m m m m
AB AC
   
           
   
 
 Để ∆ ABC có BAC  sao cho 
1
cos
7
  thì: 
2 2
22 2
. 1 1 8 12 16 16 2cos
7 7 8 7.
.
16 22 16 2 16
m m m m
AB AC m
mm mAB AC m m m m

  

         

 
 
  
  7 8 8 8 48 6m m m m         (thỏa mãn) 
 Vậy 6m  là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 6: Cho hàm số 2 4 22 3 2y m x mx m    . Tìm m để hàm số có ba cực trị đồng thời 
ba điểm cực trị lập thành một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 30 . 
Giải 
 Ta có: 2 3' 4 4y m x mx  
Để hàm số có ba cực trị thì phương trình ' 0y  có ba nghiệm phân biệt 
 2 34 4 0m x mx  có ba nghiệm phân biệt 
  24 1 0mx mx   có ba nghiệm phân biệt 
2
0
1 0
x
mx

 
 
 có ba nghiệm phân biệt 
 0m  
2 BµI TO¸N PHô KH¶O S¸T HµM Sè 
D¦¥NG MINH hiÕu k – 43a 
 6 
 Đặt   2 1g x mx  
  0g x có hai nghiệm phân biệt khác 0 
 
 
0 4 0
0
1 00 0
g x m
m
g
  
    
  
  tọa độ ba điểm cực trị là:  
1 1
0;3 2 ; ;3 3 ; ;3 3A m B m C m
m m
   
      
   
1 1
; 1 ; ; 1AB AC
m m
   
        
   
 
 Để ∆ ABC có  30BAC   thì: 
    
1
1
. 3 1 3
cos30 2 1 3 1
1 2 1 2. 1
AB AC mm m m
mAB AC
m
 

        


 
  
   3 22 3 3 2 7 4 3
2 3
m m m

        

 (thỏa mãn) 
 Vậy 7 4 3m   là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 7: Cho hàm số: 4 2 4 22 2 3y mx x m m     . Tìm m để hàm số có ba cực trị đồng 
thời ba điểm cực trị lập thành một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 135 . 
Giải 
 Ta có: 3' 4 4y mx x  
Để hàm số có ba cực trị thì phương trình ' 0y  có ba nghiệm phân biệt 
 34 4 0mx x  có ba nghiệm phân biệt 
  24 1 0x mx   có ba nghiệm phân biệt 
2
0
1 0
x
mx

 
 
 có ba nghiệm phân biệt 
 Đặt   2 1g x mx  
   0g x  có hai nghiệm phân biệt khác 0 
 
 
0 4 0
0 0 1 0 0
00
g x m
g m
mm
   
 
      
   
 tọa độ ba điểm cực trị là: 
2 BµI TO¸N PHô KH¶O S¸T HµM Sè 
D¦¥NG MINH hiÕu k – 43a 
 7 
  4 2 4 2 4 2
1 1 1 1
0; 2 3 ; ; 2 3 ; ; 2 3A m m B m m C m m
m m m m
   
                
   
1 1 1 1
; ; ;AB AC
m m m m
   
             
   
 
Để ∆ ABC có  150BAC   thì: 
    
2
2
1 1
. 2 1 2
cos135 2 1 2 1
1 1 2 1 2.
AB AC mm m m m
mAB AC
m m


          

 
 
  
  2 22 2 2 2 3 2 2
2 2
m m m

         

 (thỏa mãn) 
 Vậy 3 2 2m    là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 8: Cho hàm số: 4 2 24 3 2y x mx m    . Tìm m để hàm số có ba cực trị sao cho ba 
điểm cực trị lập thành một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng  sao cho 
3
sin
5
  . 
Giải 
 Ta có: 3' 4 8y x mx  
Để hàm số có ba cực trị thì phương trình ' 0y  có ba nghiệm phân biệt 
 34 8 0x mx  có ba nghiệm phân biệt 
  24 2 0x x m  có ba nghiệm phân biệt 
2
0
2 0
x
x m

 
 
 có ba nghiệm phân biệt 
 Đặt   2 2g x x m  
   0g x  có hai nghiệm phân biệt khác 0 
 
 
20 4 0
0
2 00 0
g x m
m
mg
   
    
  
 tọa độ ba điểm cực trị là:      2 2 20;3 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2A m B m m C m m      
    2 22 ; 4 ; 2 ; 4AB m m AC m m     
 
Để ∆ ABC có BAC  thì: 
4 3
4 3
. 2 16 8 1
cos cos cos
2 16 8 1.
AB AC m m m
m m mAB AC
  
