Ôn tập Đại số 10 - Chủ đề: Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình Đại số - Lê Văn Đoàn

F – GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ



I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Định lí 1. Nếu hàm số y f x = ( ) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì

số nghiệm trên D của phương trình f x a ( )= không nhiều hơn một và

= = u,v D : f u f v u v ( ) ( ) .

 Định lí 2. Nếu hàm số f x ( ) và g x ( ) đơn điệu ngược chiều và liên tục trên D thì số nghiệm

trên D của phương trình f x g x ( )= ( ) không nhiều hơn một.

 Định lí 3. Nếu hàm số f x ( ) luôn đồng biến trên D thì f x f a x a , x,a D ( )> > ∈ ( ) . Nếu

hàm số f x ( ) luôn nghịch biến trên D thì f x f a x a , x,a D ( )> < ( ) .

Lưu ý:

Vận dụng linh hoạt các định lí trên, từ một phương trình ẩn x, ta sẽ đưa hai vế về

dạng f g x f k x             ( ) = ( ) (chẳng hạn như f x 5 f 2x x 5 2x ( + = + = ) ( ) ) với f t ( )

là một hàm đơn điệu đặc trưng trên miền D đang xét. Thông thường có thể dự đoán được

h x ( ) và bậc của g x , ( ) từ đó đồng nhất hệ số để tìm g x ( ).

Một số phương pháp đồng nhất thường gặp để biến đổi f g x f k x             ( ) = ( ) :

pdf253 trang | Chia sẻ: xuannguyen98 | Ngày: 23/12/2020 | Lượt xem: 20 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Ôn tập Đại số 10 - Chủ đề: Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình Đại số - Lê Văn Đoàn, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ương trình ( )3 có ( )
VT 0
3
VP 0
 > ⇒
 =
 vô nghiệm với 1t 0;
2
  ∈  
. 
● Với 1t ;1 ,
2
 
 ∈
 
 
 bình phương hai vế ( )3 ta được: ( ) ( )
2
43 2 2 t 4t 2t 1⇔ + = − 
( ) ( ) 
2
31 1 2t 2t 1 4
t t
⇔ + = − (chia hai vế cho t 0≠ ). 
● Nhận thấy t 1= là một nghiệm của ( )4 . 
Xét hàm số ( )
1 1
f t
t t
= + trên đoạn 1 ;1
2
 
 
 
 
. 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
www.mathvn.com Page - 123 - dethithudaihoc.com 
( ) ( ) 2
1 1 1
f ' t 0, t ;1 f t :
2t 2 t
 
 = − + < ∀ ∈ ⇒
 
 
 nghịch biến trên 1 ;1
2
 
 
 
 
. 
Xét hàm số ( ) ( )
2
3g t 2t 2t 1= − trên đoạn 1 ;1
2
 
 
 
 
. 
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 3 1g ' t 6t 2t 1 4t 2t 1 0, t ;1 f t :
2
 
 = − + − > ∀ ∈ ⇒
 
 
 đồng biến trên 1 ;1
2
 
 
 
 
. 
● Vậy t 1= là nghiệm duy nhất của ( ) ( )
2 x 0
4 t x 1 1
x 2
 =⇒ = − = ⇔  =
. 
● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x 0 x 2= ∨ = . 
Thí dụ 121. Giải phương trình: ( ) 33x 1 2 2x 1+ = − ∗ 
Bài giải tham khảo 
Nhận xét: Đây là dạng 1 cơ bản mà được trình bày trong phần lí thuyết (xem cách biến đổi). 
( ) 33x 2x 2x 1 2 2x 1∗ ⇔ + = − + − 
( ) 
3
3 33x 2x 2x 1 2 2x 1⇔ + = − + − 
( ) ( ) ( ) 3f x f 2x 1 1⇔ = − và hàm đặc trưng có dạng: ( ) 3f t t 2t= + . 
● Xét hàm số ( ) 3f t t 2t= + liên tục trên ℝ . 
( ) ( ) 2f ' t 3t 2 0, t f t= + > ∀ ∈ ⇒ℝ đồng biến trên ( ) 2ℝ 
● Từ ( ) ( ) ( ) ( )3 31 , 2 f x f 2x 1 x 2x 1⇒ = − ⇔ = − 
3x 2x 1⇔ = + 
( )( ) 2x 1 x x 1 0⇔ − + − = 
1 5
x 1 x
2
− ±
⇔ = ∨ = . 
 Lưu ý: Ta có thể giải bài toán bằng cách đặt 3y 2x 1= − để đưa về hệ đối xứng loại II dạng 
3
3
y 2x 1
x 2y 1
 = −

