Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán - Năm học 2010-2011 - Trường THPT chuyên Trần Hưng Đạo

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 BÌNH THUẬN	 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO
 Năm học : 2010 – 2011
 ĐỀ CHÍNH THỨC 	 Môn: Toán (hệ số 2)
	 (Dành cho lớp chuyên Toán)
	Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ:
Bài 1: ( 2 điểm)
1/ Tìm tất cả các bộ ba số thực (x, y, z) sao cho x + y + z > 2 và 
x2 + y2 = 4 – 2xy; x2 + z2	 = 9 – 2xz ; y2 + z2 = 16 – 2yz.
2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì là một số tự nhiên.
Bài 2: ( 2 điểm)
 Cho hai số a, b thỏa: . Xác định a và b để tích a.b nhỏ nhất.
Bài 3: ( 2 điểm)
1/ Cho . Chứng minh rằng .
2/ Với giá trị nào của n nguyên dương thì các số dương thỏa mãn các đẳng thức và 
Bài 4: (3 điểm)
Cho đường thẳng (d) cố định và điểm A cố định không thuộc (d). Hai điểm B, C thay đổi trên (d) sao cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (d); E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC.
1/ Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp trong đường tròn (O).
2/ Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng AH với (O). Chứng minh:
 a/ AM.AN = AE.AB
 b/ Hai điểm M và N cố định.
Bài 5: (1 điểm)
Tam giác ABC có độ dài các đường cao là số nguyên dương và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Chứng minh ABC là tam giác đều.
-----------------HẾT------------------ 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	 KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 BÌNH THUẬN	 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO
 Năm học : 2010 – 2011
 ĐỀ CHÍNH THỨC 	 Môn: Toán (hệ số 2)
	 (Dành cho lớp chuyên Tin)
	 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ:
Bài 1: ( 2 điểm)
1/ Tìm tất cả các bộ ba số thực (x, y, z) sao cho x + y + z > 2 và 
x2 + y2 = 4 – 2xy; x2 + z2	 = 9 – 2xz ; y2 + z2 = 16 – 2yz.
2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số là một số tự nhiên.
Bài 2: (2 điểm)
 Cho hai số a, b thỏa: . Xác định a và b để tích a.b nhỏ nhất.
Bài 3: ( 2 điểm)
1/ Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có: 
2/ Tính 
Bài 4: (3 điểm)
Cho đường thẳng (d) cố định và điểm A cố định không thuộc (d). Hai điểm B, C thay đổi trên (d) sao cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (d); E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC.
1/ Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp trong đường tròn (O).
2/ Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng AH với (O). Chứng minh:
 a/ AM.AN = AE.AB
 b/ Hai điểm M và N cố định.
Bài 5: (1 điểm)
Tính các góc của tam giác ABC biết rằng đường cao AH và trung tuyến AI chia góc thành ba phần bằng nhau.
-----------------HẾT------------------ 
Thi tuyển sinh Trần Hưng Đạo – Đáp án ( Hệ số 2 ) Năm học 2010 – 2011
Chuyên Toán
Bài
Đáp án và hướng dẫn chấm
Điểm
Bài 1
(2 đ)
1/ (1,0 đ)
Ta có (x + y)2 = 4 x + y = 
Tương tự: x + z = ; y + z = 
Vì x + y + z > 2 nên chỉ có thể chọn x + y + z = hoặc x + y + z = 
* Với x + y + z = và x + y =2; x + z = 3; y + z = 4 
Tính được ()
* Với x + y + z = và x + y = -2; x+ z = 3; y + z = 4 
Tính được ()
0,25
0,25
0,25
0,25
2/ (1,0 đ)
Ta có 
Vì tử số là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên luôn chia hết cho 6.
Vậy là một số tự nhiên
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 2
( 2 đ)
Dễ thấy a.
