Bài toán hay và khó về đường tròn

 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại 
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.
Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®
BÀI TOÁN KHÓ
BÀI TẬP
1. Cho tam giác ABC. Từ trung điểm của các cạnh tam giác kẻ các đường vuông
góc với hai cạnh kia tạo thành một lục giác. Chứng minh rằng diện tích của tam
giác ABC gấp hai lần diện tích của lục giác tạo thành.
Xem lời giải tại:
2. Cho ba điểm A, B, C bất kì và đường tròn (O) bán kính bằng 1. Chứng minh
rằng tồn tại một điểm M nằm trên đường tròn (O) sao cho MA + MB + MC ≥ 3.
Xem lời giải tại:
3. Trên đường tròn (O ; R) đường kính AB lấy điểm C. Trên tia AC lấy điểm M
sao cho C là trung điểm của AM.
a.  Xác định vị trí của điểm C để AM có độ dài lớn nhất.
b.  Xác định vị trí của điểm C để AM = 2R√3.
c.  Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (O) thì điểm M di động trên
một đường tròn cố định.
Xem lời giải tại:
4. Cho đường tròn (O ; R) và một dây BC cố định. Trên đường tròn lấy một điểm
A (A không trùng với B và C). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh
rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì điểm G di động trên một đường tròn
cố định.
Xem lời giải tại:
5. Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD của đường tròn kéo dài cắt nhau tại điểm
M nằm ngoài (O). Gọi H, E là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB < CD
⇔  MH < ME.
Xem lời giải tại:
6. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 13cm. Dây CD có độ dài 12cm vuông
góc với AB tại H.
a.  Tính các độ dài HA, HB.
b.  Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AC, BC. Tính diện tích của tứ giác
CMHN.
Xem lời giải tại:
7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ các nửa đường tròn đường kính AB và AC ở
ngoài tam giác ABC. Qua A kẻ đường thẳng (d) cắt nửa đường tròn nói trên lần
lượt tại D và E. Xác định vị trí của (d) để chu vi tứ giác BCDE đạt giá trị lớn nhất.
Xem lời giải tại:
8. Cho tam giác ABC cân tại A, I là giao điểm của các đường phân giác.
a.  Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng AC với đường tròn (O) ngoại
tiếp tam giác BIC.
b.  Gọi H là trung điểm của BC, IK là đường kính của (O). Hãy chứng minh 
AI
AK
=
HI
HK
Xem lời giải tại:
9. Cho hình thang vuông ABCD (Aˆ = Bˆ = 900) có 
^
CMD = 900, với M là trung điểm
AB. Biết AB = 2.a.
a.  Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
b.  Tính tích BC.AD theo a.
Xem lời giải tại:
10. Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi d là tiếp tuyến của đường
tròn, A là tiếp điểm. Gọi M là điểm bất kì thuộc d. Qua O kẻ đường thẳng vuông
góc với BM, cắt d tại N. Xác định vị trí của M sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
11. Cho nửa đường tròn đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa
đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên tia Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa
đường tròn, kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm
của CH.
Xem lời giải tại:
12. Cho đường tròn tâm O. Điểm K nằm bên ngoài (O). Kẻ các tiếp tuyến KA, KB
với đường tròn (A và B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của (O). Tiếp tuyến
của (O) tại C cắt AB tại E. Chứng minh rằng:
a.  Tam giác KBC và tam giác OBE đồng dạng với nhau.
b.  CK  ⊥  OE.
Xem lời giải tại:
13. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài
AB và CD của hai đường tròn, trong đó A và C thuộc (O); B và D thuộc (O'). Tiếp
tuyến chung của hai đường tròn là GH cắt AB và CD theo thứ tự ở E và F; G thuộc
(O), H thuộc (O'). Chứng minh rằng:
a.  AB = EF
b.  EG = FH
Xem lời giải tại:
14. Cho hai đường tròn (O) và (O') nằm ngoài nhau, AB và CD là hai tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn, đường thẳng AD cắt (O) tại điểm M, cắt (O') tại
điểm N. Chứng minh rằng AM = DN.
Xem lời giải tại:
15. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Qua A kẻ cát tuyến CAD
và EAF (C và E thuộc (O), A và F thuộc (O')) sao cho AB là tia phân giác của 
^
CAF.
Hãy chứng minh rằng CD = CF.
Xem lời giải tại:
16. Cho (O' ; R') tiếp xúc trong với đường tròn (O ; R) sao cho điểm O nằm trên
(O'). Một dây cung AB của (O) di động và tiếp xúc với (O') tại C. Hãy xác định vị
trí của dây AB để AC2 + BC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Xem lời giải tại:
17. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B, OO' = 3 cm. Qua A kẻ một
đường thẳng cắt các đường tròn (O) và (O') theo thứ tự E và F (A nằm giữa E và
F). Vậy đoạn thẳng EF có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu.
Xem lời giải tại:
18. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN tới
đường tròn đường kính BC. Chứng minh rằng ba điểm M, H, N thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
19. Bán kính của đường tròn nội tiếp một tam giác bằng 2cm, tiếp điểm trên
một cạnh chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng 4cm và 6cm. Tính các cạnh còn lại
của tam giác.