 = −
 mà đã trình bày ở phương pháp giải bằng cách đặt ẩn phụ ở trên. 
Thí dụ 122. Giải phương trình: ( ) 33 28x 36x 53x 25 3x 5− + − = − ∗ 
Nhận xét: Ta cần đưa hai vế phương trình về dạng ( ) ( )f g x f h x   =       trong đó hàm đặc 
trưng có dạng ( ) 3f t mt nt= + . Ta cần đồng nhất sao cho biểu thức bên vế phải 
có dạng: ( )
3
3 3m 3x 5 n 3x 5− + − và so với vế phải PT nên ta chọn n 1= . 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
www.mathvn.com Page - 124 - dethithudaihoc.com 
Công việc còn lại là tìm những hạng tử ở vế trái sao cho 
( ) ( ) ( )
33
3 3m px u px u m 3x 5 3x 5+ + + = − + − . Dễ thấy ( )
3
32x 8x= nên 
3mp 8= có các trường hợp sau xảy ra 
m 1, p 2
m 8, p 1
 = =
 = =
. 
Nếu m 1, p 2= = thì ( ) 3f t t t= + . Do đó, cần viết phương trình về dạng: 
( ) ( ) ( )
33
3 3m px u px u m 3x 5 3x 5+ + + = − + − 
( ) ( )
3 32x u 2x u 3x 5 3x 5⇔ + + + = − + − 
( ) ( ) 33 2 2 38x 12u x 6u 1 x u u 5 3x 5⇔ + + − + + + = − 
Đồng nhất hệ số với vế trái của phương trình, ta được hệ: 
2
3
12u 36
6u 1 53 u 3
u u 5 15
 = − − = ⇔ = −
 + + = −
. Do trường hợp m 1, p 2= = cho kết quả nên 
ta không xét trường hợp kế tiếp ( ) m 8, p 1= = . Nên ta có lời giải sau: 
Bài giải tham khảo 
( ) ( ) ( ) ( )
33
3 32x 3 2x 3 3x 5 3x 5∗ ⇔ − + − = − + − 
( ) ( ) ( ) 3f 2x 3 f 3x 5 1⇔ − = − và có hàm đặc trưng là ( ) 3f t t t= + . 
● Xét hàm số ( ) 3f t t t= + liên tục và xác định trên ℝ . 
( ) ( )2f ' t 3t 1 0, t t t= + > ∀ ∈ ⇒ℝ đồng biến trên ( ) 2ℝ 
● Từ ( ) ( ) ( ) ( )3 31 , 2 f 2x 3 f 3x 5 2x 3 3x 5⇒ − = − ⇔ − = − 
3 28x 36x 51x 22 0⇔ − + − = 
( )( ) 2 5 3x 2 8x 20x 11 0 x 2 x
4
±
⇔ − − + = ⇔ = ∨ = . 
Thí dụ 123. Giải phương trình: ( ) 33 2x 15x 78x 141 5 2x 9− + − = − ∗ 
Nhận xét: Như các thí dụ trên, ta cần phân tích phương trình ( )∗ thành dạng 
( ) ( ) ( ) ( ) 
33
3 3m px u 5 px u m 2x 9 5 2x 9 1+ + + = − + − với hàm đặc 
trưng: ( ) 3f t mt 5t= + . 
Do sau khi khai triễn ( )
3
m px u+ có hạng tử ( )3 3 3mp x x∼ trong ( )∗ 
3mp 1⇒ = nên có thể chọn m p 1= = . Lúc này: 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
www.mathvn.com Page - 125 - dethithudaihoc.com 
( ) ( ) ( ) ( ) 
3 31 x u 5 x u 2x 9 5 2x 9 2⇔ + + + = − + − 
Trong khai triễn ( )
3
