Ðề thi học sinh giỏi cấp trường Trường THPT Trần Quốc Tuấn môn Toán lớp 10 năm học: 2014 – 2015

GV: Nguyễn Ngọc Hóa 
Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam ðịnh 
 SỞ GD – ðT NAM ðỊNH ðỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
TRƯỜNG THPT TRẦN QUỐC TUẤN MÔN TOÁN LỚP 10 
 NĂM HỌC: 2014 – 2015 
 Thời gian làm bài: 120 phút 
Câu1(3,0ñ): Giải bất phương trình sau: 
2
1
1
2 3 2
x
x x
−
≥
− −
Câu2(5,0ñ):Cho hàm số ( ) ( )2 22 2 3 22f x x m x m m= + − − + + (m là tham số) 
 1/ Tìm tất cả các giá trị của m ñể ( )f x không âm với mọi x thuộc ℝ 
 2/ Tìm tất cả các giá trị của m ñể phương trình ( ) 0f x = có 2 nghiệm phân biệt 
1 2;x x biết 1 2;x x là số ño 2 cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có 1 góc bằng α mà tan 3α = 
Câu3(3,0ñ): Giải hệ phương trình sau: 
2 22 3 0
2 4 4 7
x xy y
x y x y
 − + =

− + − = − −
Câu4(7,0ñ): Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung ñiểm của cạnh AB. N thuộc ñoạn AC sao 
cho 3AN NC= . 
 1/ CMR tam giác DMN là tam giác vuông cân. 
 2/ Giả sử trong mặt phẳng Oxy ( ) ( )2;1 ; 0; 3A C − . 
 a/ Tìm tọa ñộ ñiểm D biết D có hoành ñộ âm. 
 b/ Viết PT ñường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. 
Câu5(2,0ñ): Cho a, b, c là các số thực dương. CM bất ñẳng thức sau: 
ab bc ca
a b c
c a b
+ + ≥ + + 
---------------Hết-------------- 
GV: Nguyễn Ngọc Hóa 
Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam ðịnh 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
MÔN TOÁN LỚP 10 
NĂM HỌC: 2014 – 2015 
Câu ý 
GIải bất phương trình sau: 
2
1
1
2 3 2
x
x x
−
≥
− −
ðk: ( )1x ; 2;
2
 ∈ −∞ − ∪ +∞ 
 
0,5ñ 
BPT 22x 3x 2 1 x⇔ − − ≤ − 0,25 
Câu1 
( )22
1 0
2x 3x 2 1
1
1 13 1 13
;
2 2
x
x
x
x
− ≥
⇔ 
− + ≤ −
≤

 ⇔ − +
∈  
 
1 13
;1
2
x
 −
⇔ ∈ 
 
Kết hợp ñiều kiện 
1 13 1
;
2 2
S
 −
= − 
 
0,5ñ 
1,0ñ 
0,5ñ 
0,25ñ 
Cho hàm số ( ) ( )2 22 2 3 22f x x m x m m= + − − + + (m là tham số) 
1/ Tìm m ñể ( )f x . 
1 
Ta có ( )
1 0
' 0
f x x
>
≥ ∀ ∈ ⇔ 
∆ ≤
ℝ 
22 7 18 0
7 193 7 193
;
4 4
m m
m
⇔ − − ≤
 − +
⇔ ∈ 
 
1,0ñ 
0,5ñ 
0,5ñ 
Câu2 
2 
2/ Phương trình ( ) 0f x = có 2 nghiệm phân biệt 
0
7 193 7 193
; ;
4 4
m
⇔ ∆ >
   − +
⇔ ∈ −∞ ∪ +∞   
   
Theo ñịnh lý Viét ta có : 
( ) ( )
( )
1 2
2
1 2
2 2 1
3 22 2
x x m
x x m m
 + = −

