Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng (điểm & vectơ)

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
(ĐIỂM & VECTƠ)
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 
I. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho u=u1;u2,v=v1;v2. Ta có:
1. u=u1;u2⇔u=u1.i+u2.j
2. u=v⇔u1=v1u2=v2
3. u+v=u1+v1;u2+v2
4. ku=ku1;ku2, ∀k∈R
5. u.v=u1.v1+u2.v2
6. u=u12+u22
7. cosu,v=u.vuv=u1.v1+u2.v2u12+u22v12+v22
8. u⊥v⇔u.v=0⇔u1.v1+u2.v2=0
9. u cùng phương v⇔∃k∈R:u=kv⇔u1v1=u2v2 v1,v2≠0
II. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho AxA;yA,BxB;yB,CxC;yC. Ta có:
1. AB=xB-xA;yB-yA
2. AB=xB-xA2+yB-yA2
3. M là trung điểm đoạn AB⇔MxA+xB2;yA+yB2
4. G là trọng tâm ∆ABC⇔GxA+xB+xC3;yA+yB+yC3
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: 
(Nếu không chú thích gì ta hiểu là các bài tập cho trên mặt phẳng toạ độ Oxy)
Dạng 1: Tọa độ của điểm, của vectơ 
Phương pháp: Tìm tọa độ của vectơ u=x;y hay điểm Mx;y
* Tìm một hệ thức vectơ có chứa u hay M
* Lập hệ phương trình để tìm x,y hoặc dùng định nghĩa để suy ra x,y
Bài tập:
Bài 1.1: Viết tọa độ của các vectơ sau:
a=2i+3j
b=3i
c=-2j
d=0,2i+3j
ĐS:a=2;3,b=3;0,c=0;-2,d=0,2;3
Bài 1.2: Viết vectơ u=xi+yj khi biết tọa độ của u là:
2;-3
2;0
0;-1
0;0
ĐS: u=2i-3j,u=2i,u=-j,u=0
Bài 1.3: Cho a=2;-1,b=3;0,c=-1;2. Tìm tọa độ của các vectơ:
x=2a-3b+c
y=-a+2b-3c
u sao cho 3a-u=-2b+4c
v sao cho 2v+a=3b-5c
ĐS: x=-6;0,y=11;-7,u=16;-11,v=6;-92
Bài 1.4: Cho a=2;-2,b=1;4,c=5;0,d=-3;-1.
Tìm các số h và k sao cho c=ha+kb
Hãy phân tích vectơ a theo hai vectơ b,d
ĐS: c=2a+b,a=-811b-1011d
Bài 1.5: Cho A1;-2,B0;4,C3;2. 
Tìm điểm D để CD=2AB-3AC
Tìm điểm E đối xứng với A qua B
HD:2. B trung điểm đoạn AE	 ĐS: D-5;2,E-2;-4
Dạng 2: Vectơ cùng phương – Ba điểm thẳng hàng – Hai đường thẳng song song
Phương pháp: Dùng các mệnh đề
*u=u1;u2 cùng phương v=v1;v2⇔∃k∈R:u=kv⇔u1v1=u2v2 v1,v2≠0
* A,B,C thẳng hàng ⇔AB cùng phương AC
* AB∥BC⇔AB cùng phương BCA,B,C không thẳng hàng⇔AB cùng phương BCAB không cùng phương AC
* ABCD là hình bình hành ⇔AB=DC
Bài tập:
Bài 2.1: Tìm x để các cặp vectơ sau cùng phương
a=2;3,b=4;x
u=0;5,v=x;7
m=x;-3,n=-2;2x
ĐS:1.x=6, 2.x=0, 3.x=±3 
Bài 2.2: Xét xem các cặp vectơ sau có cùng phương không? Nếu có thì xét xem chúng cùng hướng hay ngược hướng?
a=2;3,b=-10;-15
u=0;7,v=0;8
m=3;4,n=6;9
p=0;5,q=3;0
ĐS: a,b ngược hướng ;u,v cùng hướng;m,n không cùng phương;p,q không cùng phương
Bài 2.3: Cho A-1;1,B1;3,C-2;0. Chứng minh A,B,C thẳng hàng
HD:Chứng minh AB,AC không cùng phương
Bài 2.4: Tìm m để K2;-1,L4;5.
