Một số phương pháp tìm giới hạn của một hàm số

t đối ) 
Ví dụ 1. (Bài 32-tr159-GT11-NC) 
Tìm các giới hạn sau 
Bài giải : 
Ví dụ 2. (Bài 44-tr167-GT11NC) 
Tìm các giới hạn sau 
Bài giải : 
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau : 


 
2
2
x
3x(2x 1)
1. lim
(5x 1)(x 2x)


 
2
x
x x 1
2. lim
x x 1 

 

2
3 2
3 lim
3 1x
x x x
x 

   
  
2
2x
x x 2 3x 1
4. lim
4x 1 1 x 
ø giải: 
. 
 
    
 
     
         
  
2
2 2
2
x x x
1
3 2
3 2x 1
3x(2x 1) 6x
1. lim lim lim
1 25x 1 x 2 5(5x 1)(x 2x)
5 1
x x
 


 
   
2
2
x x
2
1 1
x x 1 x x
2. lim lim 0
1 1x x 1
1
x x
  
    
 
  
    
 
2
3 3
1 2 1 2
3 2 1
3 lim lim lim
113 1 3
33
x x x
x x
x x x x x
x
x
xx
 
 
            
        
 
2 2
2x x
2
1 2 1
x 1 x 3 4 khi x 0
x x 2 3x 1 x xx
24. lim lim
khi 0
1 14x 1 1 x 3x 4 x 1
xx
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau 

 

3 3 2
2
1. lim
2 2x
x x x
x 

   

33 2 2 3 2 23
2
( 2 ) 2
2 lim
3 2x
x x x x x x
x x 

 

2
3 2
3. lim
3 1x
x x x
x 

  
 x
(x x x 1)( x 1)
4. lim
(x 2)(x 1)
Bài giải : 
 
 
  
    
  
 
 
3
3 3 2
2
1 1
2
1. lim lim 1
12 2
2 1
x x
x
xx x x
x
x
x
 
 
      
        


2
2
3 3
33 2 2 3 2 23
2
2 2
1 1 1
( 2 ) 2
2 lim lim 1
23 2
3
x x
x
x x
x x x x x x
x x
x
   
   
   
     

 
         
         
 
     
  
3 2
3 2
3 22
x x x
3
x
2 3
x x 1
x x 1
(x x x 1)( x 1)
4. lim lim lim
(x 2)(x 1)
x x 2 x 2x 2 x 1
1 1
1
t t
lim 1 khi : t x ; khix , t
1 2 2
1
t t t
Bài tập tự luyện 
Tìm các giới hạn sau: 
 a) 
x
2x 1
lim
x 1


 b) 
2
2
x
x 1
lim
1 3x 5x

 
 c)
2
x
x x 1
lim
x x 1

 
 d) 
2
2
x
3x(2x 1)
lim
(5x 1)(x 2x)

 
 e) 
3
3 2
3 2 2
lim
2 2 1x
x x
x x
 
  
 f)
3 2
4
3 2 1
lim
4 3 2x
x x
x x
 
 
 g)
3 2
2
2 2
lim
3 1x
x x
x x
 
 
 h)
4 2
3
3 1
lim
2 2x
x x
x x
 
  
 i) 
2 2
4x
(x 1) (7x 2)
lim
(2x 1)
 

 j) 
2 3
2 2x
(2x 3) (4x 7)
lim
(3x 4) (5x 1)
 
 
 k) 
2
x
4x 1
lim
3x 1


 l) 
2
3 2
lim
3 1x
x x x
x
 
 
   
 
2
2x
4x 2x 1 2 x
o) lim
9x 3x 2x 
 p) 
2
2x
x 2x 3 4x 1
lim
4x 1 2 x

   
  
 q) 2x
x x 3
lim
x 1


3. Để tính giới hạn :( Dạng ∞-∞ ) . 
Hoặc 
 Ta nhân và chia với biểu thức liên hợp ( nếu có biểu thức chứa biến số dưới dấu 
căn thức ) hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều phân 
thức ) 
Dạng vô định và dạng 0.∞ 
Ví dụ 1. Tìm giới hạn của các hám số sau 
31. lim (2 3 )
x
x x