x u+ có hạng tử ( ) 2 23u x 15x−∼ u 5⇒ =− . 
Lúc này: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
33
3 32 x 5 5 x 5 2x 9 5 2x 9 3⇔ − + − = − + − 
Khai triễn ( )3 thì được phương trình ( )∗ nên giá trị m p 1= = là đúng hướng. 
Bài giải tham khảo 
( ) ( ) ( ) ( )
33
3 3x 5 5 x 5 2x 9 5 2x 9∗ ⇔ − + − = − + − 
( ) ( ) ( ) 3f x 5 f 2x 9 1⇔ − = − với hàm đặc trưng ( ) 3f t t 5t= + . 
● Xét hàm số ( ) 3f t t 5t= + trên ℝ , có ( ) 2f ' t 3t 5 0, t= + > ∀ ∈ ℝ ( )f t⇒ đồng biến 
trên ℝ ( )2 
● Từ ( ) ( ) ( ) ( )3 31 , 2 f x 5 f 2x 9 x 5 2x 9⇒ − = − ⇔ − = − 
3 2x 15x 75x 125 2x 9⇔ − + − = − 
3 2x 15x 73x 116 0⇔ − + − = 
( )( ) 2 11 5x 4 x 11x 29 0 x 4 x
2
±
⇔ − − + = ⇔ = ∨ = . 
Thí dụ 124. Giải phương trình: ( ) 3 2 3 23x 6x 12x 7 x 9x 19x 11− + − = − + − + ∗ 
Đề nghị Olympic 30/04/2009 
Nhận xét: 
Cũng giống như nhận xét trên, ta cần đưa phương trình về dạng: 
( ) ( ) ( )
3
3 2 3 23m px u px u m x 9x 19x 11 x 9x 19x 11+ + + = − + − + + − + − + 
( ) ( ) ( )3 3 2 2 2 3mp m x 3mup 9m x 3u mp p 19m x mu u 11m⇔ + + − + + + + + − 
3 23 x 9x 19x 11= − + − + 
Đồng nhất vế trái với ( )∗ ta được hệ: 
3
2
2
3
mp m 1 p 1
3mup 9m 6 1
m
3u mp p 19m 12 2
u 1
mu u 11m 7
 + =  =   − = −  ⇔ = 
 + + =   = − + − = − 
. 
Bài giải tham khảo 
( ) ( ) ( ) ( )
33
3 2 3 23 31 1x 1 x 1 x 9x 19x 11 x 9x 19x 11
2 2
∗ ⇔ − + − = − + − + + − + − +
( ) ( ) ( ) 3 23f x 1 f x 9x 19x 11 1⇔ − = − + − + và có hàm đặc trưng ( ) 31f t t t
2
= + . 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
www.mathvn.com Page - 126 - dethithudaihoc.com 
● Xét hàm số ( ) 31f t t t
2
= + xác định và liên tục trên ℝ . 
( ) ( ) 23f ' t t 1 0, t f t
2
= + > ∀ ∈ ⇒ℝ
 đồng biến trên ( ) 2ℝ 
( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 23 31 , 2 f x 1 f x 9x 19x 11 x 1 x 9x 19x 11⇒ − = − + − + ⇔ − = − + − + 
( ) 
3
3 2x 1 x 9x 19x 11 0 x 1 x 2 x 3⇔ − =− + − + = ⇔ = ∨ = ∨ = . 
Thí dụ 125. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 22x x 3x 1 2 3x 1 3x 1+ − + = − − ∗ 
Nhận xét: Thoạt nhìn thì vế trái có bậc 3, vế phải có bậc 3
2
 nên khó có thể dùng đơn điệu. 
Nhưng nếu ở vế phải ta xem y 3x 1= − thì vế phải cũng là bậc ba theo y, 
cũng đồng nghĩa ta phân tích ( ) ( )
3