  
    
 
 
  
2 BµI TO¸N PHô KH¶O S¸T HµM Sè 
D¦¥NG MINH hiÕu k – 43a 
 8 
Mà 2 2
3 16 4
sin cos 1 sin cos
5 25 5
           
 
4
cos
5
  
    
3
3 3 3
3
3
8 1 4 9
5 8 1 4 8 1 8 9
5 88 1
m
m m m m
m

         

 (thỏa mãn) 
 
4
cos
5
   
    
3
3 3 3
3
3
8 1 4 1
5 8 1 4 8 1 72 1
5 728 1
m
m m m m
m

           

 (thỏa mãn) 
 Vậy 3
9
8
m  và 3
1
72
m  là những giá trị cần tìm. 
Ví dụ 9: Cho hàm số: 4 2 24 1y mx x m    . Tìm m để hàm số có ba cực trị sao cho ba 
điểm cực trị lập thành một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng  sao cho 
5
sin
3
  . 
Giải 
 Ta có: 3' 4 8y mx x  
Để hàm số có ba cực trị thì phương trình ' 0y  có ba nghiệm phân biệt 
 34 8 0mx x  có ba nghiệm phân biệt 
  24 2 0x mx   có ba nghiệm phân biệt 
2
4 0
2 0
x
mx

 
 
 có ba nghiệm phân biệt 
 Đặt   2 2g x mx  
    0g x  có hai nghiệm phân biệt khác 0 
 
 
0 8 0
0
2 00 0
g x m
m
g
   
    
 
 Tọa độ ba điểm cực trị là:  2 2 2
2 4 2 4
0; 1 ; ; 1 ; ; 1A m B m C m
m m m m
   
                
   
 2 2
2 2
; 4 ; ; 4AB m AC m
m m
   
             
   
 
Để ∆ ABC cos BAC  thì: 
2 BµI TO¸N PHô KH¶O S¸T HµM Sè 
D¦¥NG MINH hiÕu k – 43a 
 9 
4
5
5
4
2
16
. 8 1
cos cos cos
2 8 1. 16
m
AB AC mm
mAB AC m
m
  


    

 
 
  
Mà 2 2
5 4 2
sin cos 1 sin cos
3 9 3
           
 
2
cos
3
  
    
5
5 5 5
5
5
8 1 2 5
3 8 1 2 8 1 8 5
3 88 1
m
m m m m
m

           

 
2
cos
3
   
    
5
5 5 5
5
5
8 1 2 1
3 8 1 2 8 1 40 5
3 88 1
m
m m m m
m

           

Vậy 5
5
8
m   và 5
1
8
m  là các giá trị cần tìm. 
 Ví dụ 10: Cho hàm số: 4 2 24 3y x mx m m    . Tìm m để hàm số có ba cực trị sao cho 
ba điểm cực trị lập thành một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng  sao cho 
2
cos
3
  . 
Giải 
 Ta có: 3' 4 8y x mx  
Để hàm số có ba cực trị thì phương trình ' 0y  có ba nghiệm phân biệt 
 
34 8 0x mx  có ba nghiệm phân biệt 
  24 2 0x x m  có ba nghiệm phân biệt 
2
0
2 0
x
x m

 
 
 có ba nghiệm phân biệt 
 Đặt   2 2g x x m  
   0g x  có hai nghiệm phân biệt khác 0 
 
 
0 8 0
0
00 0
g x m
m
mg
   
    
 
  tọa độ ba điểm cực trị là:      2 2 20; 3m ; 2 ; 7 ; 2 ; 7A m B m m m C m m m         
    2 22 ; 4 ; 2 ; 4AB m m AC m m       
 
 Để ∆ ABC có BAC  sao cho 
2
cos
3
  thì: 
2 BµI TO¸N PHô KH¶O S¸T HµM Sè 
D¦¥NG MINH hiÕu k – 43a 
 10 
    
4 3
3 3
4 3
. 2 16 2 16 1 2
cos 3 16 1 2 16 1
3 32 16 16 1.
AB AC m m m
m m
m m mAB AC

 
        
  
 
  
 3 3
5
16 5
16
m m      (thỏa mãn) 
 Vậy 3
5
16
m   là giá trị cần tìm. 
2 BµI TO¸N PHô KH¶O S¸T HµM Sè 
D¦¥NG MINH hiÕu k – 43a 
 11 
Các ví dụ: 
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 
ax b
y
cx d



 biết tiếp tuyến 
cách đều hai điểm A và B 
Phương pháp giải: 
Để tiếp tuyến cách đều hai điểm A và B thì tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB 
hoặc tiếp tuyến song song hoặc trùng với AB 
TH1: Tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB 
1. Phương trình đường thẳng d đi qua  0 0;I x y có hệ số góc k là: 
  0 0y k x x y   
2. Điều kiện d là tiếp tuyến với đồ thị hàm số là: 
 Hệ  
 
