Các bài toán Max- Min và Bất đẳng thức trong đề thi quốc gia từ 2003-2015

hực 0, 0 x y  thay đổi và thỏa mãn điều kiện: 
  2 2x y xy x y xy    . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
3 3
1 1
A
x y
  . 
Bài giải: 
Từ giả thiết suy ra: 
2 2
1 1 1 1 1
x y x y xy
    . Đặt 
1 1
, a b
x y
  , ta có: 2 2a b a b ab    (1) 
Lúc đó:     23 3 2 2A a b a b a b ab a b        . 
Từ (1) suy ra:  2 3a b a b ab    . Vì 
2
2
a b
ab
     
 nên    2 23
4
a b a b a b     
     2 24 0 0 4 16a b a b a b A a b             . 
Với 
1
2
x y  thì 16A . Vậy giá trị lớn nhất của A là 16. 
Đề 06: (Khối B-2006) Cho , x y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
   
2 22 21 1 2A x y x y y        . 
Bài giải: 
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét    1; , 1;M x y N x y   . 
Do    
2 22 2 2 21 1 4 4 2 1OM ON MN x y x y y y            . 
Do đó:  22 1 2A y y f y     . 
+ Với    2 /
2
2
2 2 1 2 1
1
y
y f y y y f y
y
        

. 
Ta có:  / 2
2 2
0 1
0 1 2
1 4 3
y
f y y y y
y y

      
 
. 
Lập BBT suy ra 
 
 
;2
min 2 3f y

  . 
+ Với   22 2 1 2 5 2 3y f y y       . 
Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... 5 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 
Vậy 2 3A   với mọi , x y . Khi 
1
0, 
3
x y  thì 2 3A   nên GTNN của A là 2 3. 
Đề 07: (Khối A-2007) Cho , , x y z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện 
1xyz  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
     2 2 2
2 2 2
x y z y z x z x y
P
y y z z z z x x x x y y
  
  
  
. 
Bài giải: 
Ta có:  2 2x y z x x  . Tương tự:  2 2y z x y y  ;  2 2z x y z z  . 
Suy ra: 
22 2
2 2 2
y yx x z z
P
y y z z z z x x x x y y
  
  
. 
Đặt 2 ; 2 ; 2a x x y y b y y z z c y y z z      . 
Suy ra: 
4 2 4 2 4 2
; ; .
9 9 9
c a b a b c b c a
x x y y z z
     
   
Do đó: 
2 4 2 4 2 4 2
9
c a b a b c b c a
P
b c a
      
   
 
  
2 2
4 6 4.3 3 6 2.
9 9
c a b a b c
a c a b c a
    
              
    
Dấu "=" xảy ra 1x y z    . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2. 
Đề 08: (Khối B-2007) Cho , , x y z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức: 
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz xy xy
     
          
     
. 
Bài giải: 
Ta có: 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y z x y z
P
xyz
 
    . 
Do 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
.
2 2 2
x y y z x z
x y z xy yz zx
  
        
Suy ra: 
2 2 2
1 1 1
.
2 2 2
x y z
P
x y z
     
          
     
Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... 6 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 
Xét hàm số  
2 1
2
t
f t
t
  , với 0t  . Lập BBT của hàm  f t ta suy ra  
3
, 0
2
f t t   . 
Từ đây suy ra: 
9
2
P  . Dấu "=" xảy ra 1x y z    . Vậy GTNN của P bằng 
9
.
2
Đề 09: (Khối D-2007) Cho 0a b  . Chứng minh rằng: 
1 1
2 2
2 2
b a
a b
a b
   
     
   
. 
Bài giải: 
BĐT cần chứng minh    
   ln 1 4 ln 1 4
1 4 1 4
a b
b a
a b
a b
 
      . 
Xét hàm số  
 ln 1 4
, 0
x
f x x
x

  . Ta có:  
   
 
/
2
4 ln 4 1 4 ln 1 4
0
1 4
x x x x
x
f x
x
  
 

 f x nghịch biến trên  0; . 
Do  f x nghịch biến trên  0; và 0a b  nên    f a f b nên ta có đ.p.c.m. 
Đề 10: (Khối B-2008) Cho , x y là các số thực thay đổi và thoả mãn 2 2 1x y  . Tìm giá trị 
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 2
2
2 6
1 2 2
x xy
P
xy y


 
. 
Bài giải: 
Ta có: 
   2 2
2 2 2 2
2 6 2 6
1 2 2 2 2
x xy x xy
P
xy y x y xy y
 
 
    