2 3x 1 3x 1 2 3x 1− − = − . Phân tích 
tương tự như các thí dụ trên ta có lời giải sau: 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: 1x
3
> . 
( ) ( ) ( )
3 2
3 22x x 2 3x 1 3x 1∗ ⇔ + = − + − 
( ) ( ) ( ) f x f 3x 1 1⇔ = − và hàm đặc trưng có dạng: ( ) 3 2f t 2t t= + . 
● Xét hàm số ( ) 3 2f t 2t t= + liên tục trên khoảng( )0;+∞ . 
( ) ( )2f ' t 6t 2t 0, t 0;= + > ∀ ∈ +∞ ⇒ Hàm số ( )f t đồng biến trên ( ) ( ) 0; 2+∞ 
● Từ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 51 , 2 f x f 3x 1 x 3x 1 x 3x 1 x
2
±
⇒ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = . 
● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là 3 5x
2
±
= . 
Thí dụ 126. Giải bất phương trình: ( ) x 1 3 x 4+ > − + ∗ 
Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 1999 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: x 1≥− . 
( ) ( ) x 1 x 4 3∗ ⇔ + + + > ∗ ∗ 
● Xét hàm số ( )f x x 1 x 4= + + + trên nửa khoảng )1;− +∞ . 
( ) ) ( ) 
1 1
f ' x 0, x 1; f x
2 x 1 2 x 4
= + > ∀ ∈ − +∞ ⇒
+ +
 tăng trên )1;− +∞ . 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
www.mathvn.com Page - 127 - dethithudaihoc.com 
Khi x 0= thì ( )f x 3= . 
● Vậy phương trình ( ) ( )f x f 0 3 x 0⇔ > = ⇔ > . 
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( )S 0;= +∞ . 
 Lưu ý: Học sinh có thể giải ( )∗ ∗ bằng cách bình phương hai vế, đưa về bất phương trình căn 
cơ bản A B,> vẫn ra được kết quả như trên nhưng tương đối dài. 
Thí dụ 127. Giải bất phương trình: ( ) 5x 1 x 3 4 1− + + ≥ 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: 1x
5
≥ . 
● Xét hàm số: y 5x 1 x 3= − + + liên tục trên nửa khoảng 1 ;
5
  +∞ 
. 
( ) 
5 1 1
f ' x 0; x
52 5x 1 2 x 3
= + > ∀ >
− +
( )f x⇒ là đồng biến trên
1
;
5
  +∞ 
. 
● Mặt khác: ( )f 1 4= . Khi đó bất phương trình ( )1 đã cho ( ) ( )f x f 1 x 1⇔ ≥ ⇔ ≥ . 
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là )x 1;∈ +∞ . 
Thí dụ 128. Giải bất phương trình: ( ) 
5
3 3 2x 2x 6 1
2x 1
− + − ≤
−
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: 1 3x
2 2
< ≤ . 
● Bất phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 
5
1 3 3 2x 2x 6 f x g x
2x 1
⇔ − + ≤ + ⇔ ≤ ∗
−
● Xét hàm số: ( )
5
f x 3 3 2x
2x 1
= − +
−
 liên tục trên nửa khoảng 1 3;
2 2
 