2
0 0
'
ad bc
k y
cx d
ax b
k x x y
cx d

 



   
 có nghiệm 
Từ đó ta suy ra giá trị k và phương trình tiếp tuyến cần tìm 
TH2: Tiếp tuyến song song hoặc trùng với AB 
1. Tiếp tuyến có véctơ chỉ phương  ;B A B AAB y y x x  

  Tiếp tuyến có hệ số góc B A
B A
x x
k
y y



2. Gọi 0x là hoành độ tiếp điểm 
 Ta có: 
 
2
'
ad bc
y
cx d



  
 
0 2
0
'
ad bc
y x
cx d

 

  Ta có phương trình: 
 
2
0
B A
B A
x x ad bc
y y cx d
 

 
 Giải phương trình trên ta được 0x , từ đó suy ra tọa độ tiếp điểm và phương trình tiếp 
tuyến cần tìm. 
2 BµI TO¸N PHô KH¶O S¸T HµM Sè 
D¦¥NG MINH hiÕu k – 43a 
 12 
Ví dụ 1: Cho hàm số: 
2 1
1
x
y
x



. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp 
tuyến cách đều hai điểm  2;4A và  4; 2B   . 
Giải 
 TH1: Tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB 
 Ta có:  1;1I  
Phương trình đường thẳng d qua I có hệ số góc k là: 
  : 1 1d y k x   
  : 1d y kx k   
 Để d là tiếp tuyến với đồ thị hàm số thì 
 Hệ 
 
 
 
2
2 1
1 1
1
1
 2
1
x
kx k
x
k
x

   

 
 
 có nghiệm 
 Thế  2 vào  1 ta có: 
    
 
 
2 1 1
1 1 . 1 2 1 1 1 1 3
1 1 2
x
x x x x
x x

          
 
 Thế  3 vào  2 ta có: 
 
2
1 1
41
k
x
 

  phương trình tiếp tuyến là: 
1 5
: 
4 4
d y x  
 TH2: Tiếp tuyến song song hoặc trùng với AB 
 Tiếp tuyến có vectơ chỉ phương  6; 6AB   

  tiếp tuyến có hệ số góc 1k  
 Gọi 0x là hoành độ tiếp điểm 
 Ta có: 
 
2
1
'
1
y
x


   
 
0 2
0
1
'
1
y x
x


  Ta có phương trình: 
 
0 0
2
0 00
0 11
1
2 31
x y
x yx
  
  
    
2 BµI TO¸N PHô KH¶O S¸T HµM Sè 
D¦¥NG MINH hiÕu k – 43a 
 13 
  phương trình tiếp tuyến là: 
: 1
: 5
d y x
d y x
 
  
 Vậy, có ba tiếp tuyến thỏa mãn đề ra : 
: 1
1 5
: 
4 4
: 5
d y x
d y x
d y x
 

  

   
Ví dụ 2: Cho hàm số: 
5 4
4 2
x
y
x



. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết 
tiếp tuyến cách đều hai điểm    4; 1 ; 0;5A B . 
Giải 
TH1: Tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB 
 Ta có:  2;2I 
Phương trình đường thẳng d qua I có hệ số góc k là: 
  : 2 2d y k x   
  : 2 2d y kx k   
Để d là tiếp tuyến với đồ thị hàm số thì: 
 Hệ 
 
 
 
2
5 4
2 2 1
4 2
3
 2
2 2 1
x
kx k
x
k
x

   
 
 
 
 có nghiệm 
 Thế  2 vào  1 ta có: 
  
 
 
    
2
2
3 25 4
1 2 5 4 2 1 3 6 4 2 1
4 2 2 2 1
xx
x x x x
x x
 
          
 
  26 6 0x   (Vô nghiệm) 
TH2: Tiếp tuyến song song hoặc trùng với AB 
 Tiếp tuyến có vectơ chỉ phương  4;6AB  

  tiếp tuyến có hệ số góc 
3
2
k   
 Gọi 0x là hoành độ tiếp điểm 
 Ta có: 
 
2
3
'
2 2 1
y
x



2 BµI TO¸N PHô KH¶O S¸T HµM Sè 
D¦¥NG MINH hiÕu k – 43a 
 14 
   
 
0 2
0
3
'
2 2 1
y x
x



  ta có phương trình: 
 
