Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi máy tính cầm tay Casio

Dạng 3.3: Luỹ thừa
A - Tìm số dư:
Bài 3.3A.1: 
a)Tìm số dư khi chia 2006 cho 2000 .
b) Tìm số dư trong phép chia A = 38 + 36 + 32004 cho 91.
Bài 3.3A.2: Tìm số dư khi chia 29455 - 3 cho 9
Bài 3.3 A.3: Tìm số dư khi chia (19971998 +19981999 + 19992000)10 cho 111
Bài 3.3 A.4: Tìm số dư khi chia 15325 - 1 cho 9
Bài 3.3 A.5: 1) Tìm số dư khi chia 10! cho 11
 2) Tìm số dư khi chia 17762003 cho 4000 .
Bài 3.3 A.6: a) Tìm số dư khi chia 13! cho 11
 b) Tìm số dư trong phép chia: 715 : 2001 
Bài 3.3 A.7: Tìm số dư khi chia 570 + 750 cho 12
Bài 3.3 A.8: Tìm số dư khi chia cho 41
Giải: Vì 41 là số nguyên tố, ta có:
512004151200(mod 41) 32(mod 41)
Mặt khác:212(mod 41) , 224(mod 41) , 238(mod 41) , 24 16(mod 41) , 2532(mod 41) , 2623(mod 41) , 275(mod 41)
2100 = 214.7+2 = (27)14.22 (5)14.22(mod 41)
Ta có:52 25(mod 41) , 53 2(mod 41)
 514 = 53.4 +2 =(53)4.52 24.52(mod 41) 31(mod 41) 
Nên: 2100 (5)14.22(mod 41) 31.22(mod 41) 1(mod 41)
2100 = 41q +1 (qN)
Vậy: =5120041q +1 = (5120041)q.51200 (32)q .51200(mod 41)
(32)q .32(mod 41) (32)q+1 (mod 41) (qN)
Cách này không ra!
Cách khác:Ta có:5120040 1(mod 41) ,51200 32(mod 41)
Mà: 22 -1(mod5) (22)48 1 (mod5) 
 (22)48 .2 1.2 (mod5) 
 297 2 (mod5) 
 297 .23 2.23 (mod5.23)
 2100 16 (mod 40)
Nên: 2100 = 40q +16
Cho nên: =5120040q +16 = (5120040)q.5120016 3216(mod 41)
Mà: 3216 = 280 = (240)2 1(mod 41)
Vậy: 1(mod 41)
Bài 3.3 A.9: a) Viết quy trình tìm số dư khi chia (515 + 1) cho (212 +1)
 b) Hãy tìm số dư r .
Bài 3.3 A.10: Tính phần dư của các số 70 ; 71 ; 72 ; 73 ; 74 ; 75 ; 76 ; 77 ; 78 ; 79 ; 710 ; 711 khi chia cho 13 và điền vào bảng sau:
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
710
711
Số dư
Bài 3.3 A.11: 
a) Tìm số dư khi chia 19972008 cho 2003
b/ Tìm số dư khi chia 19972001cho 2003
c/ Tìm số dư khi chia 2100 cho 100
d/ Tìm số dư khi chia 9100 cho 100
e/ Tìm số dư khi chia 11201 cho 100
Bài 3.3 A.12: Tìm số dư khi chia 102007200708 cho 111007
B - Chứng minh chia hết:
Bài 3.3B.1: 
Chứng minh rằng: 42n+1 + 3n+2 13 .
Chứng minh rằng với bất kì số nguyên dương n thì biểu thức:
 [7.52n + 12.6n] 19
Bài 3.3B.2: 
a/ Chứng minh rằng: 24n - 1 15
b/ Chứng minh rằng: 6969+1919 44
Bài 3.3 B.3: a)Chứng minh rằng: 18901930 + 19451975 7
 b) 192007+132004 5
Bài 3.3 B.4: Chứng minh rằng: 220+ 119 +69 102
Bài 3.3 B.5: Chứng minh rằng:
a) 25n - 1 31 b) (n2 + n - 1)2 - 1 24
Bài 3.3 B.6: Chứng minh rằng: 2+ 1 461
Bài 3.3 B.7: Chứng minh rằng:
1n + 2n + 3n +...+ mn 0 (mod m ) .
A = n8 - n6 - n4 + n2 chia hết cho 5760 với n là số tự nhiên lẻ.
B = 9n3 + 9n2 + 3n - 16 không chia hết cho 343 với mọi số nguyên n.