   
. 
( )
( )
3
3 5 1 3
f ' x 0; x ;
2 23 2x 2x 1
 −  = − < ∀ ∈  − −
( )f x⇒ nghịch biến trên 1 3;
2 2
 
   
. 
● Hàm số ( )g x 2x 6= + là hàm số đồng biến trên ℝ và ( ) ( )f 1 g 1 8= = . 
Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 f x g 1 8 g 1 g x> ⇒ < = = < ⇒ ∗ đúng. 
Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 f x f 1 8 g 1 g x = = > ⇒ ∗ vô nghiệm. 
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là 3x 1;
2
 
 ∈
 
 
. 
x 1⇒ > 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
www.mathvn.com Page - 128 - dethithudaihoc.com 
Thí dụ 129. Giải bất phương trình: ( ) ( ) 38x 2x x 2 x 1+ < + + ∗ 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: x 1≥− . 
( ) ( ) ( )
3
2x 2x x 1 1 x 1 ∗ ⇔ + < + + +  
( ) ( ) 
3
2x 2x x 1 x 1 x 1⇔ + < + + + + 
( ) ( ) 
33
2x 2x x 1 x 1⇔ + < + + + 
( ) ( ) ( ) f 2x f x 1 1⇔ < + với hàm đặc trưng là ( ) 3f t t t= + . 
● Xét hàm số ( ) 3f t t t= + trên ℝ . 
( ) ( ) 2f ' t 3t 1 0, t f t= + > ∀ ∈ ⇒ℝ đồng biến trên ( ) 2ℝ 
● Từ ( ) ( ) ( ) ( )1 , 2 f 2x f x 1 2x x 1⇒ 
 2
2x 0x 1 0
2x 0 x 1 4x
  ≥+ ≥ ⇔ ∨ 
   
1 17
1 x 0 0 x
8
+
⇔ − ≤ < ∨ ≤ < 
1 17
1 x
8
+
⇔ − ≤ < . 
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 17x 1;
8
 +  ∈ −   
. 
Thí dụ 130. Giải bất phương trình: ( ) 3 22x 3x 6x 16 2 3 4 x 1+ + + < + − 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: 2 x 4− ≤ ≤ . 
● Lúc đó: ( ) ( ) ( ) 3 21 2x 3x 6x 16 4 x 2 3 f x 2 3 2⇔ + + + − − < ⇔ < 
● Xét hàm số: ( ) 3 2f x 2x 3x 6x 16 4 x= + + + − − liên tục trên đoạn 2;4 −   . 
( )
( )
( ) 
2
3 2
3 x x 1 1
f ' x 0, x 2;4
2 4 x2x 3x 6x 16
+ +
= + > ∀ ∈ −
−+ + +
( )f x⇒ đồng biến trên ( )2;4− và có ( )f 1 2 3= nên ( ) ( ) ( )2 f x f 1 x 1⇔ < ⇔ < . 
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là )x 2;1∈ − . 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
www.mathvn.com Page - 129 - dethithudaihoc.com 
Thí dụ 131. Giải bất PT: ( )( ) ( )( ) ( ) x 2 2x 1 3 x 6 4 x 6 2x 1 3 x 2 1+ − − + ≤ − + − + + 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: 1x
2
≥ . 
● Khi đó, phương trình: ( ) ( )( ) ( ) 1 x 2 x 6 2x 1 3 4 2⇔ + + + − − ≤ 
● Với ( )2x 1 3 0 x 5 2 :− − ≤ ⇔ ≤ ⇒ luôn đúng. 
● Với x 5> : 
Xét hàm số: ( ) ( )( )f x x 2 x 6 2x 1 3= + + + − − liên tục trên khoảng ( )5;+∞ . 
( ) ( ) 1 1 x 2 x 6f ' x 2x 1 3 0; x 5
2 x 2 2 x 6 2x 1
  + + + = + − − + > ∀ >  + + −
( )f x⇒ luôn đồng biến trên khoảng ( )5;+∞ và có ( )f 7 4= . 
 Do đó: ( ) ( ) ( )2 f x f 7 x 7⇔ ≤ ⇔ ≤ . 
● Kết hợp với điều kiên, tập nghiệm bất phương trình là 1x ;7
2
 