 22 lim 3 4
x
x x
 
 
2
x
3. lim ( x x x)
24. lim ( 3 2 )
x
x x x

  
5. lim ( 2 2)
x
x x

  
 
    
2 2
x
6. lim ( x 4x 3 x 3x 2)
Bài giải 
3 3
2
3
1. lim (2 3 ) lim 2
x x
x x x
x 
 
     
  
 
 
       
2
2
3 4
2. lim 3 4 lim 1
x x
khix
x x x
khixx x 
  
 
   
                
   
  
    
2
x x x
2x x
1 1
3. lim ( x x x) lim x 1 x lim x 1 1 .0 ?
x x
x 1
lim lim ?
1x x x
1 1
x
2
2
3 2
4. lim ( 3 2 ) lim 1
x x
x x x x do x x x
x x 
 
           
  
4 4
5. lim ( 2 2) lim lim 0
2 2 2 2
1 1
x x x
x x
x x
x
x x
  
     
   
   
 
 

 
     
    
                   
 
2 2
2 2x x
x
2 2
x 1
6. lim ( x 4x 3 x 3x 2) lim
x 4x 3 x 3x 2
1
1
x 1
khi x
x
2lim
1
4 3 3 2 khi x
x 1 1
2
x xx x
Ví dụ 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau 
Bài giải : 
Ví dụ 3. ( Bài 40-tr166-GT11-NC)1 
.Tìm các giới hạn sau 
Bài giải : 
Bài tập tự luyện 
Tính các giới hạn sau: 
 e) 
2
x
lim ( x x x)

  g) )23(lim
2 xxx
x


 h) 
2
lim ( 2 4 )
x
x x x

  
 k) 
2
lim ( 5 )
x
x x x

  
 l)
2
x
lim (2x 1 4x 4x 3)

    m) 
2
x
lim (3x 2 9x 12x 3)

    
 n) )223(lim
2 

xxx
x
 t)
3 3 2
x
lim ( x x x x)

   
 o)
)223(lim 2 

xxx
x
 p) 
2
lim ( 3 2 1)
x
x x x

    
q) 
2
lim ( 3 1 3)
x
x x x

    
 r)
2
lim ( 4 3 2 1)
x
x x x

   
s) 
3 3 2
x
lim ( x x x)

 
 v) 
32 3
x
lim ( x 1 x 1)