. 
+ Nếu 0y  thì 2 1x  , suy ra 2.P  
+ Nếu 0y  . Đặt x ty , khi đó:    
2
2
2
2 12
2 2 6 3 0
2 3
t t
P P t P t P
t t

      
 
 (1) 
* Với 2P  , phương trình (1) có nghiệm 
3
.
4
t  
* Với 0P  , phương trình (1) có nghiệm / 20 2 6 36 0 6 3.P P P         
3P  khi 
3 1
, 
10 10
x y  hoặc 
3 1
, 
10 10
x y    . 
Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... 7 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 
6P   khi 
3 2
, 
13 13
x y   hoặc 
3 2
, 
13 13
x y   . 
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng 6. 
Đề 11: (Khối D-2008) Cho , x y là các số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá 
trị nhỏ nhất của biểu thức: 
  
   
2 2
1
1 1
x y xy
P
x y
 

 
. 
Bài giải: 
Ta có: 
  
   
  
   
2 2 2
1 1 1 1 1
.
4 4 41 1 1
x y xy x y xy
P P
x y x y xy
   
      
      
+ Khi 0, 1x y  thì 
1
.
4
P   
+ Khi 1, 0x y  thì 
1
.
4
P  
Vậy gia strị lớn nhất của P bằng 
1
4
, giá trị nhỏ nhất của P bằng 
1
.
4
 
Đề 12: (Khối A-2009) Chứng minh rằng với mọi số thực dương , , x y z thoả mãn 
  3x x y z yz   , ta có          
3 3 3
3 5x y x z x y x z y z y z         . 
Bài giải: 
Đặt , , a x y b x z c y z      . 
Điều kiện:   3x x y z yz   trở thành 2 2 2c a b ab   (*) 
BĐT cần chứng minh 3 3 33 5a b abc c    với , , 0a b c  thoả mãn (*). 
Ta có:        
2 2 2 22 2 2 3 1
3 2
4 4
c a b ab a b ab a b a b a b a b c               (1) 
Lúc đó:     3 3 3 2 2 3 2 33 5 3 5 3 5a b abc c a b a b ab abc c a b c abc c             
  23 5a b c ab c    
Từ (1) cho ta:   22a b c c  và  
2 23
3 3
4
ab a b c   , từ đây ta suy ra đ.p.c.m. 
Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... 8 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 
Dấu "=" xảy ra khi .a b c x y z     
Đề 13: (Khối B-2009) Cho các số thực , x y thay đổi và thoả mãn  
3
4 2x y xy   . Tìm giá 
trị nhỏ nhất của biểu thức    4 4 2 2 2 23 2 1A x y x y x y      . 
Bài giải: 
Ta có        
3 2 3 2
4 2, 4 2 1x y xy x y xy x y x y x y             . 
Lúc đó:          
2
4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 23 3
3 2 1 2 1
2 2
A x y x y x y x y x y x y             
         
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 9
2 1 2 1
2 4 4
x y x y x y A x y x y             
Đặt 
 
2
2 2 2 2 1 1
2 2 2
x y
t x y x y t

        . Do đó 2
9
2 1
4
A t t   . 
Xét    2 /
9 9 1
2 1 2 0, 
4 2 2
f t t t f t t t         . Suy ra:  
1
;
2
1 9
min .
2 16
f t f
 

 
 
  
 
Vậy 
9
;
16
A  đẳng thức xảy ra khi 
1
2
x y  . Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 
9
.
16
Đề 14: (Khối D-2009) Cho các số thực không âm , x y thay đổi và thoả mãn 1x y  . Tìm 
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2 24 3 4 3 25S x y y x xy    . 
Bài giải: 
Ta có  2 2 3 31 16 12 9 25x y S x y x y xy xy        
   
32 2 2 2
16 12 3 34 16 2 12x y x y xy x y xy x y xy         
 
. 
Đặt 
 
2
1 1
0 0; .
4 4 4
x y
t xy xy t
  
       
 
 Xét hàm   2
1
16 2 12, 0; .
4
f t t t t
 
    
 
Ta có:    /
1 1 25 1 191
32 2 0 ; 0 12; ; .
16 4 2 16 16
f t t t f f f
   
          
   
Suy ra:    
1 1
0; 0;
4 4
1 25 1 191
max ; min
4 2 16 16
f t f f t f
   
   
   
   
      
   
. 
Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... 9 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 
Vậy giá trị lớn nhất của S bằng 
25
2
; khi 
1
1
;1
2
4
x y
x y
xy
 

  

và giá trị lớn nhất của S bằng 
191
16
; khi 
 
 
2 3 2 3
; ;1 4 4
.1
2 3 2 3
16 ; ;
4 4
x yx y
xy
x y
   
     
  