K,L,Mm-1;m+2 thẳng hàng
C-7;m thuộc đường thẳng KL
HD:1. KL,KM cùng phương,2.KL,KC cùng phương	 ĐS: 1.m=4, 2.m=-28
Bài 2.5: Cho A-1;3,B2;4,C0;1
Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
Tìm tọa độ điểm E thuộc Ox để A,B,E thẳng hàng
Tìm tọa độ điểm F thuộc Oy để AF,BC cùng phương
Cho H1;4. Chứng minh AC∥BH
HD:1. AB,AC không cùng phương 2.AB=DC, 3. ExE;0, 4. F0;yF5. AC cùng phương BHAC không cùng phương AB ĐS: 2.D1;6 3.E-10;0 4. F0;92
Dạng 3: Tích vô hướng , góc giữa hai vectơ - Hai đường thẳng vuông góc
Xác định dạng tam giác – Chu vi – Diện tích 
Phương pháp: Sử dụng các công thức với u=u1;u2, v=v1;v2
* u.v=u1.v1+u2.v2
* cosu,v=u.vuv=u1.v1+u2.v2u12+u22v12+v22
* u⊥v⇔u.v=0⇔u1.v1+u2.v2=0
với AxA;yA,BxB;yB
	* AB=xB-xA;yB-yA
* AB=xB-xA2+yB-yA2
* ∆ABC vuông cân tại A⇔AB⊥ACAB=AC⇔AB.AC=0AB=AC
* ABCD là hình vuông ⇔AB=CDAB⊥CBAB=AD⇔AB=CDAB.CB=0AB=AD
Bài tập:
Bài 3.1: Cho a=5;2,b=7;-3.
Tìm x thoả a.x=38 và b.x=30.
Tính a,b
ĐS: x=6;4; a,b=45°
Bài 3.2: Cho ∆ABC có A1;-1,B5;1,C3;3
Tính cosBC,BA và góc A
Tính chu vi ∆ABC
HD:1.A=AB,AC 2.P∆ABC=AB+AC+BC ĐS: 1.cosBC,BA=1010,A≈36°52° 2.P∆ABC=45+22 
Bài 3.3: Cho A7;-3,B8;4,C1;5,D0;-2. 
Chứng minh AB⊥CB
Chứng minh tứ giác ABCD là hình vuông
Tính chu vi hình vuông ABCD
Tính diện tích hình vuông ABCD
HD:1.AB.CB=0, 2.AB=CDAB.CB=0AB=AD 3.PABCD=4.AB, 4. SABCD=AB.AC ĐS: 3.PABCD=52 4.P∆ABC=502
Bài 3.4: ChoA-3;2,B4;3. 
Tìm điểm M trên trục Ox sao cho ∆MAB vuông tại M
Tìm B sao cho ∆OAB vuông cân tại A
Tính chu vi và diện tích ∆OAB và ∆MAB
HD:1.MA.MB=0, 2.AO.AB=0AO=AB 3.S∆MAB=12MA.MB, 4. S∆OAB=120A.0B ĐS: 1.M-2;0, 2.B-2;-5 3.P∆MAB=45+52, S∆MAB=52P∆OAB=213+52, S∆OAB=132
Bài 3.5: Nhận dạng ∆ABC, biết:	
A-2; 2, B6; 6, C2; -2 
A-2; 8, B-6; 1, C0; 4
A-4; 2, B0; -1, C3; 3
A-1; 0,B3; 0 ,C1; 23
ĐS: 1.∆ cân tại B; 2. ∆ cân tại B , 3. ∆ vuông cân tại B , 4.∆ đều
Dạng 4: Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng – Chân đường cao trong tam giác
Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác 
Phương pháp: Cho ∆ABC với AxA;yA,BxB;yB,CxC;yC.
* M là trung điểm đoạn AB⇔MxA+xB2;yA+yB2
* G là trọng tâm ∆ABCGxA+xB+xC3;yA+yB+yC3
* K là chân đường cao vẽ từ A ⇔AK⊥BCK,B,C thẳng hàng⇔AK.BC=0BK cùng phương BC
* H là trực tâm ∆ABC⇔AH⊥BCBH⊥AC⇔AH.BC=0BH.AC=0
* I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC⇔IA=IB=IC⇔IA2=IB2IA2=IC2
hay với M trung điểm AB,N trung điểm AC thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC⇔MI⊥ABNI⊥AC⇔MI.AB=0NI.AC=0 
Bài tập:
Bài 4.1: Cho ∆ABC có A-1;2,B5;2,C3;0. Tìm tọa độ của:
Trọng tâm G của ∆ABC
Tâm đường tròn ngoại tiếp I của ∆ABC
Chân đường cao A' vẽ từ A
Trực tâm H của ∆ABC
ĐS: 1.G73;43; 2. I2;3; 3. A'2;-1; 4.H3;-2
Bài 4.2: Cho A-2; 1, B2; 0, C3;4	
Tìm trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC	
Chứng minh 3 điểm G, H, I thẳng hàng 
ĐS: 1.G73;53; I12;52; H2;0
Bài 4.3: Cho ∆ABC với M-1; -1, N1; 9, P9; 1 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AC, AB. Tìm toạ độ của A, B, C.
ĐS: A11;11; I7;-9; H-9;7
Bài 4.4: Cho ∆ABC với A1; -1, B3; -3, C∈Oy. Xác định toạ độ điểm C, biết rằng ∆ABC có trọng tâm thuộc trục Ox
ĐS: C-4;0
Bài 4.5: Cho ∆ABC có các đỉnh A-1; 0, B4; 0, C0; m với m≠0. Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ABC theo m. Xác định m để ∆GAB vuông tại G.
ĐS: G1;m3;m=36