   w) 
3 3 2
lim ( 2 1 3 )
x
x x x x

    
4. Để tìm giới hạn 
Khi u(x) hoặc v(x) chứa các căn thức không cùng chỉ số . 
 Khéo léo thêm và bớt vào tử số hay mẫu số ( có chứa căn không cùng chỉ số ) 
một số hợp lý ( thường là thêm vào số x0) 
 Tách giới hạn đã cho thành hai giới hạn mà sao cho mỗi giới hạn chỉ chứa căn 
thức có cùng chỉ số và áp dụng các định lý ,hoặc quy tắc tìm giới hạn đã biết . 
 Chẳng hạn ,ta tìm : 
 Chú ý : Đôi khi ta phải thêm ,bớt một đại lượng h(x) sao cho h(x0)=c. Sau đó áp 
dụng cách phân tích trên để giải . ( Thông qua ví dụ : 
 ) 
Ví dụ minh hoạ 
Ví dụ 1. Tìm giới hạn của các hàm số sau 
Bài giải : 
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau. 
Bài giải : 
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau 
Bài giải : 
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau 
Bài giải : 
Ví dụ 5. Tìm giới hạn sau : 
Giải : 
Ta thêm ,bớt một hàm số h(x)=1+x ,với h(0)=1. Khi đó 
5 Để tìm giới hạn : 
Khi u(x) hoặc v(x) chứa các căn thức không cùng chỉ số .( với căn có chỉ số cao hơn 3- 
từ 4 trở đi ). 
 Ta đổi biến số bằng cách đặt u= 
 Chuyển giới hạn đã cho từ biến x trở thành biến u với giới hạn mới có thể áp 
dụng các định lý và quy tắc tìm giới hạn là có thể tìm được ngay . 
Ví dụ1: minh hoạ ( ĐH-SP II-99). 
Tìm giới hạn sau : 
Bài giải : 
Ta có : 
 Đặt : 
 Đặt : 
 Vậy : 
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau 
Bài giải : 
6 Phần nâng cao . Áp dụng giới hạn : 
  Nếu giới hạn đã cho chứa các hàm số lượng giác , bằng cách biến đổi lượng 
giác ,ta biến đổi hàm số cần tìm giới hạn sao cho sử dụng được giới hạn trên. 
 Nếu hàm số tìm giới hạn chứa hỗn hợp cả cằn thức +lượng giác ,hay đa thức 
với lượng giác thì ta phải thêm hay bớt hoặc tách giới hạn đó thành hai giới 
hạn sao cho hai giới hạn này có thể tìm được ngay bằng các định lý và quy 
tắc tìm giới hạn đã biết . 
Ví dụ minh hoạ : 
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau 
Bài giải : 
Ví dụ 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau. 
Bài giải : 
Vậy : 
III.Phần bài tập tự luyện 
Bài 1. Tìm các giới hạn sau 
Bài 2. Tìm các giới hạn sau 
Bài 3. Tìm các giới hạn sau 
Bài 4. Tìm các giới hạn sau 
Bài 5. Tìm giới hạn của các hàm số sau 
III. Sử dụng định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số 
 Theo định nghĩa đạo hàm : "Cho hàm số y= f(x) có D=(a;b)x0 là một giá trị 
thuộc D . Giới hạn của tỷ số 
Gọi là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x0. 
 Nếu hàm số f=f(x) tồn tại đạo hàm tại điểm x0 : f'(x0)≠ 0 , thì : 
 Một số công thức tính đạo hàm cần biết : 
Ví dụ áp dụng 
Ví dụ 1. (ĐH-Thuỷ lợi -KA-2001).Tìm giới hạn sau 
Bài giải : 
Với : 
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau 
Bài giải 
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau 
Bài giải 
* Chú ý : Có thể sử dụng một số kết quả sau để tìm giới hạn 
Kết quả 1. Tìm giới hạn sau 
Từ phân tích : abc-1= (abc-ab)+(ab-a)+(a-1)=ab(c-1)+a(b-1)+(a-1). (1) Cho nên : 
Ví dụ . Tìm giới hạn sau 
Bài giải : 
Do (1) 
Kết quả 2 .Tìm giới hạn sau 
Ví dụ 1: 
Bài giải : 
Ví dụ 2 : 
Bài giải : 
Một số bài tập tự luyện 
Bài 1. Tìm giới hạn của các hàm số sau 
Bài 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau 
Bài 3. Tìm giới hạn của các hàm số sau 
Bài 4. Tìm giới hạn của các hàm số sau 
BÀI TẬP THAM KHẢO - ĐỂ LUYỆN TẬP 
.Bài 1. Dùng định nghĩa, CMR: 
 a) 
x 2
lim(2x 3) 7

  b) 
x 3
x 1
lim 1
2(x 1)



 c) 
2
x 1
x 3x 2
lim 1
x 1
 
 

Bài 2. Tìm các giới hạn sau 
 a) 
3 2
x 0
lim(x 5x 10x)

  b) 
2
x 1
x 5x 6
lim
x 2
 

 c) 
x 3
lim x 1

 
 d) 
2
2x 2
2x 3x 1
lim
x 4x 2
 
  
 e) 
3
x 1
1 1
lim
1 x 1 2x
 
 
  
 f) 
2
3
x 0
x 4
lim
x 3x 2

 
 g) 
x 1
1 x 1 x
lim
x
  
 j)
0
tan s in2x
lim
cosx
x
x

 h) 
x
2
sin x
lim
x
k)
x
4
tgx
lim
x 
Dạng vô định 
0
0
1. Tìm các giới hạn sau: 
 a)
2
2
x 2
x 4
lim
x 3x 2