 ∈
 
 
. 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 
Bài tập 441. Giải phương trình: 2x x 1 5+ − = . 
ĐS: x 2= . 
Bài tập 442. Giải phương trình: x 1 x 2 3− + + = . 
ĐS: x 2= . 
Bài tập 443. Giải phương trình: x x 5 x 7 x 16 14+ − + + + + = . 
ĐS: x 9= . 
Bài tập 444. Giải phương trình: 5 5 5x 1 x 2 x 3 0+ + + + + = . 
ĐS: x 2= − . 
Bài tập 445. Giải phương trình: 3x 1 x 7x 2 4+ + + + = . 
ĐS: x 1= . 
Bài tập 446. Giải phương trình: 335x 1 2x 1 x 4− + − + = . 
ĐS: x 1= . 
Bài tập 447. Giải phương trình: 22x 1 x 3 4 x− + + = − . 
ĐS: x 1= . 
Bài tập 448. Giải phương trình: 5x 1 2 4 x 5x 10 61 4x+ + − + + = − . 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
www.mathvn.com Page - 130 - dethithudaihoc.com 
ĐS: x 1= . 
Bài tập 449. Giải phương trình: 22 x 1 3 5 x 3x 71 30x− + − + + = . 
ĐS: x 5= . 
Bài tập 450. Giải phương trình: 23x 1 6 x 3x 14x 8 0+ − − + − − = . 
Đại học khối B năm 2010 
ĐS: x 5= . 
Bài tập 451. Giải phương trình: 32 233 3x 2 x 1 2x 1 2x+ + + = + + . 
ĐS: 1x 1 x
2
= ∨ =− . 
Bài tập 452. Giải phương trình: ( )34x x x 1 2x 1 0+ − + + = 
Cao đẳng khối A, A1, B, D năm 2012 
ĐS: 1 5x
4
+
= . 
Bài tập 453. Giải phương trình: ( ) ( )2x 4x 1 x 3 5 2x 0+ + − − = . 
Đề thi thử Đại học 2013 lần 1 khối A – THPT Tuy Phước 
HD: ( ) ( )2 1 21PT 2x 4x 1 5 2x 1 5 2x x
4
− + ⇔ + = − + − ⇒ =  
. 
Bài tập 454. Giải phương trình: 33 6x 1 8x 4x 1+ = − − . 
Đề nghị Olympic 30/04 – THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Bà Rịa Vũng Tàu 
ĐS: 5 7x cos ;cos ;cos
9 9 9
  π π π ∈  
   