 
        
 
Đề 15: (Khối B-2010) Cho các số thực không âm , , a b c thoả mãn: 1a b c   . Tìm giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức    2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 2M a b b c c a ab bc ca a b c         
Bài giải: 
Ta có      
2
3 2 1M ab bc ca ab bc ca ab bc ca          . 
Đặt 
 
2
1
0
3 3
a b c
t ab bc ca t
 
       . Xét hàm   2
1
3 2 1 2 , 0;
3
f t t t t t
 
     
 
. 
Ta có:    
 
/ / /
3
2 2
2 3 ; 2 0
1 2 1 2
f t t f t
t t
     
 
 dấu "=" xảy ra tại 0t  ; suy ra 
 /f t nghịch biến. 
Xét trên đoạn 
1
0;
3
 
 
 
 ta có:  / /
1 11
2 3 0
3 3
f t f
 
    
 
, suy ra  f t đồng biến. 
Do đó:    
1
0 2, 0;
3
f t f t
 
    
 
. Vì thế  
1
2, 0;
3
M f t t
 
    
 
; 
2M  khi , 0ab bc ca ab bc ca     và 1a b c    ; ;a b c là một trong các bộ số 
     1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 . Do đó giá trị nhỏ nhất của M là 2. 
Đề 16: (Khối D-2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 24 21 3 10y x x x x        
Bài giải: Điều kiện: 2 5.x   
Ta có    2 24 21 3 10 11 0 0x x x x x y            . 
          2 3 7 2 5 2 3 7 2 5y x x x x x x x x           
Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... 10 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 
      
2
3 5 2 7 2 2x x x x        
Suy ra 2;y  dấu "=" xảy ra
1
.
3
x  Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng 2 . 
Đề 17: (Khối A-2011) Cho , , x y z là ba số thực thuộc đoạn  1;4 và , x y x z  . Tìm giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức .
2 3
x y z
P
x y y z z x
  
  
Bài giải: 
Trước hết ta chứng minh 
1 1 2
 (*)
1 1 1a b ab
 
  
 với a và b dương; 1.ab  
Thật vậy, (*)        2 1 2 1 1 2 2a b ab a b a b ab ab a b ab             
  
2
1 0ab a b    . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a b hoặc 1.ab  
Áp dụng (*) với  , 1;4x y , ta có: 
1 1 1 2
32 3
1 1 2 1
x
P
z x yx y x
y z x y
    

   
. 
Dấu "=" xảy ra
z x
y z
  hoặc 1
x
y
 (1). 
Đặt  1;2
x
t t
y
   . Do đó: 
2
2
2
2 3 1
t
P
t t
 
 
. Xét hàm    
2
2
2
, 1;2
2 3 1
t
f t t
t t
  
 
. 
Ta có:  
   
   
   
3
/
2 22
2 4 3 3 2 1 9 34
0 2
332 3 1
t t t t
f t f t f
t t
          
 
; dấu "=" xảy 
ra 2 2 4; 1.
x
t x y
y
       (2) 
34
33
P  . Từ (1) và (2) dấu "=" xảy ra 4; 1; 2.x y z    
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 
34
33
; khi 4; 1; 2.x y z   
Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... 11 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 
Đề 18: (Khối B-2011) 
Cho , a b là các số thực dương thoả mãn     2 22 2a b ab a b ab     . Tìm giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức 
3 3 2 2
3 3 2 2
4 9
a b a b
P
b a b a
   
      
   
. 
Bài giải: 
Với , a b là các số thực dương, ta có:     2 22 2a b ab a b ab     
     2 2 2 2
1 1
2 2 2 1 2 .
a b
a b ab a b ab a b a b
b a a b
   
                
   
Ta có:    
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
a b
a b a b
a b a b b a
     
             
     
, suy ra: 
5
2 1 2 2 2 .
2
a b a b a b
b a b a b a
   
          
   
Đặt 
5
, .
2
a b
t t
b a
   Suy ra:    3 2 3 24 3 9 2 4 9 12 18P t t t t t t        . 
Xét hàm số   3 2
5
4 9 12 18, .
2
f t t t t t     
Ta có    / 2
5
6 2 3 2 0, .
2
f t t t t      Suy ra:  
5
;
2
5 23
min .
2 4
f t f
 

 
 
   
 
Vậy 
23
min
4
P   ; khi và chỉ khi: 
5
2
a b
b a
  và    
1 1
2 ; 2;1a b a b
a b
 
     
 
 hoặc 
   ; 1;2 .a b  
Đề 19: (Khối A-2012) Cho các số thực , , x y z thoả mãn điều kiện 0x y z   . Tìm giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức 2 2 23 3 3 6 6 6 .
x y y z z x
P x y z
  