 
 b) 
2
2
x 1
x 1
lim
x 3x 2 

 
 c)
2
2
x 5
x 5x
lim
x 25


 d)
2
2
x 2
x 2x
lim
2x 6x 4

  
 e)
3
4
x 1
x 3x 2
lim
x 4x 3
 
 
 f) 
3 2
2
x 1
x x x 1
lim
x 3x 2
  
  
 g) 
2
3
 2
2 6
lim
8x
x x
x 
 
 
h) 
4 2
2
3
72
lim
2 3x
x x
x x
 
 
 i) 
5
3
1
1
lim
1x
x
x


 j) 
3 2
4 2
x 3
x 5x 3x 9
lim
x 8x 9
  
 
 k) 
4 3 2
3 2x 1
2x 8x 7x 4x 4
lim
3x 14x 20x 8
   
  
 l) 
3 2
3x 2
x 3x 9x 2
lim
x x 6  
  
 
 m) 
2
1
2 1
lim
1 1x x x
 
 
  
 n) 
3
1
1 3
lim
1 1x x x
 
 
  
 o)
5 6
2
x 1
x 5x 4x
lim
(1 x)
 

 p) 
3 3
h 0
(x h) x
lim
h
 
 q) 
2
3 3
x a
x (a 1)x a
lim
x a
  

 r) 
4 4
x a
x a
lim
x a 


 s) 
3 3
h 0
2(x h) 2x
lim
h
 
 t) 
2 2x 1
x 2 x 4
lim
x 5x 4 3(x 3x 2)
  
 
    
 u) 
1992
1990x 1
x x 2
lim
x x 2
 
 
 k) 
n
2x 1
x nx n 1
lim
(x 1)
  

 2. Tìm các giới hạn sau: 
 A = 
8x
18xx4
lim
3
2
2x 


 B = 
2
2x 5
x x 30
lim
2x 9x 5
 
 
 D = 
2
3 21
x
2
4x 1
lim
4x 2x 1

 
 C = 
3 2x 1
x 1
lim
x 2x x 2

  
 E = 
2
2x 1
x 4x 3
lim
x 2x 3
 
 
 G =
2
2x 1
2x 3x 1
lim
x 4x 5
 
  
 H =
4
2x 2
x 16
lim
x 2x


 L = 
3 2
2x 1
x x x 1
lim
x 5x 6
  
  
 I = 
3
2x 1
x 1
lim
x x


 J = 
3x4x
27x
lim
2
3
3x 


 N = 
3 2
3x 2
x 2x 6x 4
lim
8 x
  

 O = 
3 2
2x 2
x x 5x 2
lim
x 3x 2
  
 
 F = 
2
21
x
2
2x 5x 2
lim
4x 1
 

 P = 
3 2
2x 1
x 4x 6x 3
lim
x x 2
  
 
 Q = 
3
2x 1
x 3x 2
lim
x 2x 1
 
 
 R = 
5
3x 1
x 1
lim
x 1


 M = 
3
2x 2
8x 64
lim
x 5x 6

 
3. Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2
x 0
x 1 x x 1
lim
x
   
 b) 
2x 7
x 3 2
lim
49 x
 

 c) 
2x 2
2 x 2
lim
x 3x 2
 
 
 e) 
3 2
x 1
2x 7 3
lim
x 4x 3
 
 
 f)
x 4
x 5 2x 1
lim
x 4
  

 g) 
2
2
1
2 3
lim
3 2x
x
x x
 
  
 d) 
2x 2
4x 1 3
lim
x 4
 

 h) 
3
2
2
lim
8x
x x
x
 

 0) 
3
2
1
1
lim
2 5 3x
x
x x

 
 i) j) 
x 4
3 5 x
lim
1 5 x
 
 
 k) 
x 1
3 8 x
lim
2x 5 x
 
 
 o) 
3
2
0
1 1
lim
2x
x
x x
 

 p) 
x 2
x x 2
lim
4x 1 3
 
 
 x)
3 2 3
2
x 1
x 2 x 1
lim
(x 1)
 

2
3
1
2 6 4 1
) lim
2 1x
x x x
m
x x
   
 
 n) 
4
3 2x 1
x 1
lim
x x 2

 
 q) 
3
2x 2
2x 12 x
lim
x 2x
 

 r) 
3
x 1
x 7 2
lim
x 1
 

 s) 
30
1 1
lim
1 1x
x
x
 
 
 t) 
3
x 1
x 7 2
lim
x 1
 

 v) 
3
4x 1
x 1
lim
x 1


 w)
3
3
x 1
x 1
lim
4x 4 2

 
2
2x 1
3x 2 4x x 2
lim
x 3x 2
   
 
4. Tính các giới hạn sau: 
 a. 
x 0
x 1 x 4 3
lim
x
   
 b. 
x 0
x 9 x 16 7
lim
x
   
 c. 
3
x 0
x 1 x 4 3
lim
x
   
 d.
3
x 0
x 1 x 1
lim
x
  
 e. 
3
21
3 3 5
lim
1x
x x
x
  

 f.
3
2
x 1
8x 11 x 7
lim
x 3x 2
  
 
Dạng vô định 


1. Tìm các giới hạn sau: 
 a) 
x
2x 1
lim
x 1


 b) 
2
2
x
x 1
lim
1 3x 5x

 
 c)
2
x
x x 1
lim
x x 1

 
 d) 
2
2
x
3x(2x 1)
lim
(5x 1)(x 2x)

 
 e) 
3
3 2
3 2 2
lim
2 2 1x
x x
x x
 
  
 f)
3 2
4
3 2 1
lim
4 3 2x
x x
x x
 
 
 g)
3 2
2
2 2
lim
3 1x
x x
x x
 
 
 h)
4 2
3
3 1
lim
2 2x
x x
x x
 
  
 i) 
2 2
4x
(x 1) (7x 2)
lim
(2x 1)
 

 j) 
2 3
2 2x
(2x 3) (4x 7)
lim
(3x 4) (5x 1)
 
 
 l) 
2
3 2
lim
3 1x
x x x
x
 

 k) 
2
x
4x 1
lim
3x 1


 m) 
2
3 2
lim
3 1x
x x x
x
 

 n)
2
2x
x x 2 3x 1
lim
4x 1 1 x

   
  
 o) 
2
2x
4x 2x 1 2 x
lim
9x 3x 2x

   
 
 p) 
2
2x
x 2x 3 4x 1
lim
4x 1 2 x

   
  
 q)
2x
x x 3
lim
x 1


 r)
3 3 2
2
lim
2 2x
x x x
x
 

 s)
33 2 2 3 2 23
2
( 2 ) 2
lim
3 2x
x x x x x x
x x
   

 t)
x
(x x x 1)( x 1)
lim
(x 2)(x 1)
  
 
 Giới hạn một bên 
1. Tìm các giới hạn sau 
 a) 
2
2
2
lim
3 1x
x x
x



 b)
2
3 1
lim
2x
x


 c) 
1
1
lim
1x
x
x



 d)
1
1
lim
1x
x
x



 e)
2 3
x 0
x x
lim
2x

 f) 
2 3
x 0
2x
lim
4x x
 
 g)
2
33
lim
2
2 

 x
xx
x
 h)
2
33
lim
2
2 

 x
xx
x
 i) 
4
3
lim
4x
x
x



 j) 
2
33
lim
2
2
2 

 xx
xx
x
 k) 
2
33
lim
2
2
2 

 xx
xx
x
 l)
3
2
x 1
x 3x 2
lim
x 5x 4
 
 
 g)
x 0
1 x
lim x
x
 
  
 
 h)
2
x 1
x x 2
lim
x 1
 

 i)
x
2
1 cos2x
lim
x
2





2. Tìm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái của hs f(x) tại xo và xét xem hàm số có 
giới hạn tại xo không ? 
2
2
o
x 3x 2
 (x 1)
x 1
a) f(x)
x
 (x 1)
2
 với x 1
  
  
 