. 
Bài tập 455. Giải phương trình: ( ) ( )x 3 x 1 x 3 1 x 2x 0+ + + − − + = . 
ĐS: Dạng ( ) ( )f x 1 f 1 x+ = − với hàm đặc trưng ( ) 3 2f t t t 2t x 0= + + ⇒ = . 
Bài tập 456. Giải phương trình: 3 2 3x 3x 3 3x 5 1 3x+ − + = − . 
Đề nghị Olympic 30 – 04 năm 2009 
ĐS: x 2 x 1=− ∨ = . 
Bài tập 457. Giải phương trình: 3 2 34x 18x 27x 14 4x 5+ + + = + . 
ĐS: 7 5x 1 x
4
− ±
= − ∨ = . 
Bài tập 458. Giải phương trình: ( )3 2x 3x 4x 2 3x 2 3x 1+ + + = + + . 
ĐS: x 0 x 1= ∨ = . 
Bài tập 459. Giải phương trình: 3 2 23x 4x 5x 6 7x 9x 4− − + = + − . 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
www.mathvn.com Page - 131 - dethithudaihoc.com 
HD: Đặt 23y 7x 9x 4= + − đưa về hệ, sau đó cộng lại 1 5x 5 x
2
− ±
⇒ = ∨ = . 
Bài tập 460. Giải phương trình: ( ) ( )( )2 23x 2 9x 3 4x 2 1 x x 1 0+ ++ + + + + = . 
ĐS: 1x
5
=− . 
Bài tập 461. Giải phương trình: 3 23 3x 4 x 3x x 2+ = + + − . 
HD: ( )
3
3
x 1 2cos
9
5
PT x 1 x 1 3x 4 3x 4 x 1 2cos
9
7
x 1 2 cos
9
 π = − + π⇔ + + + = + + + ⇒ = − +
 π = − +
. 
Bài tập 462. Giải phương trình: ( ) ( )2 22x 3 4x 12x 11 3x 1 9x 2 5x 3 0+ + + + + + + + = . 
ĐS: 3x
5
=−
 với hàm đặc trưng ( ) ( )2f t t 1 t 2= + + . 
Bài tập 463. Giải phương trình: 33 2 2 22x 10x 17x 8 2x 5x x− + − + = − . 
HD: Chia hai vế 3x 0≠ 
 Biến đổi về dạng : ( ) 1f t f
x
  =    
 với hàm đặc trưng: ( ) 3f t t 2t= + . 
 ĐS: 17 97x
12
±
= . 
Bài tập 464. Giải phương trình: ( )3 2 233x 6x 3x 17 3 9 3x 21x 5− − − = − + + . 
HD: Chia 3 hai vế ( )
3
3
3
2
x 2 4x x
4 1
⇒ + = ⇔ =
−
. 
Bài tập 465. Giải phương trình: 33 2 4x 2x x 2 81x 8
3
− + − = − . 
HD: 3 32 81x 8 2 81x 8f x f x
3 3 3 3
   −  − − = ⇔ − ⇔        
. 
Bài tập 466. Giải phương trình: 2 24x 1 2 x 2x 2 13+ + − + = . 
HD: x 3 2x 2PT x 1
1 1 x 1 2x 2
+ +
⇔ − = −
+ − + −
. 
 Hàm số ( )
t
f t
1 4 t
=
+ −
 đồng biến x 1⇒ = . 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
www.mathvn.com Page - 132 - dethithudaihoc.com 
Bài tập 467. Giải bất phương trình: x 9 2x 4 5+ + + > . 
ĐS: ( )x 0;∈ +∞ . 
Bài tập 468. Giải bất phương trình: ( )( )32 x 2 4x 4 2x 2 3x 1− − + − ≥ − . 
HD: 
( )
( )
( )
3f x 4x 4 2x 2 : ÐB
x 33x 1
g x : NB
2 x 2
 = − + − ⇒ ≥−
 = −
. 
Bài tập 469. Giải bất phương trình: 2 2x 2x 3 x 6x 11 3 x x 1− + − − + > − − − . 
ĐS: (x 2;3∈  . 
Bài tập 470. Giải bất phương trình: 3 3 3x 1 2x 1 3x 1− + − < + . 
HD: Với x 1 BPT≤ ⇒ đúng. 
Với x 1> : xét ( ) 3 3 3f x x 1 2x 1 3x 1= − + − − + . 
Lưu ý rằng: ( ) 7 7 7f x f 0 x ÐS : x ;
6 6 6
      < = ⇔ < ⇒ ∈ −∞        
. 
Bài tập 471. Giải phương trình: 
( )( )
2
2 2
2 2
x x
x x 1 2x 2x 1
x x 1 2x 2x 1
+
+ + − + + =
+ + + +
. 
ĐS: x 0 x 1= ∨ = − . 
Bài tập 472. Giải phương trình: 338x 8x 4 4 6x+ − = − . 
ĐS: 
3 32 5 2 5
x
2
+ + −
= . 
Bài tập 473. Giải bất phương trình: ( ) 3 2x 2 x 1 27x 27x 12x 2+ + > − + − . 
HD: ( ) ( )
33
PT 3x 1 3x 1 x 1 x 1⇔ − + − < + + + . 
Bài tập 474. Giải phương trình: ( )3 2 2 2x 3x 5x 3 x 3 x 1+ + + = + + . 
HD: ( ) ( ) ( )
33
2 21 1PT x 1 x 1 x 1 x 1
2 2
⇔ + + + = + + +
 x 0⇒ = . 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
www.mathvn.com Page - 133 - dethithudaihoc.com 
G – BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ 
TRONG PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
 
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 Phương pháp giải bài toán có tham số thường ứng dụng kiến thức của tam thức bậc hai (rất ít) hoặc 
 ứng dụng của đạo hàm (phổ biến). 
 Ứng dụng tam thức bậc hai 
Xét tam thức bậc hai: ( ) ( ) 2 2f x ax bx c, a 0 , b 4ac= + + ≠ ∆ = − . 
Gọi S, P là tổng và tích của hai nghiệm 
1 2
x , x . Hệ thức Viét: 
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a
 = + = −