Xem lời giải tại:
20. Cho ΔABC ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm
trên các cạnh BC, AB, AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến EF. Chứng
minh rằng: 
^
BHE =
^
CHF 
Xem lời giải tại:
21. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. P là một điểm cố định nằm
giữa B và O. Một góc vuông MPN quay xung quanh đỉnh P (M, N thuộc đường
tròn (O; R)). Gọi I là trung điểm của MN.
a.  Chứng minh: R2 = IO2 + IP2
b.  Tìm quỹ tích của điểm I. (không chứng minh phần đảo)
Xem lời giải tại:
22. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B, vẽ dây AC của
(O) sao cho AC⊥AO ′ , vẽ dây AD của (O’) sao cho AD⊥AO.
a.  Qua O kẻ đường vuông góc với AC, qua O’ kẻ đường vuông góc với AD chúng
cắt nhau tại K. Tứ giác AOKO’ là hình gì? vì sao?
b.  Gọi E là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh rằng 4 điểm A, C, D, E cùng
thuộc một đường tròn.
Xem lời giải tại:
23. Cho hai đường tròn (O; 3cm) và (O’; 1cm) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến
chung ngoài BC (B ∈ (O); C ∈ O ′ ). Tính độ dài các cạnh của ΔABC. 
Xem lời giải tại:
24. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ một điểm C thuộc (O) kẻ 
CH⊥AB(C ≠ A, B; C ∈ AB). Đường tròn (C; CH) cắt (O) tại D và E. Chứng minh
rằng DE đi qua trung điểm của CH.
( )
Xem lời giải tại:
25. Cho ΔABC vuông tại A, AC > AB, đường cao AH. Gọi E là điểm đối xứng với B
qua H, đường tròn đường kính EC cắt AC ở K. Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến
của đường tròn đường kính EC.
Xem lời giải tại:
26. Hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau ở A và B. Các điểm M, N theo thứ tự di
chuyển trên các đường tròn (O) và (O') sao cho chiều từ A đến M và từ A đến N
trên các đường tròn đều theo chiều quay của kim đồng hồ và cung AM, AN có số
đo bằng nhau. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm
cố định.
Xem lời giải tại:
27. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O;
R), lấy E ∈ Ax sao cho AE > R. Kẻ tiếp tuyến ME với đường tròn (O; R); M ≠ A.
a.  Chứng minh rằng BM / /OE
b.  Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BM tại N. Chứng minh rằng tứ giác
OBNE là hình bình hành.
c.  Cho R = 4cm; OE = 6cm, tính diện tích hình thang OBME.
d.  AN cắt OE tại K, EM cắt ON tại I, EN cắt OM tại J. Chứng minh rằng ba điểm I, J,
K thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
28. Gọi r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác vuông và h là đường cao
ứng với cạnh huyền. Chứng minh rằng: 2 <
h
r
< 2, 5.
Xem lời giải tại:
29. Gọi ha, hb, hc là các đường cao ứng với các cạnh a, b, c của một tam giác, r là
bán kính của đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng:
a.  ha + hb + hc ≥ 9r. Đẳng thức xảy ra khi nào?
b.  h2a + h
2
b + h
2
c ≥ 27r
2. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Xem lời giải tại:
30. Gọi R và r theo thứ tự là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp
một tam giác vuông có diện tích S. Chứng minh rằng: R + r ≥ √2S
Xem lời giải tại:
31. Cho điểm B nằm giữa A và C, sao cho AB = 14cm; BC = 28cm. Vẽ về một phía
của AC các nửa đường tròn (I), (K), (O) có đường kính theo thứ tự là AB, BC, AC.
Tính bán kính của đường tròn (M) tiếp xúc ngoài với các nửa đường tròn (I), (K)
và tiếp xúc trong với đường tròn (O)
Xem lời giải tại:
32. Cho ΔABC có AC > AB. Đường tròn tâm I nội tiếp ΔABC tiếp xúc với AB, BC
lần lượt ở D, E. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AC, BC. Gọi K là giao điểm
của MN và AI. Chứng minh rằng:
a.  Bốn điểm I, E, K, C thuộc cùng một đường tròn.
b.  Ba điểm D, K, E thẳng hàng.
Xem lời giải tại:
33. Cho đường tròn tâm (I) bán kính r nội tiếp ΔABC. Chứng minh rằng: 
IA + IB + IC ≥ 6r
Xem lời giải tại:
34. Cho hai đường tròn tâm (O; R) và (O ′ ; R ′ ) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến
chung ngoài BC.
a.  Tính BC
b.  Tính diện tích tứ giác OBCO’
c.  Khi R ′ =
R
3
, tính diện tích giới hạn bởi BC và hai cung AB, AC
Xem lời giải tại:
35. Gọi a, b, c lần lượt là các cạnh của ΔABC , ha, hb, hc là các đường cao tương
ứng, Ra, Rb, Rc là bán kính của các đường tròn bàng tiếp tương ứng, r là bán
kính của đường tròn nội tiếp, p là nửa chu vi tam giác, S là diện tích tam giác.
Chứng minh rằng:
a.  S = Ra(p − a) = Rb(p − b) = Rc(p − c)
b. 
1
Ra
=
1
hb
+
1
hc
−
1
ha
Xem lời giải tại:
36. Cho ΔABC chứng minh rằng các tiếp điểm trên cạnh BC của đường tròn
bàng tiếp Aˆ và của đường tròn nội tiếp đối xứng với nhau qua trung điểm của
BC.
Xem lời giải tại: