Đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học (2014 – 2015) môn Toán

PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN 
THANH OAI
 ( Trường THCS CAO VIÊN)
 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
 Năm học ( 2014 –2015)
 Môn TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút )
Bài 1: (6,0 điểm)
Cho 
Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
Tìm số a nguyên để A cũng là số nguyên.
Giải phương trình sau.
Bài 2: (4,0 điểm)
 Cho . Tìm để p là số nguyên tố.
Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: 
Bài 3: (3,0 điểm)
 Cho x là số thực thỏa mãn: . Chứng minh rằng:
Bài 4 (6,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC đều, M là trung điểm của BC. Lấy điểm P,Q lần lượt trên các cạnh AB, AC sao cho 
Chứng minh rằng: 
Chứng minh rằng đồng dạng với và 
Cho độ dài đoạn AM = 3cm, O là điểm bất kì nằm trong . Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ O đến các cạnh BC, AB, AC. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 5: (1,0 điểm) 
 Cho thỏa mãn chứng minh rằng: 
.......................................................................... HẾT..
phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
Thanh oai
H­íng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 8
N¨m häc 2014 - 2015
M«n thi : To¸n
H­íng dÉn chÊm thi olympic
N¨m häc 2011 - 2012
M«n thi : To¸n Líp 7
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(6 đ )
a) + Đk: 
 +Rút gọn được: 
b) +Biến đổi 
+lập luận tìm được a = 1.
0,5đ
1,5đ
 1đ
1đ
2.Giải phương trình 
Đặt t = x2 + 11x + 12
Được phương trình : t2 – 20t – 684 = 0 tìm được t = 38 hoặc t = -18
Với t = 38 tìm được x = -6 hoặc x = -5
Với t = - 18 tìm được x = 2 hoặc x =-13
Vây tập nghiệm của Pt là 
0,5đ
0,5đ
1đ
Bài 2
(4đ)
Ta có 
Vì n ∈ N* nên n2 + 7n + 11 > 1
Để p là số nguyên tố thì n2 - 7n + 11 = 1 
 n2 - 7n + 10 = 0
 (n- 2) (n-5) =0
 n=2 hoặc n = 5
Với n = 2 thì p= 29 là số nguyên tố 
Với n = 5 thì p= 71 là số nguyên tố 
KL: P là số nguyên tố n=2 hoặc n = 5
( *)
Nếu y = 0 thì x = 2 hoặc x = 3
Nếu y = 1 thì x = 1 hoặc x = 4
Nếu thì 
 Ta đi xét: VT = x2 - 5x + 7 của pt (*). Ta xét tập số dư của x khi chia cho 3.
 Nếu không chia hết cho 3 nên PT( * ) vô nghiệm
 Nếu x chia 3 dư 1 thì x = 3k + 1 ()
 không chia hết cho 9
Hay phương trình (*) vô nghiệm.
 Tương tự nếu x chia 3 dư 2 thì PT(*) cũng vô nghiệm.
KL: ( x, y) = ( 2,0);(3,0);(1,1);(4,1)
0,75đ
0,75đ
0,5
0,5
0,5
1đ
Bài 3
(4đ)
+ Thực hiện phép chia đa thức 
 cho đa thức 
Ta thu được thương là: và dư là 5x – 3.
Khi đó: =()()+5x – 3
 = 5x – 3 ( vì )
Vậy BĐT cần chứng minh trở thành:
( vì )
 ( luôn đúng với mọi x)
Vậy BĐT được chứng minh.
A
Bài 4
F
P
H
K
Q
E
O
C
B
M
D
a)+Ta có (ĐL tổng 3 góc trong BPM ) 
 Mà ( ABC đều ) 	
 ( gt) 
 Nên 
 + chứng minh BPM CMQ ( g-g) 
( tỉ số đồng dạng ) 
BP.CQ = BM . CM BP.CQ = .= (đpcm)
Mà BM= CM = 
b) BPM CMQ ( cmt ) 
( tỉ số đồng dạng ) 
 (gt) 
+ Xét MBP và QMP có 
 ( cmt) 
 MBP QMP (c-g-c)
 * chứng minh 
+Từ M kẻ MH PQ ( H PQ )
 MK PB ( K PB )
 VÌ MBP QMP (cmt)
 ( 2 góc tương ứng )
 PM là tia phân giác của 
 MH= MK ( t/c điểm thuộc tia phân giác ) 
Ta có (đpcm)
 ( Vì MH = MK (cmt) ; AB = BC ( ABC đều ) )
c) Kẻ OD BC ( D BC ); OE AB ( E AB ); OF AC ( F AC )
Đặt OD = x 
 OE = y 
 OF = z 
Ta có x,y, z > 0 
+ chứng minh : x+y+z = AM = 3cm
 Ta có SAOB + SAOC + SCOB = SABC 
hay 
 ( Vì AB = BC = CA do ABC đều ) 
x+y+z =AM = 3cm
+ áp dụng bđt 3(x2+ y2+z2 ) ( x+ y +z ) 2 
Giá trị nhỏ nhất của x2+ y2+z2 bằng 3 khi x= y =z 
Hay OD = OE = OF 
O là giao điểm của các đường trung trực của ABC
1,5đ
1,5đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Bài 5
(1đ)
Từ đầu bài suy ra x; y có cùng tính chẵn lẻ hay x - y; x + y là số chẵn.
Đặt x + y = 2m; x- y = 2n ( m, n là số nguyên)
+ Nếu m, n không chia hết cho 3 thì m2, n2 chia cho 3 dư 1
 m2 + n2 chia cho 3 dư 2, suy ra z2 chia cho 3 dư 2 ( vô lí )
 Vậy phải tồn tại ít nhất một trong hai số m, n chia hết cho 3
+ Chứng minh tương tự 
Vậy ( vì )
ĐPCM
1đ
 Người ra đề
 GV : Nguyễn Thị Mai Phương