 = =
. 
 Điều kiện ( )f x 0= có hai nghiệm trái dấu P 0⇔ < . 
 Điều kiện ( )f x 0= có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 
0
P 0
∆ >⇔ 
 >
. 
 Điều kiện ( )f x 0= có hai nghiệm phân biệt dương 
0
S 0
P 0
∆ >⇔ >
 >
. 
 Điều kiện ( )f x 0= có hai nghiệm phân biệt âm 
0
S 0
P 0
∆ >⇔ <
 >
. 
 Khi so sánh hai nghiệm với số 0,α ≠ ta thường đặt t x= −α để chuyển về so sánh với số 0, 
cụ thể như sau: 
+ 
( )( )
1 21 1
2 1
2 2 1 2
x x 2 0x x 0
x x
x x 0 x x 0
    + − α >> α −α >  > > α ⇔ ⇔ ⇔  
  > α −α > −α −α >    
. 
+ 
( )( )
1 21 1
1 2
2 2 1 2
x x 2 0x x 0
x x
x x 0 x x 0
    + − α << α −α <  < < α ⇔ ⇔ ⇔  
      
. 
+ ( )( )1 2 1 2x x x x 0< α < ⇔ −α −α < . 
 Dấu của ( )f x : 
+ ( )
0
f x 0, x
a 0
∆ ∀ ∈ ⇔ 
 >
ℝ . + ( )
0
f x 0, x
a 0
∆ ≤≥ ∀ ∈ ⇔ 
 >
ℝ . 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
www.mathvn.com Page - 134 - dethithudaihoc.com 
+ ( )
0
f x 0, x
a 0
∆ << ∀ ∈ ⇔ 
 <
ℝ . + ( )
0
f x 0, x
a 0
∆ ≤≤ ∀ ∈ ⇔ 
 <
ℝ . 
 Ứng dụng của đạo hàm 
 Bài toán 1. Tìm m để phương trình ( )f x;m 0= có nghiệm trên D ? 
 Bước 1. Độc lập (tách) m ra khỏi biến số x và đưa về dạng ( ) ( )f x A m= . 
 Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số ( )f x trên D. 
 Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị của tham số m để đường thẳng ( )y A m= 
nằm ngang cắt đồ thị hàm số ( )y f x= . 
 Bước 4. Kết luận những giá trị cần tìm của m để phương trình ( ) ( )f x A m= có nghiệm trên D. 
Lưu ý: 
	 Nếu hàm số ( )y f x= có GTLN và GTNN trên D thì giá trị m cần tìm là những m 
thỏa mãn: ( ) ( ) ( )
D D
min f x A m max f x≤ ≤ . 
	 Nếu bài toán yêu cầu tìm tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ 
cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng ( )y A m= nằm ngang 
cắt đồ thị hàm số ( )y f x= tại k điểm phân biệt. 
 Bài toán 2. Tìm m để bất phương trình ( )f x;m 0≥ hoặc ( )f x;m 0≤ có nghiệm trên D ? 
 Bước 1. Độc lập (tách) m ra khỏi biến số x và đưa về dạng ( ) ( )f x A m≥ hoặc ( ) ( )f x A m≤ . 
 Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số ( )f x trên D. 
 Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm: 
+ Với bất phương trình ( ) ( )f x A m≥ đó là những m sao cho tồn tại phần đồ thị 
nằm trên đường thẳng ( )y A m ,= tức là ( ) ( )
D
A m max f x≤ ( )( ) 
D
khi max f x ∃ . 
+ Với bất phương trình ( ) ( )f x A m≤ đó là những m sao cho tồn tại phần đồ thị 
nằm dưới đường thẳng ( )y A m ,= tức là ( ) ( )
D
A m min f x≥ ( )( ) 
D
khi min f x ∃ . 
 Bài toán 3. Tìm tham số m để bất phương trình ( ) ( )f x A m≥ hoặc ( ) ( )f x A m≤ nghiệm 
đúng x D∀ ∈ ? 
 Bất phương trình ( ) ( )f x A m≥ nghiệm đúng ( ) ( )
D
x D min f x A m∀ ∈ ⇔ ≥ . 
 Bất phương trình ( ) ( )f x A m≤ nghiệm đúng ( ) ( )
D
x D max f x A m∀ ∈ ⇔ ≤ . 
Lưu ý: 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
www.mathvn.com Page - 135 - dethithudaihoc.com 
	 Các bài toán liên quan hệ phương trình, hệ

File đính kèm:

  • pdfOn_tap_Chuong_III_Phuong_trinh_va_he_phuong_trinh.pdf