2
o
4 x
(x 2)
b) f(x) x 2
1 2x (x 2)
 với x 2
 

  
  

3
1 x 1
x 0
c) f (x) 1 x 1
3/ 2 x 0
0
  

   
 

o
 với x
3. Tìm A để hàm số sau có giới hạn tại xo: 
 a) 
3
x 1
(x 1)
f(x) x 1
Ax 2 (x 1)
 

  
  
 với x0 = 1 
 b) 3 2
2
x 6 2x 9
A x 3
f (x) x 4x 3x
3x 2 x 3
   
 
  
  
 với x0 = 3 
Giới hạn hàm lượng giác 
1. Tính các giới hạn sau: 
 a) 
x 0
sin5x
lim
3x
 b) 
2
x 0
1 cos2x
lim
x

 c)
2
x 0
cosx cos7x
lim
x

 d) 
2
x 0
cosx cos3x
lim
sin x

 e)
3
x 0
tgx sin x
lim
x

 f)
x 0
1 3
lim x
sin x sin3x
 
 
 
 g) 
0
sin2 sin
lim
3sinx
x x
x

 h) 
0
1 sin cos2
lim
sinx
x x
x
 
D¹ng 1: x  a 
Bµi 1: Thay vµo lu«n. 
1) 
2
3
lim
3
2
1 

 x
x
x
 2) 
5
3 72
34
lim 







 x
x
x
 3) 3
2
4
2 2
232
lim


 xx
xx
x
 4) 
6
lim
3
2
3  xx
x
x
 5) 
72
15
lim
1 

 x
x
x 
6) 
622
35
lim
23
2
2 

 xxx
xx
x
Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tư. 
1) 
253
103
lim
2
2
2 

 xx
xx
x
 2) 
ax
ax nn
ax 


lim 
3) 
2
1
)(
)(
lim
ax
axnaax nnn
ax 
 

 4) 
21 )1(
1
lim


 x
nnxx n
x
5) 







 31 1
3
1
1
lim
xxx
 6) 







 xx
n
nx 1
1
1
lim
1
 7) 
 
h
xhx
h
33
0
lim


 8) 
x
x
x 

 1
1
lim
1
 9)
3
152
lim
2
3 

 x
xx
x
10) 
5
152
lim
2
5 

 x
xx
x
 11) 
6)5(
1
lim
3
1 

 xx
x
x
12) 
6
293
lim
3
23
2 

 xx
xxx
x
 13) 
xx
xx
x 4
43
lim
2
2
4 


14) 
2012
65
lim
2
2
4 

 xx
xx
x
 15) 
6
23
lim
2
23
2 

 xx
xxx
x
16)
32
1
lim
2
4
1 

 xx
x
x
 17) 
6
44
lim
2
23
2 

 xx
xxx
x
Bµi 3: Nh©n l-ỵng liªn hỵp (cã mét c¨n bËc hai) 
 1) .
2
35
lim
2
2 

 x
x
x
 2)
7
29
lim
4
7 

 x
x
x
 3) 
x
x
x 

 5
5
lim
5
 4) 
2
153
lim
2 

 x
x
x
 5) 
11
lim
0  x
x
x
 6) 
xx
x
x 336
1
lim
21 


 7) 
x
xx
x
11
lim
2
0


 8) 
25
34
lim
25 

 x
x
x
 9) 
 