      
Bài giải: 
Ta chứng minh: 3 1, 0t t t    (*). 
Xét hàm    /3 1, 0 3 ln3 1 0, 0t tf t t t f t t           và  0 0f  nên (*) đúng. 
Áp dụng (*), ta có: 3 3 3 3
x y y z z x
x y y z z x
  
         . 
Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... 12 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 
Áp dụng BĐT a b a b   , ta có: 
   
2 2 2 2
x y y z z x x y y z z x x y y z z x                
     2 2 22y z x y z x z x x y y z x y y z z x                . 
Do đó: 
   2 2 2 22 2 22 6 6 6 2x y y z z x x y y z z x x y z x y z                 . 
Mà 0x y z   , suy ra 2 2 26 6 6x y y z z x x y z        . 
Vậy 2 2 23 3 3 6 6 6 3
x y y z z x
P x y z
  
       . 
Khi 0x y z   thì dấu "=" xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3. 
Đề 20: (Khối B-2012) Cho các số thực , , x y z thoả mãn các điều kiện 0x y z   và 
2 2 2
1x y z   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5 5 5.P x y z   
Bài giải: 
Với 0x y z   và 2 2 2 1x y z   , ta có: 
   
2 2 2 2 2 2 1
0 2 2 1 2 2 .
2
x y z x y z x y z yz x yz yz x               
Mặt khác 
2 2 2 2
21 1 1 6 6
;
2 2 2 2 3 3
y z x x
yz x x
   
        
 
 (*). 
Khi đó:     5 2 2 3 3 2 2P x y z y z y z y z      
      
     
2
5 2 2 2 2
2
5 2 2 2 2 3
1
1
2
1 1 5
1 1 2 .
2 2 4
x x y z y z yz y z x x
x x x x x x x x x x
              
    
              
    
Xét hàm      3 / 2 /
6 6 6
2 , ; 6 1; 0 .
3 3 6
f x x x x f x x f x x
 
           
 
Ta có: 
6 6 6 6 6 6
, 
3 6 9 3 6 9
f f f f
       
                    
       
. Do đó:  
6
.
9
f x  
Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... 13 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 
Suy ra: 
5 6
36
P  . Khi 
6 6
, 
3 6
x y z    thì dấu "=" xảy ra. 
Vậy giá trị lớn nhất của P là 
5 6
36
. 
Đề 21: (Khối D-2012) Cho các số thực , x y thoả mãn điều kiện    
2 2
4 4 2 32x y xy     . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   3 3 3 1 2 .A x y xy x y      
Bài giải: 
Ta có        
2 2 2
4 4 2 32 8 0 0 8.x y xy x y x y x y              
Lúc đó:          
3 3 23
3 6 6 3 6
2
A x y x y xy x y x y x y             . 
Xét hàm số    3 2
3
3 6, 0;8
2
f t t t t t     . 
Ta có:    / 2 /
1 5
3 3 3, 0
2
f t t t f t t

      hoặc 
1 5
2
t

 (loại). 
Ta có:    
1 5 17 5 5
0 6, , 8 398.
2 4
f f f
  
    
 
 Suy ra: 
17 5 5
.
4
A

 
Khi 
1 5
4
x y

  thì dấu "=" xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 
17 5 5
4

. 
Đề 22: (Khối A-2013) Cho các số thực dương , , a b c thoả mãn điều kiện    24a c b c c   . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
   
3 3 2 2
3 3
32 32
3 3
a b a b
P
cb c a c

  
 
. 
Bài giải: 
Đặt , 
a b
x y
c c
  . Ta được 0, 0x y  . Điều kiện của bài toán trở thành 3.xy x y   
Khi đó 
   
3 3
2 2
3 3
32 32
3 3
x y
P x y
y x
   
 
. 
Với mọi 0, 0u v  ta có:        
 
3
3 3 33 3 3
3 .
4 4
u v
u v u v uv u v u v u v

          
Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... 14 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 
Do đó 
   
 
3
233 3
3 3
2 3 332 32
8 8
3 3 3 3 93 3
x y xy x yx y x y
y x xy x yy x
     
                
. 
Thay 3xy x y   vào biểu thức trên ta được: 
   
  
 
 
3
3 3
3
3 3
1 632 32
8 1 .
2 63 3
x y x yx y
x y
x yy x
    
          
 Do đó 
           
3 3 2 3 22 21 1 2 1 2 6P x y x y x y x y xy x y x y x y                  
Đặt t x y  . Suy ra 0t  và  
3 2
1 2 6P t t t     . 
Ta có: 
 