Từ giả thiết ta có : 
Hay 
Từ đó a.b nhỏ nhất khi : và 
Tìm được : (a= 1 ; b = -2) ; (a = -1 ; b =2)
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3
(2 đ)
1/ (0,5 đ)
Ta có (a -1)2 
Hay 
0,25
0,25
2/ (1,5 đ)
Cộng vế theo vế hai đẳng thức đã cho ta có:
Từ bất đẳng thức đã chứng minh câu 1/, suy ra: n
* Với n = 2: thì 
Đẳng thức này chỉ xảy ra khi a1 = a2 =1 (Thỏa mãn các đẳng thức đã cho)
* Với n = 1 thì không tồn tại a1 sao cho a1 =2 và 
Vậy n = 2.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 4
(3 đ)
1/ (1đ)Chứng minh: và kề bù với 
Nên tứ giác BEFC nội tiếp trong (O)
2/ a/ (1đ)Tam giác AEN và AMB đồng dạng 
nên 
suy ra: AM.AN = AE.AB 
 b/ (0,75)Chứng minh: HN.HM = BH.HC = AH2.
Trong tam giác vuông ABH có: AE.AB = AH2
AM.AN = (AH – MH)(AH + NH) = AH2 – HN.HM + AH(NH – MH) = AH2
Suy ra: AH = NH – MH = a ( không đổi do A, H cố định)
Ta có hệ: Suy ra 
Nên M và N cố định
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Hình vẽ đến câu 2/
0,25
Bài 5
(1 đ)
Đặt BC = a, AC = b, AB = c và x, y, z lần lượt là độ dài các đường cao tương ứng với các cạnh a,b,c và bán kính đường tròn nội tiếp tâm O bằng 1 nên x, y, z > 2
Giả sử x y z 
 = + + = = 
 = = = 
Nên ax = by = cz = a+b+c = = nên = 1 z 3 z = 3
Từ = 1 và z = 3 3(x+y) = 2xy 
(2x-3)(2y-3) = 9
Suy ra 2x – 3 = 3 và 2y – 3 = 3 hoặc 2x – 3 = 9 và 2y – 3 = 1
Ta có: x = 3 và y = 3 và z = 3 nên tam giác ABC đều.
0,25
0,25
0,25
0,25
Thi tuyển sinh Trần Hưng Đạo – Đáp án ( Hệ số 2 ) Năm học 2010 – 2011
Chuyên Tin
Bài
Đáp án và hướng dẫn chấm
Điểm
Bài 1
(2 đ)
1/ (1,0 đ)
Ta có (x + y)2 = 4 x + y = 
Tương tự: x + z = ; y + z = 
Vì x + y + z > 2 nên chỉ có thể chọn x + y + z = hoặc x + y + z = 
* Với x + y + z = và x + y =2; x + z = 3; y + z = 4 
Tính được ()
* Với x + y + z = và x + y = -2; x+ z = 3; y + z = 4 
Tính được ()
0,25
0,25
0,25
0,25
2/ (1,0 đ)
Ta có 
Vì tử số là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên luôn chia hết cho 6.
Vậy là một số tự nhiên
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 2
(2 đ)
Dễ thấy a.
Từ giả thiết ta có : 
Hay 
Từ đó a.b nhỏ nhất khi : và 
Tìm được : (a= 1 ; b = -2) ; (a = -1 ; b =2)
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3
(2 đ)
1/ (1,0 đ)
=
0,5
0,5
2/ (1,0 đ)
 = 
0,5
0,5
Bài 4
(3 đ)
1/(1đ)Chứng minh: và kề bù với 
Nên tứ giác BEFC nội tiếp trong (O)
2/ a/(1đ) Tam giác AEN và AMB đồng dạng 
nên 
suy ra: AM.AN = AE.AB 
 b/ (0,75)Chứng minh: HN.HM = BH.HC = AH2.
Trong tam giác vuông ABH có: AE.AB = AH2
AM.AN = (AH – MH)(AH + NH) = AH2 – HN.HM + AH(NH – MH) = AH2
Suy ra: AH = NH – MH = a ( không đổi do A, H cố định)
Ta có hệ: Suy ra 
Nên M và N cố định
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Hình vẽ đến câu 2/
0,25
Bài 5
(1 đ)
Kẻ IK AC tại K ta có AHI = AKI 
Suy ra : IH = IK = BH 
Suy ra: IC =2IK nên 
Tính được 
Nên  = 900
0,25
0,25
0,25
0,25