 
0 0
2
02
0 00
0 2
3 3
2 1 1 1
2 12 2 1
2
x y
x
x yx
  
      
    

  phương trình tiếp tuyến là: 
3
2
2
3
1
2
y x
y x

  

   

 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề ra: 
3
2
2
3
1
2
y x
y x

  

   

Ví dụ 3: Cho hàm số 
3
2
x
y
x



. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp 
tuyến cách đều hai điểm    5, 5 ;B 1;1A   . 
Giải 
TH1: Tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB 
 Ta có:  2; 2I  
Phương trình đường thẳng d qua I có hệ số góc k là: 
  : 2 2d y k x   
Để d là tiếp tuyến với đồ thị hàm số thì: 
 Hệ 
   
 
 
2
3
2 2 1
2
1
 2
2
x
k x
x
k
x

   
 
 
 
 có nghiệm 
Thế  2 vào  1 ta có: 
  
 
   
2
3 2
1 2 3 1 2 2 0 3
2 2
x x
x x x
x x
 
         
 
Thế  3 vào  2 ta có: 
 
2
1 1
42 0
k

  

2 BµI TO¸N PHô KH¶O S¸T HµM Sè 
D¦¥NG MINH hiÕu k – 43a 
 15 
 phương trình tiếp tuyến là: 
1 3
: 
4 2
d y x   
TH2: Tiếp tuyến song song hoặc trùng với AB 
 Tiếp tuyến có vectơ chỉ phương  6;6AB  

  tiếp tuyến có hệ số góc 1k   
 Gọi 0x là hoành độ tiếp điểm 
 Ta có: 
 
2
1
'
2
y
x



   
 
0 2
0
1
'
2
y x
x



  ta có phương trình: 
 
 
2 0 0
02
0 00
1 21
1 2 1
3 02
x y
x
x yx
   
      
   
  phương trình tiếp tuyến là: 
1
3
y x
y x
  
   
 Vậy, có ba tiếp tuyến thỏa mãn đề ra: 
1
1 3
4 2
3
y x
y x
y x
  

   

    
Ví dụ 4: Cho hàm số: 
1
2
x
y
x



. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp 
tuyến cách đều hai điểm    3;2 ; 3; 4A B  . 
Giải 
TH1: Tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB 
 Ta có:  0; 1I  
Phương trình đường thẳng d qua I có hệ số góc k là: 
 : 1d y kx  
Để d là tiếp tuyến với đồ thị hàm số thì: 
 Hệ 
 
 
 
2
1
1 1
2
1
 2
2
x
kx
x
k
x

  

  
 
 có nghiệm 
Thế  2 vào  1 ta có: 
2 BµI TO¸N PHô KH¶O S¸T HµM Sè 
D¦¥NG MINH hiÕu k – 43a 
 16 
  
 
    
2 2
2
1
1 1 1 2 2 2 6 6 0
2 2
x x
x x x x x x
x x

              
 
 (vô nghiệm) 
TH2: Tiếp tuyến song song hoặc trùng với AB 
 Tiếp tuyến có vectơ chỉ phương  6; 6AB  

 tiếp tuyến có hệ số góc 1k   
 Gọi 0x là hoành độ tiếp điểm 
 Ta có: 
 
2
1
'
2
y
x



   
 
0 2
0
1
'
2
y x
x



 ta có phương trình: 
 
 
2 0 0
02
0 00
1 01
1 2 1
3 22
x y
x
x yx
  
      
   
 phương trình tiếp tuyến là: 
1
1
y x
y x
  
   
 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề ra: 
1
1
y x
y x
  
   
. 
Ví dụ 5: Cho hàm số: 
1
2
x
y
x



. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp 
tuyến cách đều hai điểm    3;2 ; 1; 4A B   . 
Giải 
 TH1: Tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB 
 Ta có:  2;1I  
Phương trình đường thẳng d qua I có hệ số góc k là: 
   : 2 1d y k x   
Để d là tiếp tuyến với đồ thị hàm số thì: 
 Hệ: 
   
 
 
2
1
2 1 1
2
3
 2
2
x
k x
x
k
x

   
 
 
 
 có nghiệm 
Thế  2 vào  1 ta có: 
  
 
 
        
2
2
3 21
1 1 1 2 3 2 2 0 3
2 2
xx
x x x x x
x x
 
            
 