Bài 3.3 B.8: Chứng minh rằng: 22225555 + 55552222 7
Giải: Ta có:2222 3(mod7) , 5555 4(mod7)
Mặt khác:22226 1(mod7) , 5555 = 5(mod6)
5555 = 6q +5 (qN) nên 22225555 = 22226q +5 = (22226)q.22225 3(mod7)
Tương tự: 55552222 4(mod7)
Vậy: 22225555 + 55552222 7(mod7) 0(mod7) đpcm
Bài 3.3 B.9: Chứng minh rằng:nN* ta có:
a) b) 
Giải:a) Với n = 1 thì:
 Giả sử mệnh đề đúng với n = k (kN , k 1) tức là: 
 Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 tức là: 
 Thật vậy:2 nếu k chẵn và 4 nếu k lẻ
 4 nếu k chẵn và 2 nếu k lẻ
Vậy: với 
đpcm
Bài 3.3 B.10: CMR: 
a)+3 7 b) c)
Giải: c) Ta có:236 1 (mod 37)
Mà: 26 1(mod 9) nên:(26)n 1(mod 9)
(26)n .22 1.22 (mod9. 22) 
26n +2 4 (mod36) 
26n +2 =36q +4 (qN)
Nên: = 236q+ 4 =(236)q.24 16 (mod 37)
Vậy: 
Bài 3.3 B.11: Số 312 - 1 chia hết cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79. Tìm hai số đó.
Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng:
a/20012004 + 20032006 10
b/ 7 + 72 + 73+ +72008 400
Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì :
 3n+2 - 2n+2 +3n - 2n 10
C - Số tận cùng:
Ta có: 
Cho nên:
- Tìm 1 chữ số tận cùng:Ta xét đồng dư mod 101
- Tìm 2 chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 102
- Tìm 3 chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 103
- Tìm n chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 10n
Bài 3.3C. 1: 
a/Tìm 1 chữ số tận cùng của số:9
b/Tìm 2 chữ số tận cùng của số: 14
c/Tìm 2 ,3,4,5 chữ số tận cùng của số: 521
Bài 3.3 C. 2: Tìm chữ số tận cùng của số:2
Bài 3.3 C. 3: Tìm chữ số tận cùng của số:14
Giải:Ta có:14 4(mod 10)
 Mà: 14 - 1 (mod 5) 1413 - 1 (mod 5) 
 1413 .7 - 1.7 (mod 5) 
 1413 .7 .2 - 1.7.2 (mod 5.2) 
 1414 - 14 (mod 10) 6 (mod 10) 
Nên: 1414 =10q +6 (qN)
Vậy: 14 = 1410q +6 = 14(5q+3).2 = (145q +3)2
 Vì : qN nên 145q +3 luôn có chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6 
Do đó: (145q +3)2 luôn có chữ số hàng đơn vị là 6 
Cách 2: Ta có:142 6 (mod 10)
Nên: (142)7 67 (mod 10) 6 (mod 10)
1414 = 10 q +6 (q N) 
 14 = 1410q +6 = (142)5q .146 6. 146 (mod 10) 
 6. (142)3 (mod 10)
 6. 63 (mod 10) 
 64 (mod 10) 
 6 (mod 10) 
Vậy: Chữ số tận cùng là 6.
Bài 3.3 C. 4: Tìm 2,3,4,5, 6 chữ số tận cùng của số:521
HD: 521=514 .54 .53 203125 (mod 106)
Bài 3.3 C. 5: Tìm 8 chữ số tận cùng của số:51995
Bài 3.3 C. 6: a) Tìm 2 chữ số tận cùng của: 9
 b)Tìm 2 chữ số tận cùng của: 
Giải: a) Vì 100 = 22.52 nên:
Ta có: 940 1(mod 100)
Mặt khác: 92 1(mod 40)
 (92)4 1(mod 40) 
 (92)4 .9 1.9(mod 40)
 99 = 40q + 9 (q N) 
Vậy: 9= 940q + 9 = (940)q.99 99 (mod 100) 89 (mod 100)
KL: Hai chữ số tận cùng của 9 là:89
b) Ta có: 989 (mod 100) nên 9= 100k + 89 (k N)
 = 11100k + 89 = (11100)k .1189 mà 115 51(mod 100) 
 (115 )2 1(mod 100) 
 (1110 )10 1(mod 100)
 11100 1(mod 100)
Nên: 1189(mod 100) 1140.2+9(mod 100) (1140)2.119(mod 100) 
 119(mod 100) 
 91 (mod 100) 
KL: Hai chữ số tận cùng của là: 91
Bài 3.3 C. 7: Tìm chữ số tận cùng của 21 + 35 + 49 +...+ 20048009
Bài 3.3 C. 8: Tìm số tận cùng của các số: 6713 và 21000
Bài 3.3 C. 9: Tìm hai số tận cùng của số: 21999 + 22000 + 22001
Bài 3.3 C.10: Tìm hai số tận cùng của số:2999.
Bài 3.3 C.11: Tìm 3 số tận cùng của số:
Bài 3.3 C.12: Tìm chữ số tận cùng của số:2007200820072008.
Bài 3.3 C.13: Tìm hai số tận cùng của số:
Bài 3.3 C.14: Tìm hai số tận cùng của số:1012 + 1023+1034+1045 .