= − + +
0,5ñ 
0,5ñ 
0,25 
GV: Nguyễn Ngọc Hóa 
Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam ðịnh 
1 2;x x là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông 1 20; 0x x⇔ > > 
2
2 0
3 22 0
m
m m
− >
⇔ 
− + + >
Không giảm tính tổng quát giả sử 1 1 2
2
tan 3 3x
x
x
x
α = = ⇔ = (3) 
0,5ñ 
0,25ñ 
Từ (1) và (3) suy ra : 
( )
1 2
3 2 2
;
4 4
m m
x x
− −
= = 
0,5ñ 
Thay vào ( 2) ta ñược: 27 24 76 0m m− − = 
( )2
38
( )
7
m tm
m l
 = −
⇔
 =

KL: 2m = − 
0,5ñ 
Giải hệ 
( )
( )
2 22 3 0 1
2 4 4 7 2
x xy y
x y x y
 − + =

− + − = − −
: 2; 4dk x y≥ ≤ 
Từ (1) 
1
2
x y
x y
 =⇔

=
TH1: 
1
2
x y= thay vào (2) ta ñược: 
1
2 4 7
2
y y y− + − = − 
ðk: 4y = 
Thay 4y = vào phương trình thấy không thỏa mãn vậy pt vô nghiệm. 
0,25 
0,5ñ 
0,5ñ 
0,25ñ Câu3 
TH2: x y= thay vào PT (2) ta ñược: 
2 4 3 7y y y− + − = − 
2 1 4 1 3 9y y y⇔ − − + − − = − 
( ) 1 13 3 0
2 1 4 1
y
y y
 
⇔ − − − =  − + − + 
( )
3
1 1
3 0 3
2 1 4 1
y
y y
=
⇔  − − =
 − + − +
Với 3 3y x= ⇒ = 
0,5ñ 
GV: Nguyễn Ngọc Hóa 
Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam ðịnh 
Với 
1 1
3 0
2 1 4 1y y
− − =
− + − +
Vì ( )12 1 3 0
2 1
y VT
y
≤ ⇒ ≤ ⇒ < ⇒
− +
 (3) vô nghiệm. 
KL: ( )3;3 
0,5ñ 
0,5ñ 
ðặt AB a= 
1/ 
5
2
a
DM = 
10
4
10
4
a
DN
a
MN
=
=
DN MN= nên tam giác DMN cân tại N 
2 2 2DM DN MN= + nên tam giác DMN vuông tại N 
0,5ñ 
0,5ñ 
0,5ñ 
0,25ñ 
0,25ñ 
2/a/ Gọi ( );D a b 
Ta có 
D. D 0
D D
A C
A C
 =

=
 
( )
( )
2 2 2a 2 3 0 1
2 1 2
a b b
a b
 + − + − =
⇔ 
= − −
Thay (2) vào (1) ta ñược: 2
0 1( )
5 10 0
2 3( )
b a tm
b b
b a l
= ⇒ = −
+ = ⇔  = − ⇒ =
Vậy ( )1;0D − 
1,0ñ 
1,0ñ 
1,0ñ 
b/ Tứ giác AMDN nội tiếp ñường tròn ñường kính DM 
⇒ tam giác AMN nội tiếp ñường tròn ñường kính DM 
Gọi I là giao của AC và BD ( ) ( )1; 1 3; 2I B⇒ − ⇒ − 
0,25ñ 
0,25ñ 
0,5ñ 
Câu4 
5 1
;
2 2
M
 ⇒ − 
 
Gọi E là trung ñiểm của DM suy ra 
3 1
;
4 4
E
 − 
 
1 5
2 2 2
R DM= = 
0,5ñ 
0,5ñ 
0,5ñ 
GV: Nguyễn Ngọc Hóa 
Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam ðịnh 
Phương trình ñường tròn cần tìm là: 
2 2
3 1 25
4 4 8
x y
   − + + =   
   
0,5ñ 
Cho a, b, c là các số thực dương. CM bất ñẳng thức sau: 
ab bc ca
a b c
c a b
+ + ≥ + + 
Câu5 
Ta có : 2 ;.....
ab bc
b
c a
+ ≥ 
Cộng các bất ñẳng thức theo vế ta có : 
( )2 2ab bc ca a b c
c a b
 + + ≥ + + 
 
1,5ñ 
0,5ñ