x
xxx
x


121
lim
2
0
10) 
4102
3
lim
3 

 x
x
x
 11) 
1
23
lim
3
1 

 x
xx
x
 12)
x
xn
x
11
lim
0


 (n N, n  2) 13) 
6
22
lim
6 

 x
x
x
14) 
23
2423
lim
2
2
1 

 xx
xxx
x
 15) 
1
132
lim
21 

 x
xx
x
16) 
2
583
lim
3
2 

 x
xx
x
 17)
32
1
lim
21 

 xx
x
x
Bµi 4: Nh©n l-ỵng liªn hỵp (cã hai c¨n bËc hai) 
1) 
x
xx
x


55
lim
0
 2) 
x
xx
x


11
lim
0
3) 
1
12
lim
1 

 x
xx
x
 4) 
x
axa
x

0
lim (a > 0) 
5) 
x
xxx
x
11
lim
2
0


 6) 
23
2423
lim
2
2
1 

 xx
xxx
x
7) 
23
2423
lim
2
3 23
1 

 xx
xxx
x
 10) 
x
xxx
x


131
lim
2
0
8) 
x
axa
x
33
0
lim


 9) 
1
12
lim
2
3 23
1 

 x
xxx
x
Bµi 5: Nh©n l-ỵng liªn hỵp (cã mét c¨n bËc ba) 
a) 
x
x
x
141
lim
3
0


 b) 
2
24
lim
3
2 

 x
x
x
c) 
x
x
x 3
11
lim
3
0


 d) 
11
lim
30  x
x
x
Bµi 6: Nh©n l-ỵng liªn hỵp (c¶ tư vµ mÉu) 
1) 
x
x
x 

 51
53
lim
4
 2) 
314
2
lim
2 

 x
xx
x
 3) 
1
lim
2
1 

 x
xx
x
4) 
23
1
lim
2
3
1 

 x
x
x
 5) 
1
1
lim
4
3
1 

 x
x
x
 9) 
1
1
lim
3
1 

 x
x
x
6) 
39
24
lim
2
2
0 

 x
x
x
 7) 
3
527
lim
9 

 x
x
x
 8) 
364 4
8
lim
x
x
x 


Bµi 7: Nh©n l-ỵng liªn hỵp (cã c¶ c¨n bËc hai vµ c¨n bËc ba) 
1) 
x
xx
x
3
0
812
lim


 (§HQG – KA 97) 2) 
23
2423
lim
2
3 2
1 

 xx
xxx
x
 3) 
1
75
lim
2
3 23
1 

 x
xx
x
 4) 
23
2423
lim
2
23
1 

 xx
xxx
x
 5) 
1
57
lim
23
1 

 x
xx
x
6) 
x
xx
x
3
0
5843
lim


 7) 
x
xx
x
7121
lim
3
0


D¹ng 2: Giíi h¹n mét bªn 
1)
2
228
lim
2 

 x
x
x
 2) 
xx
xx
x 23
32
lim
0 


 3) 
2
4463
lim
2
2 

 x
xxx
x
 4)  






1;1
1;13
2 xx
xx
xf . )(lim
1
xf
x
5)  








0;
sin
0;123 2
x
x
x
xxx
xf . T×m )(lim
1
xf
x
; 
 6)  









1;12
10;
0;
2
2
xxx
xx
xo
xf . T×m )(lim
1
xf
x
; )(lim
0
xf
x
7) 






2;3
2;
)(
2
x
xmx
xf 
8) 







2;4
2;65
)(
2
xmx
xxx
xf . T×m m ®Ĩ hµm sè cã giíi h¹n t¹i x = 2. 
9)  











3;3
31;56
1;)32(
5
1 2
xx
xx
xx
xf . T×m )(lim
1
xf
x
; )(lim
3
xf
x
10) 
34
1
lim
2
4
3 

 xx
x
x
 11) 
320 4
2
lim
xx
x
x 
D¹ng 3: x  : Cã c¸c d¹ng v« ®Þnh:  -  ; 0x ; 


. Khi ®ã chĩng ta ph¶i khư: 
Chĩ ý: Khi x  - hoỈc x  + mµ chia cho x th× ph¶i chĩ ý tíi dÊu. 
1) 
32
3
662
13
lim
xx
xx
x 


 2) 



 

xxx
x
lim 
3) 
   
 50
3020
12
2332
lim


 x
xx
x
 6)  2317lim 22 

xxxx
x
4)  21lim 22 

xxx
x
 5) 
   
n
nn
x x
xxxx 11
lim
22 

7)  xxxx
x
914lim 22 

 8)  3612lim 22 

xxxx
x
9)  274lim 2 

xxx
x
 15)    xbxax
x


lim 
10)  34412lim 2 

xxx
x
 11) 