  
2
2
3 2 6 0
4 4
x y t
x y xy x y t t t

            . Do đó 2.t  
Xét hàm    
3 2
1 2 6, 2f t t t t t      . Ta có:    
2/
2
1
3 1 .
2 6
t
f t t
t t

  
 
Với mọi 2t  , ta có:  
2
3 1 3t   và 
 
22
1 7 7 3 2
1 1
2 21 72 6
t
tt t

    
  
, nên 
 /
3 2
3 0
2
f t    . Suy ra    2 1 2f t f   . Do đó: 1 2P   . 
Khi a b c  thì 1 2P   . Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 1 2 . 
Đề 23: (Khối B-2013) Cho , , a b c là các số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
    2 2 2
4 9
.
2 24
P
a b a c b ca b c
 
    
Bài giải: 
Ta có 
        
2 2
2 2 24 2 4 4
2 2 2
2 2
a b c a b ab ac bc
a b a c b c a b a b c
     
         . 
Đặt 2 2 2 4t a b c    , suy ra 2t  và 
 2
4 9
.
2 4
P
t t
 

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... 15 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 
Xét hàm  
 2
4 9
, 2.
2 4
f t t
t t
  

Ta có:  
 
  
 
3 2
/
2 22
2 2 2
4 4 7 4 164 9
4 4
t t t tt
f t
t t t t
    
   
 
. 
Với 2t  , thì    3 2 34 7 4 16 4 4 7 4 0t t t t t t        . Do đó  / 0 4.f t t   
Ta có BBT: 
Từ BBT ta được 
5
.
8
P  Khi 2a b c   thì 
5
8
P  . Vậy giá trị lớn nhất của P là 
5
.
8
Đề 24: (Khối D-2013) Cho , x y là các số thực dương thỏa mãn 1xy y  . Tìm giá trị lớn nhất 
của biểu thức 
 2 2
2
.
63
x y x y
P
x yx xy y
 
 
 
Bài giải: 
Do 0, 0, 1x y xy y    nên 
2
2 2
1 1 1 1 1 1 1
0
4 2 4
x y
y y y y y
 
        
 
. 
Đặt 
x
t
y
 , suy ra 
1
0
4
t  . Khi đó 
 2
1 2
6 13
t t
P
tt t
 
 
 
. 
Xét hàm  
 2
1 2 1
, 0;
6 1 43
t t
f t t
tt t
   
      
. Ta có:  
   
/
3 2
2
7 3 1
2 12 3
t
f t
tt t

 
 
. 
Với 
1
0;
4
t
 
 
 
 ta có:  2 3 1 3 3; 7 3 6t t t t t        và 1 1.t   
Do đó: 
 
3
2
7 3 7 3 1
6 3 32 3
t t
t t
 
 
 
 và 
 
2
1 1
22 1t
  

. Suy ra  /
1 1
0
23
f t    . 
Do đó:  
1 5 7
.
4 3 30
P f t f
 
    
 
Khi 
1
2
x  và 2y  , ta có: 
5 7
.
3 30
P   Vậy giá trị lớn nhất của P là 
5 7
.
3 30
 
Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... 16 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 
Đề 25: (Khối A-2014) Cho , , x y z là các số thực không âm thỏa mãn 2 2 2 2x y z   . Tìm 
giá trị lớn nhất của biểu thức 
2
2
1
.
1 1 9
x y z yz
P
x yz x x y z
 
  
     
Bài giải: 
Ta có    
2 2 2 20 2 2 2 2 1x y z x y z xy xz yz xy xz yz             , 
nên      2 1 1 1 1x yz x x x y z xy xy yz x x y z               
Suy ra: 
2
2 1 1
x x
x yz x x y z

     
. 
Mặt khác      
2 2 2 2 2 2 2 2 2x y z x y z x y z yz yz x y z            
   
22
2 2 4 1 .yz x y z yz       
 
 Do đó: 
 
2
.
1 36
x y zx y z
P
x y z
  
 
  
Đặt t x y z   , suy ra: 0t  và 2 2 2 2 2 2 2t x y z xy yz zx      
     2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 0; 6x y z x y y z z x t               . 
Xét hàm  
21
1 36
t
f t
t
 

, với 0; 6t  
 
. Ta có:  
 
  
 
2
/
2 2
2 4 91
181 18 1
t t tt
f t
t t
  
   
 
nên  / 0 2f t t   . 
Ta có:      5 31 60 0; 2 ; 6
9 30 5
f f f    nên  
5
9
f t  khi 0; 6t  