2 BµI TO¸N PHô KH¶O S¸T HµM Sè 
D¦¥NG MINH hiÕu k – 43a 
 17 
Thế  3 vào  2 ta có: 
 
2
3 3
42
k
x

  

 phương trình tiếp tuyến là: 
3 1
4 2
y x   
 TH2: Tiếp tuyến song song hoặc trùng với AB 
Tiếp tuyến có vectơ chỉ phương  2; 6AB  

 tiếp tuyến có hệ số góc 3k   
 Gọi 0x là hoành độ tiếp điểm 
 Ta có: 
 
2
3
'
2
y
x



  
 
0 2
0
3
'
2
y x
x

 

 ta có phương trình: 
 
 
2 0 0
02
0 00
3 43
3 2 1
1 22
x y
x
x yx
  
      
    
 phương trình tiếp tuyến là: 
3 13
3 1
y x
y x
  
   
 Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn đề ra: 
3 13
3 1
4 2
3 1
y x
y x
y x
  

   

   
Ví dụ 6: Cho hàm số: 
1
2 5
x
y
x



. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết 
tiếp tuyến cách đều hai điểm    0;3 ; 2; 3A B  . 
Giải 
 TH1: Tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB 
 Ta có:  1;0I 
Phương trình đường thẳng d qua I có hệ số góc k là: 
  : 1d y k x  
Để d là tiếp tuyến với đồ thị hàm số thì: 
2 BµI TO¸N PHô KH¶O S¸T HµM Sè 
D¦¥NG MINH hiÕu k – 43a 
 18 
 Hệ 
   
 
 
2
1
1 1
2 5
3
 2
2 5
x
k x
x
k
x

  

  
 
 có nghiệm 
Thế  2 vào  1 ta có: 
 
 
 
         
2
3 11
1 1 2x 5 3 1 1 2x 2 0 1 3
2x 5 2x 5
xx
x x x x
 
             
 
 Thế  3 vào  2 ta có: 
 
2
3 1
32 5
k
x
   

  phương trình tiếp tuyến là: 
1 1
3 3
y x   
 TH2: Tiếp tuyến song song hoặc trùng với AB 
Tiếp tuyến có vectơ chỉ phương  2; 6AB  

 tiếp tuyến có hệ số góc 3k   
 Gọi 0x là hoành độ tiếp điểm 
 Ta có: 
 
2
3
'
2 5
y
x
 

   
 
0 2
0
3
'
2 5
y x
x
 

 ta có phương trình: 
 
 
2 0 0
02
0 00
3 23
3 2 5 1
2 12 5
x y
x
x yx
  
       
    
 phương trình tiếp tuyến là: 
3 11
3x 5
y x
y
  
   
 Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn đề ra: 
3 11
1 1
3 3
3x 5
y x
y x
y
  

   

   
Ví dụ 7: Cho hàm số: 
2 3
2
x
y
x



. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết 
tiếp tuyến cách đều hai điểm    3;1 ; 3; 5A B  . 
Giải 
2 BµI TO¸N PHô KH¶O S¸T HµM Sè 
D¦¥NG MINH hiÕu k – 43a 
 19 
 TH1: Tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB 
 Ta có:  0; 2I  
Phương trình đường thẳng d qua I có hệ số góc k là: 
 : 2d y kx  
Để d là tiếp tuyến với đồ thị hàm số thì: 
 Hệ 
 
 
 
2
2 3
2 1
2
1
 2
2
x
kx
x
k
x

  
 
 
 
 có nghiệm 
Thế  2 vào  1 ta có: 
  
 
    
2
2
2 3
1 2 2 3 2 2 2
2 2
x x
x x x x
x x
 
         
 
24 14 14 0x x    (vô nghiệm) 
 TH2: Tiếp tuyến song song hoặc trùng với AB 
Tiếp tuyến có vectơ chỉ phương  6; 6AB  

 tiếp tuyến có hệ số góc 1k   
 Gọi 0x là hoành độ tiếp điểm 
   
 
0 2
0
1
'
2
y x
x



  ta có phương trình: 
 
 
2 0 0
02
0 00
3 31
1 2 1
1 12
x y
x
x yx
  
      
   
 phương trình tiếp tuyến là: 
3 12
3 4
y x
y x
  
   
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề ra: 
3 12
3 4
y x
y x
  
   
. 
Ví dụ 8: Cho hàm số: 
2 3
1
x
y
x



. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết 
tiếp tuyến cách đều hai điểm    2;5 ; 0;3A B . 
Giải 
 TH1: Tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB 
 Ta có:  1;4I 
Phương trình đường thẳng d qua I có hệ số góc k là: 
  : 1 4d y k x   
2 BµI TO¸N PHô KH¶O S¸T HµM Sè 
D¦¥NG MINH hiÕu k – 4